關注知識方法,提升思維能力

當前，在各地嚴格規范辦學行為、切實減輕學生過重學業負擔、全面推進素質教育的大背景之下，伴隨著2011年高考一輪復習工作的進行，我校組織備課組展開了對近三年江蘇高考數學試題的深入研究與有效探索，以提高數學一輪復習的針對性和實效性。

一、江蘇高考數學試題的考查要求

1.數學知識：知識點共74個，涉及17塊，考查分A(了解)、B(理解)、C(掌握)三個層次，A∶B∶C=30∶36∶8。其中C級是考查的熱點；B級是考查的重點；A級知識點直接考查很少，基本以新增內容為主，力求體現新課程特點。

新增內容：函數零點，二分法，冪函數，算法初步，回歸方程，幾何概型，邏輯聯結詞、全稱與存在量詞，莖葉圖，推理與證明，導數擴展，復數，空間直角坐標系，等等。

理科附加：直線與圓錐曲線，空間向量，數歸法，復合函數求導，定積分，概率分布，計數原理，以及選修4中的專題(幾何證明、矩陣、參數方程、不等式)。

2.數學能力：思維、運算、空間想象、數學應用、數學閱讀、數據處理、分析解決問題等。

3.數學思想：函數與方程、數形結合、分類討論、化歸與轉化、特殊與一般等。考查主要體現在通性通法上。

4.加強試題的開放性和探究性：以所學數學知識和思想方法為基礎，對某些數學實際問題進行探究，考查數學建模能力和探究創新能力。

二、江蘇高考近三年數學試卷分析

1．近三年試題的基本情況。

2.近三年試題的知識點與分值分布。

3.2010年各題考查效果統計分析。

（數據來源于2010江蘇省徐州市暑期高中數學課程培訓會）

(1)填空題

填空題(第1—14題，共70分)大致可分為7∶2∶5三個層次，其中1—7屬容易題，8、9屬中等題，10—14屬難題。總體均分43.19，難度系數約為0.62，較之2009年該部分的總體均分54.52、難度系數0.78，2008年該部分的總體均分48.35、難度系數0.69，低了很多。

第1—4題考查最基礎的知識，準確率很高，均分18.0(共20分)，難度系數約為0.9。

第5—8題主要考查的是新增內容，大多數考生都能上手，準確率也較高，均分15.95(共20分)，難度系數約為0.80。

第9—11題本是按中檔題設計，但從得分情況來看，屬于難題，三題均分5.9(共15分)，難度系數約為0.39。

第12—14題是三道要求更高的試題，屬填空題中的“壓軸題”，均分僅為3.34(共15分)，難度系數約為0.21。

總體來看，填空題難度過大，難度系數在0.4以下的達到了5題，難題數目明顯過多。

(2)平面向量題

第15題是關于平面向量的幾何意義、線性運算、數量積有關的解答題，均分10.27(滿分14分)，難度系數0.73，各段得分人數百分比見下表1。（總人數：526523人）

(3)立體幾何題

第16題是關于線面、面面位置關系，以及幾何體體積的立體幾何解答題，均分9.43(滿分14分)，其中第(1)問均分6.68（滿分8分），第(2)問均分2.75(滿分6分)，難度系數0.67，各段得分人數百分比見下表2。

(4)解三角形應用題

第17題是一道以測量電視塔高度為背景，涉及解三角形、基本不等式、求最值的應用題，屬于中等題，均分8.51(滿分14分)，難度系數為0.61，各段得分人數百分比見下表3。

(5)解析幾何題

第18題是關于簡單曲線方程、直線與橢圓關系的解析幾何解答題，均分6.67(滿分16分)，難度系數0.41，滿分者僅63人，各段得分人數百分比見下表4。

(6)數列題

第19題是一道有關等差數列、基本不等式的綜合題，均分2.5(滿分16分)，難度系數0.16，滿分者僅3人，12分以上也僅16人，各段得分人數百分比見下表5。

(7)函數題

第20題是一道涉及函數的概念、性質、圖像及導數的函數解答題，均分2.55(滿分16分)，難度系數0.16，滿分僅25人，各段得分人數百分比見下表6。

三、江蘇高考數學試題的結構特征

一份試卷形成后，一般會出現三種類型：一是直接來自教材的改編題；二是資料的組合題；三是生僻背景的創作題(尤其是最新競賽資料)。

1.來自課本的改編題。

（1）(2010，15)在平面直角坐標系中，已知點A(-1，-2)，B(2，3)，C(-2，-1)。

(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線長；

(2)設實數t滿足（-t）·=0，求t的值。

該題由必修四P76例6，P77練習2，P89復習題15改編而成。

（2）(2010，17)某興趣小組要測量電視塔AE的高度H，垂直放置的標桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

