淺析新課標下數學教學中的逆向性思維教育

摘 要： 在素質教育的今天，在新課標準全面推進的情形下，怎樣才能更有效地培養學生的創造思維和創新精神？作者介紹了中學教學逆向思維教育的一些做法和經驗，從定義、定理、公式的逆命題的真假，正難則反原則等多方面說明逆向性思維的教育工作，以及這種思維能力培養的重要性。逆向思維教育教學可以培養學生的創造思維能力和發散思維能力，提高分析問題、解決問題能力，以及培養學生運動發展的辯證唯物觀點。

關鍵詞： 數學教學 逆向性思維 培養方法

逆向性思維，是指在思維過程中從已有的習慣思路的反方向去思考和分析問題的一種思維方式，其具有間接性、突變性和反聯詰性。

中學在培養和發展學生的邏輯思維過程中，無論是教師講，還是學生學概念、定理、例題等知識，往往都習慣于從正面看、正面想、正面去解決問題，形成一種思維定勢。這種定勢，對解陳題、同一類問題，學生有法可依、有路可循，能夠迅速解決，是一種正遷移，但對培養學生思維的靈活性、創造性，則十分不利，學生在新問題、活問題面前，就會感到束手無策，寸步難行。所以在素質教育以培養創造能力為首要任務的今天，讓學生養成“經常進行逆向思維、活性思維”的習慣，是十分必要的。它擺脫了思維定勢，對產生新的思想、新的方法起著非常重要的作用。怎樣才能較好地培養學生的逆向思維能力呢？我以為，在數學教學中，可以經常加強以下幾個方面的訓練，在問題中滲透其思想。

一、在解題中，將定義、定理、公式、法則加以逆用，這是最基本的一種逆向思維

例1：求值：2-6·2+15.2-20·2+15·2-6·2+1

分析：二項式定理的逆用

解：原式=C·2（-1）+C·2·（-1）+C·2·（-1）+C·2·（-1）+C·2·（-1）+C·（2）·（-1）+C·（-1）=（2-1）=1

例2：tan20°+tan40°+tan20°tan40°的值是?搖?搖?搖?搖。

解：∵tan60°==

∴tan20°+tan40°=-tan20°·tan40°

∴tan20°+tan40°+tan20°tan40°=

二、原命題成立，想一想其逆命題成不成立

如：公差d≠0的等差數列{a}的前n項和S=na+n（n-1）d是關于n的二次函數。想一想它的逆命題成不成立？即如果數列{a}中S=an+bn+c，這個數列是等差數列嗎？由此可得一個重要的結論：若數列{a}的S=an+bn+c，則該數列為等差數列的充要條件是c=0。

三、正難則反思想的滲透教育

1.反證法。

當直接證明一個結論成立比較困難時，就從結論的反面去思考，假設這個結論不成立，并以這個假設為依據推導出與已知條件或其它事實相矛盾的結論，這說明假設是錯誤的，即這個假設不能成立，那么原命題就肯定成立。

例3：已知：f（x）=x+px+q，

求證：|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|中至少有一個不小于。

分析：直接證顯得繁雜困難，而其反面卻只有一種情況，用反證法是最佳證法。

證：假設命題不真，則|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|都小于，

即|f（1）|＜|f（2）|＜|f（3）|＜?圯-＜p+q＜- （1）-＜2p+q＜- （2）-＜3p+q＜- （3）

得-＜2p+q＜-，這與（2）式相矛盾，故假設為假，從而原命題為真。

2.分析法。

從欲證的不等式出發，分析使這個不等式成立的條件，只要使不等式成立的條件具備，就可判定原命題成立。這是執果索因。

例4：已知a、b、c＞0，求證：++≤。

分析：直接證似乎無從入手，考慮用分析法，去探尋更簡單、更明顯成立的條件不等式。

證：要證++≤

需證：++≤3

需證：++≤3

即證++≤6

即證（+）+（+）≥6①

∵a、b、c＞0

∴+≥2，+≥2，+≥2

①式顯然成立，故原不等式成立。

3.反推理。

順推不行時考慮逆求，從問題的結論出發，根據結論的特征去找還缺的條件。

例5：設有n個球，甲、乙兩人按如下方法做游戲：兩人輪流去拿球，每人一次可隨意拿一個或兩個球，但不準不拿，誰取得最后一個球誰敗。如果甲先拿，試就a的值分析甲的勝敗。

