高中數(shù)學(xué)等差數(shù)列問題解答易錯(cuò)點(diǎn)探析

數(shù)列知識(shí)是刻畫離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，在日常生活中，我們會(huì)遇到如存款利息、購房貸款、資產(chǎn)評(píng)析等一些計(jì)算問題，數(shù)列問題模型可以幫助我們有效解決這些實(shí)際問題，學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)對(duì)進(jìn)一步理解函數(shù)的概念和體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值具有重要的意義。高中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)知識(shí)章節(jié)里，經(jīng)典性的數(shù)學(xué)問題可以使學(xué)生能夠切身體會(huì)數(shù)列的函數(shù)背景，感受到數(shù)列是研究現(xiàn)實(shí)問題情境的數(shù)學(xué)模型。等差數(shù)學(xué)作為數(shù)列知識(shí)的重要組成部分，在促進(jìn)學(xué)生有效解決現(xiàn)實(shí)問題中發(fā)揮著重要的作用。但學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中容易受到自身學(xué)習(xí)水平和知識(shí)理解不透徹的影響，容易出現(xiàn)各種解題錯(cuò)誤，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效能降低。我現(xiàn)就學(xué)生在解答等差數(shù)列過程中易錯(cuò)之處進(jìn)行初步論述。

一、公差取值理解錯(cuò)誤而出現(xiàn)錯(cuò)誤解答

在等差數(shù)列知識(shí)教學(xué)中，通過問題解答過程和結(jié)果我們可以知道，在等差數(shù)列中公差可能為正值、負(fù)值或等于0，但是在解題實(shí)際過程中，往往會(huì)主觀地認(rèn)為公差大于0而漏解，導(dǎo)致解題出現(xiàn)錯(cuò)誤。

案例：已知b是a、c的等差中項(xiàng)，且lg（a+1），lg（b-1），lg（c-1）成等差數(shù)列，且a+b+c=15，求a、b、c的值。

錯(cuò)誤解題過程為：

∵2b=a+c， a+b+c=15，∴3b=15，b=5.

設(shè)等差數(shù)列a、b、c的公差為d，則a=5-d，c=5+d.

∵2lg（b-1）= lg（a+1）+lg（c-1），∴2lg4=lg（5-d+1）+lg（5+d-1）=lg［25-（d-1）］，∴16=25-（d-1），∴（d-1）=9，∴d-1=3，d=4∴a、b、c依次是1、5、9.

通過上述解題過程的分析，我們發(fā)現(xiàn)，在這一問題進(jìn)行到（d-1）=9的解答時(shí)，開平方得d-1=3，僅取算式平方根是錯(cuò)誤的。在解題過程中，遇到求某數(shù)的平方根時(shí)，一般應(yīng)求出兩個(gè)值，再根據(jù)題設(shè)條件來決定取舍，如果僅取算術(shù)平方根，那么往往會(huì)發(fā)生漏解的現(xiàn)象。因此，正確的解題過程為：

解：∵2b=a+c， a+b+c=15，∴3b=15，b=5.

設(shè)等差數(shù)列a、b、c的公差為d，則a=5-d，c=5+d，

∵2lg（b-1）= lg（a+1）+ lg（c-1），∴2lg4=lg（6-d）+lg（4+d），

∴16=（6-d）（4+d），∴d-2d=8，∴d=4，或d=-2.

∴a、b、c依次為1、5、9或7、5、3.

二、不能正確理解等差數(shù)列的性質(zhì)而出現(xiàn)錯(cuò)解

在等差數(shù)列{a}中，如果問題中出現(xiàn)形如m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，則a+a=a+a。很多學(xué)生在解題時(shí)往往會(huì)產(chǎn)生a=a+a。

案例：設(shè){a}是等差數(shù)列，a=q，a=p（p≠q），試求a的值為多少？

某一學(xué)生解題過程為：∵{a}是等差數(shù)列，∴a=a+a=p+q.