①該小組已測得一組α，β的值，算出了tanα=1.24，tanβ=1.20，請據此算出H的值；

②該小組分析若干測得的數據后，認為適當調整標桿到電視塔的距離d，使α與β之差最大，可以提高測量精度。若電視塔的實際高度為125m，試問d為多大時，α-β最大？

該題以高中教材必修5習題1.1第3題及習題1.3第4題為原形研磨而成，將其中的某些定值演變為變量，較好地達到考查的目的，體現了推陳出新的意識。

2.來自資料的組合題。

（1）(2010)函數y=x(x>0)的圖像在點(a，a)處的切線與x軸交點的橫坐標為a，若a=16，則a+a+a的值是?搖?搖?搖?搖。

(2)（2009）設向量a=(4cosα，sinα)，b=(sinβ，4cosβ)，c=(cosβ，-4sinβ)

①若a與b-2c垂直，求tan(α+β)的值；

②求|b+c|的最大值；

③若tanαtanβ=16，求證：a∥b。

3.生僻背景的創作題。

（1）(2008)如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個頂點A、B及CD的中點P處，AB=20km，BC=10km。為了處理三家工廠的污水，現要在該矩形區域上，且與A、B等距離的一點O處，建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道AO、BO、PO。記排污管道的總長度為ykm。

①按下列要求建立函數關系：

Ⅰ.設∠BAO=θ，將y表示為θ的函數；

Ⅱ.設PO=x，將y表示為x的函數。

②請你選擇(1)中的一個函數關系，確定污水處理廠的位置，使鋪設排污管道的總長度最短。

（2）(2010)設各項均為正數的數列{a}的前n項和為S。

已知2a=a+a，數列{}是公差為d的等差數列。

設c為實數，對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數m，n，k，不等式S+S>cS都成立，求證：c的最大值為。

四、學生答題中反映出的問題

1.雙基掌握不牢靠。

我們在閱卷中發現，學生的基本功很不扎實，“眼高手低”現象普遍存在。

例如，2008年的應用題，函數式的建模，正確式分別為y=x+2和y=+10-10tanθ，但卻出現了不下四十種錯誤，直接導致后續解答失分(也是本題5.7的得分，比預計9.5分，相差近3分的主要原因)。

再如，2009年的三角題(第15題)，滿分率比立幾少了20個百分點，均分低了1分，不是試題難度所致，而是雙基功夫不能應付“頭緒”的增多所致。

又如，2010年的向量題(第15題)，第（1）小題是引入向量解決問題；第（2）小題是把向量轉化為代數問題求解。一正一反，簡單靈活，考查學生向量概念和運算的基本能力。但閱卷中發現考生出現的錯誤讓人難以接受：

(ⅰ)第（1）小題有相當一部分考生對圖形的“想象”錯誤或不會“想象”；

(ⅱ)求坐標、求長度用錯點、用錯公式等離奇錯誤比比皆是，一看就會、一算就錯的“眼高手低”現象嚴重；

(ⅲ)不會表述，許多考生把本題也當成填空題，寫三個數值：4，2，-，即認為已經解“對”了題。

另外，2010年的立體幾何也反映出學生解題中的淺浮，如第(2)小題典型錯誤：

解：設A到面PBC的距離為h，

V=××(1+2)×1=，

∵V=V，

∴×××1×h=，

∴h=.

注：約有23%的考生犯此錯誤，誤將小三棱錐的體積等于大四棱錐的體積，說明不是不會，而是由于基本功不夠扎實，犯低級錯誤。

2.計算能力整體水平偏低。

計算能力差已經在近幾年的高考中突出地表現出來，特別表現在字母參與運算上。例如，2008、2009、2010年的解析幾何題，字母參與運算，均分都在6分左右(滿分16分)，難度系數不足0.4，成了標準的難題。

3.通性通法沒有落在實處。

中學數學教學中反復強調的通性通法，如數形結合、分類討論、待定系數法、分離參數法、過定點問題等，沒有落在實處，“真到用時無意識”。

例如，2009年的第18題解析幾何題的(2)，如果對待定系數法了如指掌，設點、設直線方程，利用點到直線的距離公式，化簡方程，思路非常自然，只是關于過定點的問題有可能想不到。

