高中數學等差數列問題解答易錯點探析

數列知識是刻畫離散現象的數學模型，在日常生活中，我們會遇到如存款利息、購房貸款、資產評析等一些計算問題，數列問題模型可以幫助我們有效解決這些實際問題，學習數列知識對進一步理解函數的概念和體會數學的應用價值具有重要的意義。高中數學中的數學知識章節里，經典性的數學問題可以使學生能夠切身體會數列的函數背景，感受到數列是研究現實問題情境的數學模型。等差數學作為數列知識的重要組成部分，在促進學生有效解決現實問題中發揮著重要的作用。但學生在學習活動中容易受到自身學習水平和知識理解不透徹的影響，容易出現各種解題錯誤，導致學習效能降低。我現就學生在解答等差數列過程中易錯之處進行初步論述。

一、公差取值理解錯誤而出現錯誤解答

在等差數列知識教學中，通過問題解答過程和結果我們可以知道，在等差數列中公差可能為正值、負值或等于0，但是在解題實際過程中，往往會主觀地認為公差大于0而漏解，導致解題出現錯誤。

案例：已知b是a、c的等差中項，且lg（a+1），lg（b-1），lg（c-1）成等差數列，且a+b+c=15，求a、b、c的值。

錯誤解題過程為：

∵2b=a+c， a+b+c=15，∴3b=15，b=5.

設等差數列a、b、c的公差為d，則a=5-d，c=5+d.

∵2lg（b-1）= lg（a+1）+lg（c-1），∴2lg4=lg（5-d+1）+lg（5+d-1）=lg［25-（d-1）］，∴16=25-（d-1），∴（d-1）=9，∴d-1=3，d=4∴a、b、c依次是1、5、9.

通過上述解題過程的分析，我們發現，在這一問題進行到（d-1）=9的解答時，開平方得d-1=3，僅取算式平方根是錯誤的。在解題過程中，遇到求某數的平方根時，一般應求出兩個值，再根據題設條件來決定取舍，如果僅取算術平方根，那么往往會發生漏解的現象。因此，正確的解題過程為：

解：∵2b=a+c， a+b+c=15，∴3b=15，b=5.

設等差數列a、b、c的公差為d，則a=5-d，c=5+d，

∵2lg（b-1）= lg（a+1）+ lg（c-1），∴2lg4=lg（6-d）+lg（4+d），

∴16=（6-d）（4+d），∴d-2d=8，∴d=4，或d=-2.

∴a、b、c依次為1、5、9或7、5、3.

二、不能正確理解等差數列的性質而出現錯解

在等差數列{a}中，如果問題中出現形如m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，則a+a=a+a。很多學生在解題時往往會產生a=a+a。

案例：設{a}是等差數列，a=q，a=p（p≠q），試求a的值為多少？

某一學生解題過程為：∵{a}是等差數列，∴a=a+a=p+q.

通過研究分析，發現這一學生在解題過程中根據以往學習知識內容而形成的慣性思維特點，在審題過程中錯誤的將a的結果等同于a+a，究其原因在于學生在對等差數列知識的性質進行理解時，未能抓住等差數列知識性質的關鍵詞和掌握其內在含義，從而導致解題過程出現錯誤。因此，正確的解題過程為：

解：∵a=a+（p-1）d，a=a+（q-1）d，∴a+（p-1）d =q（1），a+（q-1）d=p（2）.由（1）-（2）得：（p-q）d=q-p.∵p≠q，∴d=-1，代入（1）中，原式=（p-1）·（-1）=q，∴a=p+q-1，∴ap+q=a+（p+q-1）d=p+q-1+（p+q-1）·（-1）=0.

三、錯用等差數列前n項和的性質進行問題解答導致錯解

通過對等差數列前n項性質內容的學習，學生能夠運用其性質內容進行問題的有效解答，但由于學生在等差數列{a}的前m項和S，與S-S，S-S成等差數列，但在解題時常常誤認為S，S，S成等差數列而導致解題過程出現錯誤。

案例：設等差數列{a}的前n項和S，已知S/S=1/3，求S/S的值。

錯誤解題過程如下：解，令S=k，S=3k，則S=5k，S=7k，所以S/S=5k/7k=3/7.

通過對這一問題解答過程分析，發現本題中數列為等差數列，所以S，S-S，S-S，S-S等差數列，而不是S，S，S，S成等差數列。因此正解為：

解：令S=k，S=3k，∴S-S=2k，

∴S-S=3k，即S=6k，S-S=4k，即S=10k，

∴S/S=3k/10k=3/10.

四、利用數列前n項的和S求通項a時，忽略條件n≥2而出現解題錯誤

利用a=S-S（n≥2）求通項時，對于a需要進行驗證說明時，若符合a的表達式，可利用一個表達式表示；若不符合，則需要用兩個表達式，即分段進行表示，而解題中經常會出現忽略條件n≥2而不檢驗a是否符合a的式子，而出現解題錯誤。

案例：已知數列{a}，a=1，S=n-2n+1，求a的值。

錯解過程如下：

∵a=S-S= n-2n+1-（n-1）+2（n-1）-1=n-2n+1-n+2n-1+2n-2-1=2n-3。∴a=2n-3（n∈N）.

這一問題解答時，題中所用的關系式a=S-S只有當n≥2時才能成立，而這一問題中遺漏了這一條件，所以解題過程錯誤。其正確解答過程為:

解：a=S-S（n≥2）

= n-2n+1-（n-1）+2（n-1）-1

=n-2n+1-n+2n-1+2n-2-1

=2n-3

當n=1時，a=1不能滿足上式條件，

所以a=1（n=1）或2n-3（n≥2）.

以上是我在實際教學中根據學生解題過程中出現的問題，進行的簡單的整理和初步的剖析，希望能夠拋磚引玉，以期引起廣泛反映，共同推動有效問題教學活動的進程。