在這里，如果先直接從n的值出發，順向去講將十分困難。考慮從后面逆向反推，甲最后一次取時剩2個或3個球，甲取走1個或2個，剩下最后一個由乙取，則甲勝。

要保證甲最后一次取時剩2個或3個球，則倒數回去的一次乙取時應剩4個球。那么甲倒數第二次取時應剩5個或6個球……

這樣逐一倒推回去，甲開始取時，球數n=3k或3k+2時，甲必勝。

具體操作如下：

設n=3k或3k+2個球時，甲相應走2個或1個球，剩下的球數為3k+1。然后乙取，若乙取2個，甲就隨之取1個；若乙取1個，甲就隨之取2個。總之，甲就取球數與乙取球湊成3，從而使乙取球時，球數都是3的倍數加1，最終使乙取走最后一個。

如果n=3k+1，甲必敗。這是因為甲第一次無論取1個或2個球，乙第一次取球時，球數必是3的倍數或3的倍數加2。由前述討論，乙必勝。

4.直接解決不易時，考慮間接解決。

例6：如圖，在一段線路中并聯著3個，自動控制的常用開關，只要其中有1個開關能夠閉合，線路就能正常工作。假定在某段時間內每個開關能夠閉合的概率都是0.7。計算在這段時間內線路正常工作的概率。

分析：直接求，情況較多，包括恰有其中某1個開關閉合、恰有其中某2個開關閉合、恰有其中某3個開關閉合等情況。為此，轉而先研究其對立事件的概率。

解：分別記這段時間內開關J、J、J能夠閉合為事件A、B、C。由題意，這段時間內3個開關是否能夠閉合相互之間沒有影響。根據相互獨立事件的概率乘法公式，這段時間內3個開關都不能閉合的概率是P（··）=P（）·P（）·P（）=［1-P（A）］［1-P（B）］［1-P（C）］=（1-0.7）（1-0.7）（1-0.7）=0.027。

于是這段時間內至少有1個開關能夠閉合，從而使線路能正常工作的概率是1-P（··）=1-0.027=0.973。

答：在這段時間線路正常工作的概率是0.937。

5.反例。

反例，是指符合某個命題的條件，而又不符合該命題結論的例子。在科學研究中，往往是實驗、觀察、分析與歸納的基礎上，首先提出猜想，再去驗證猜想的結論所提示的規律是否正確。對猜想給出證明或反例是數學家的重要任務。正如美國數學家蓋爾鮑姆所指出的，數學是兩大類——證明和反例組成，而數學發現也是朝著兩個主要目標——提出證明和構造反例邁進。

例7：判斷下述命題是否成立：

已知T、T分別是f（x）、g（x）的最小正周期，則T、T的最小公倍數是f（x）+g（x）的最小正周期。

分析：T、T的最小公倍數必是f（x）+g（x）的周期，但是否最小，就不見得。反例：先把一個周期分為三段——前兩段用相同一升一降的曲線，后一段重合于軸的線段，以此作為f（x）在周期T內的圖像；前兩段用重合于x軸的線段，后一段用一升一降的曲線，作為g（x）在周期T內的圖像。如下圖，容易看出，f（x）、g（x）的最小正周期并不是T，而是。

又如數學家費爾馬曾猜想，對任何非負整數n，形如2+1的數都是質數。在n=0，1，2，3，4時，這個結論確實是正確的。但是后來著名數學家歐拉舉出了一個反例，當n=5時，2+1=4294967297=641×6700417，是合數，于是這個猜想被推翻了。

逆向思維，從反面觀察事物，把原問題變換一下處理，從非常規方面下手，由此尋求出解決問題的方法，甚至會產生意想不到的良好效果或獲得新的創造發明。在教學中，教師應多加強這方面的教育和訓練。