再如，2009年的第17題數列題的(2)：

設{a}是公差不為零的等差數列，S為其前n項和，滿足a+a=a+a，S=7。

（1）求數列{a}的通項公式及前n項和S；

（2）試求所有的正整數m，使得為數列S中的項。

多數同學都能寫出=，卻不知道分離參數的常用技能。實際上，一旦寫出（2m-9）+后，基本就無分可丟了。

4.數學建模能力、創新探究能力薄弱。

數學建模、創新探究能力因為對思維的要求較高，已經成為學生最薄弱的環節。很多考生視這些考查超出自己的能力之外，多是主動放棄。例如，2010年的第17題(三角應用題)盡管是一道背景非常熟悉的建模應用題，但解答整體情況并不理想。

五、教學啟示

1.重視基礎，立足課標、教材。

只有抓好基礎，才能以不變應萬變。不要熱衷于鉆難題、練怪招、學技巧。時不時地回到課本，往往會產生新認識、新感受、新收獲。何況，一般會有80分左右的試題直接源出于課本。

另外，近80分的基礎題至少有60—70分是考查基礎知識和基本方法的，應當確保做好基礎題，這是考出理想成績的保障。高考拿高分的同學的一個共同特點就是基礎題做得好。

高考命題的另一個重要特點是追求區分度，能有效地檢測出考生的不同層次（包括不同的知識水平和不同的能力水平）。體現在小題上，有從易到難的一個合適的坡度；體現在解答題上，多數的試題有幾個明顯的層次，入門寬，路子多，揭示一個已知條件的本質，轉化一個任務都是得分的機會。這些都要建立在基礎扎實的前提下。

2.提高解題的效率。

解題是數學學習的根本，必須解相當數量的題目，所謂“熟能生巧”、“精講多練”，實際上已經是國際數學教育界(馬登理論)公認的行之有效的數學學習手段。

問題是，如何調整好心態，盡量提高解題的質量和效率。相信每位同學都積累了屬于個人的獨到經驗。但也不可否認，相當一部分同學有種遲遲不見起色的感覺。因此，一要做有質量的試題；二要注重解題反思、總結。

3.增強應付“生面孔”試題的能力。

解新題的能力是數學解題能力的根本，需要的是對數學的悟性和靈性。新問題常常表現為背景新、呈現形式新、解題方法新，遇到時一般會自然地產生一種“緊張感”。實際上，這種“緊張感”一是由于相關知識、方法掌握不牢固而產生的“底氣不足”；二是由于應對這種情境的經驗不足而產生的“膽怯”心理，正像初次走向舞臺總會有些膽怯一樣。應注意，遇到“生面孔”的題目一定不要急于看答案、提示或問老師、問同學，這樣解題能力永遠也不會真正提高。正確的辦法是“試著做”，挖空心思地去聯想、構造，但不一定非要做出來才算勝利，可能只是產生了一些并不成熟的想法，或者走了一大段彎路。從實際上看好像毫無收獲，但這個過程中卻豐富了應對“新問題”的經驗和膽量，一段時間之后，可能就會發現解決新問題不過就在“一念之間”，自己好像突然有了靈感一樣。

4.重視數學思想方法的教學與復習。

《考試大綱》指出：“加強對中學數學知識中所蘊涵的數學思想方法的考查，具體要求主要體現在通性通法上。”

數學不僅僅是一種重要的“工具”或者“方法”，更重要的是一種思維模式，表現為數學思想。數學思想和方法的考查始終貫穿于整個試卷之中。

江蘇高考數學體現了對于高中學生的數學要求，難易結合，區分度較大，注重知識間的聯系，創新性強，但又不失基礎，讓不同層次的考生都有得分點。當然同時也對明年的高考數學提出了一些新的要求，要求學生在注重數學基本能力和綜合能力的培養基礎上，要在數學解題的思想方法和應用意識上下功夫，還要在數學創新意識的建立與培養上有所創新和突破。為此，一線的教師就更要關注學生知識方法的掌握、思維能力的提升。

參考文獻：

［１］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）［Ｍ］.北京：人民教育出版社，2003.

［２］江蘇省普通高中數學課程標準教學要求.2010.

［３］2010年江蘇省高考數學科考試說明.

［４］2010年暑期江蘇省徐州市高中數學課程培訓會材料.