通過研究分析，發(fā)現(xiàn)這一學(xué)生在解題過程中根據(jù)以往學(xué)習(xí)知識(shí)內(nèi)容而形成的慣性思維特點(diǎn)，在審題過程中錯(cuò)誤的將a的結(jié)果等同于a+a，究其原因在于學(xué)生在對(duì)等差數(shù)列知識(shí)的性質(zhì)進(jìn)行理解時(shí)，未能抓住等差數(shù)列知識(shí)性質(zhì)的關(guān)鍵詞和掌握其內(nèi)在含義，從而導(dǎo)致解題過程出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，正確的解題過程為：

解：∵a=a+（p-1）d，a=a+（q-1）d，∴a+（p-1）d =q（1），a+（q-1）d=p（2）.由（1）-（2）得：（p-q）d=q-p.∵p≠q，∴d=-1，代入（1）中，原式=（p-1）·（-1）=q，∴a=p+q-1，∴ap+q=a+（p+q-1）d=p+q-1+（p+q-1）·（-1）=0.

三、錯(cuò)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)進(jìn)行問題解答導(dǎo)致錯(cuò)解

通過對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)性質(zhì)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠運(yùn)用其性質(zhì)內(nèi)容進(jìn)行問題的有效解答，但由于學(xué)生在等差數(shù)列{a}的前m項(xiàng)和S，與S-S，S-S成等差數(shù)列，但在解題時(shí)常常誤認(rèn)為S，S，S成等差數(shù)列而導(dǎo)致解題過程出現(xiàn)錯(cuò)誤。

案例：設(shè)等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S，已知S/S=1/3，求S/S的值。

錯(cuò)誤解題過程如下：解，令S=k，S=3k，則S=5k，S=7k，所以S/S=5k/7k=3/7.

通過對(duì)這一問題解答過程分析，發(fā)現(xiàn)本題中數(shù)列為等差數(shù)列，所以S，S-S，S-S，S-S等差數(shù)列，而不是S，S，S，S成等差數(shù)列。因此正解為：

解：令S=k，S=3k，∴S-S=2k，

∴S-S=3k，即S=6k，S-S=4k，即S=10k，

∴S/S=3k/10k=3/10.

四、利用數(shù)列前n項(xiàng)的和S求通項(xiàng)a時(shí)，忽略條件n≥2而出現(xiàn)解題錯(cuò)誤

利用a=S-S（n≥2）求通項(xiàng)時(shí)，對(duì)于a需要進(jìn)行驗(yàn)證說明時(shí)，若符合a的表達(dá)式，可利用一個(gè)表達(dá)式表示；若不符合，則需要用兩個(gè)表達(dá)式，即分段進(jìn)行表示，而解題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)忽略條件n≥2而不檢驗(yàn)a是否符合a的式子，而出現(xiàn)解題錯(cuò)誤。

案例：已知數(shù)列{a}，a=1，S=n-2n+1，求a的值。

錯(cuò)解過程如下：

∵a=S-S= n-2n+1-（n-1）+2（n-1）-1=n-2n+1-n+2n-1+2n-2-1=2n-3。∴a=2n-3（n∈N）.

這一問題解答時(shí)，題中所用的關(guān)系式a=S-S只有當(dāng)n≥2時(shí)才能成立，而這一問題中遺漏了這一條件，所以解題過程錯(cuò)誤。其正確解答過程為:

解：a=S-S（n≥2）

= n-2n+1-（n-1）+2（n-1）-1

=n-2n+1-n+2n-1+2n-2-1

=2n-3

當(dāng)n=1時(shí)，a=1不能滿足上式條件，

所以a=1（n=1）或2n-3（n≥2）.

以上是我在實(shí)際教學(xué)中根據(jù)學(xué)生解題過程中出現(xiàn)的問題，進(jìn)行的簡單的整理和初步的剖析，希望能夠拋磚引玉，以期引起廣泛反映，共同推動(dòng)有效問題教學(xué)活動(dòng)的進(jìn)程。