對稱原理在有條件極值問題中的運用與研究

摘 要: 將對稱原理用于高等數學的思維方法中，給出了一類復雜的有條件極值問題的簡明解題思路，也是數學美學的體現與運用。

關鍵詞: 對稱原理 Lagrange 乘數法 有條件極值

1.引言

對稱性，通常指某些具有關聯或對立的概念。事物通常顯示出對稱性。對稱原理不是一個定律，而是一種思維方式，是指具有對稱性的事物或系統，應該是某種規律的體現。對稱美[1]，[2]是數學美之一。

對稱性在各學科的分析中起著決定性的作用，對稱性制約物理定律的形式得到最好的體現。對稱性在自然科學的基礎研究中顯示出其重要地位。例如，物理學家通過對稱性分析找出不同經歷的作用量，從而確定具體領域的基本定律。物理學家們研究一個新的領域，常常是試探地分析其中的對稱性，在描述這個世界的作用量公式中增加一些描述新領域的項，從而得到該領域的新的基本定律。不論是數學基本定理還是自然科學原理中，我們經常遇到，當各變量相同時，函數值取得極值或系統狀態達到平衡態。例如我們曾見到的算術-幾何平均不等式(the Arithmetic-Geometric Mean Inequality)，即n個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數，只有當n個正數都相同時，即對稱時，n個正數的算術平均數才等于它們的幾何平均數。又如周長一定的n邊形中，當各邊相同，即正n邊形的面積最大。在物理學中，當光的折射定律符合費馬原理，即當入射角和反折射相等時，光線能以最小耗時從一點經反射到達另一點。對稱原理是自然界規律的一種表現，我們不僅要熟悉這種美，還要在科學研究中生活中用到這種美，讓用美學觀點處理問題成為一種直覺能力。

在高等數學中，極值問題是其中的重要內容之一。我們一方面要學習用有關原理，如求駐點、用Lagrange乘數法等基本方法求解，另一方面也要學會用數學美的觀點來審視這些問題。本文從對稱原理在求有約束條件下對稱方程的極值問題來看數學對稱美的運用。

2.對稱原理在有約束條件下對稱方程極值中的運用

對稱函數F(x)=F(x，x，L，x)指當自變量的任意兩個或幾個變換位置后，函數不變，則函數F(x)為對稱函數。若F(x)為對稱函數，F(x，x，x)=0稱為對稱方程。如F(x，x，x)=x+x+x-m為對稱函數，F(x，x，x)=0為對稱方程。

利用Lagrange乘數法求多元函數F(x)=F(x，x，L，x)在區域D上有約束條件φ(x，x，L，x)=0的最值時，常常會遇到兩個麻煩:即證明駐點方程解的唯一性和區域邊界的討論。一般地，如果有唯一駐點，區域是閉區域，則只要比較駐點處的函數值與邊界點的值即可知道駐點是否為極值點，若是，則表明此極值點就是最值點。但問題是對于多元函數，有時求解駐點是非常困難的。如下面的問題4[3]:

問題1設x>0，i=1，2，L，n，n≥3。求函數:

Z=F(x)=F(x，x，L，x)=(-x)(1)

在約束條件x=1下的最值。

若利用數學分析教材或高等數學上介紹的常規Lagrange乘數法，則很難求得駐點方程組的解。

注:這是《數學通訊》2002年第19期上提出的一個猜想[4]，文用一種方法證明了問題4的駐點至少有n-1個分量是相等的，再討論它的邊界，最后解決了問題。但該方法還是很復雜的且不知道還有多少個極值點。

這個問題如果用對稱原理來考慮則會得到簡明的證明方法，且定理具有廣泛的推廣性。我們會想到，目標函數是對稱函數，它的解應該有某種特殊性;目標函數與有對稱性的約束條件，它的解也應該也有某種規律性。

問題1之所以難是因為變量是n維的。如果當n=2，則變量是2維的，且Z=F(x，x)是一個三元函數，我們可利用空間解析幾何獲得一些幫助，這樣問題的求解將是不難的。我們根據對稱性提出一些猜測，證明幾個不難的定理后，就可以處理比問題1還廣泛的一類問題了。

以下定理只說明極值為極大值，對于極小值同理可證。

定理1.設對稱多元函數F(x)=F(x，x，L，x)(n≥2)，在區域D上有約束條件x(l>0)下，若F(x)有唯一極大值點X=，則必有=(，，L，)。

證明:用反證法。設≠(，，L，)，則的分量中必然至少有兩個不相等。不妨設=(a，a，L，a)，且有a≠a。由F(x)的對稱性，則(a，a，L，a)也應為原函數的極值點，這樣與極值點的唯一性矛盾。故原命題成立。[證畢]

定理2.設對稱多元函數F(X)=F(x，x，L，x)(n≥2)，在閉區域D上，約束條件為:x=l(l>0)。若當n=2時對任意的l>0，函數F(X)有唯一極大值點X=(x，x，L，x)，則對稱多元函數F(x)=F(x，x，L，x)(n≥3)，在區域D上有對稱約束條件x=l(l>0)下也唯一極值點，并且極大值點=(，，L，)。

證明:用反證法。設F(X)=F(x，x，L，x)(n≥3)，x=l用兩個不同的極值點，分別是:=(a，a，L，a)，=(b，b，L，b)，≠，f()=f()。則必有≠(1，1，L，1)，即中分量不全相等，不妨設a，a不全相等。現考慮F(X)=F(x，x，a，L，a)(n≥3)，x+x=l-x。由定理1及定理2的條件知，x，x全相等時，即x=x=(l-a)，令c=(l-a)。這時F(c，c，a，L，a)>F(a，a，a，L，a)，與是極大值點矛盾。[證畢]

注:用定理2來求解問題1則是非常簡單了。求解過程從略。

定理3.設(1)對稱多元函數F(X)=F(x，x)，在區域D上，對任給l>0，在約束條件ax+ax=l((a，a)∈?親×?親)下，函數F(X)有唯一極值點X=;

(2)在有約束條件x=l(l>0)下，當n=2時對任意的l>0，函數F(X)有唯一極值點X=(x，x)l;則對稱多元函數F(X)=F(x，x，L，x)(n≥3)，在區域D上有非對稱約束條件bx=l(l>0)下也有唯一極值點。

證明:用反證法。設F(X)=F(x，x，L，x)(n≥3)，x=l用兩個不同的極值點，分別是:=(a，a，L，a)，=(b，b，L，b)，≠，f()=f()。則必有≠(1，1，L，1)，即中分量不全相等，不妨設a，a不全相等。現考慮F(X)=F(x，x，x，a，L，a)(n≥3)，x+x=l-x。由定理1及定理2的條件知，x，x，x全相等時，即x=x=(l-a)，令c=(l-a)。這時F(c，c，a，L，a)>F(a，a，a，L，a)，與=(a，a，L，a)是最大值點矛盾。[證畢]

注:根據這個定理我們可以先證明，對于任意一個l>0，只要F(X)=F(x，x)在條件x=l時有唯一極值點即可，而這是容易做到的。

3.結語

對稱原理是一種思維方式，對稱性經常在事物的規律中表現出來。當系統或數學函數以對稱形式出現，則必含有某種特征或特殊解的形式。我們可以讓對稱美成為我們的一種思維習慣，在求解問題時，可先根據對稱性作出合理推測，再作進一步考慮。

參考文獻:

[1]劉學鵬.對稱矩陣和諧的外在美和內在美[J].高等理科教育，2004，(2):80.

[2]蘇海軍.高等數學中的美學思想芻議[J].四川文理學院學報(自然科學)，2008，18，(5):7.

[4]楊先義.一個不等式的推廣[J].數學通訊，2002，(19):29.

[5]馬統一，李勁.巧用Lagrange乘數法求一類多元對稱函數的條件最值[J].大學數學，2004，20，(3):108.

基金項目:浙江財經學院教改項目。