讓學生擁有走向成功的“通行證”

摘 要： 隨著新課程改革的深入，作為一名初中數學教師，作者在不斷反思自己教學的過程中，感到培養學生的數學思想與方法對學生的能力發展起到舉足輕重的作用。

關鍵詞： 數學思想 創新思維能力 教學方法

數學思想是人們在長期的數學活動中提煉出的高層次的觀念性思維形式，是分析、處理和解決數學問題的根本想法，是對數學規律的理性認識。由于中學生認知能力和中學數學教學內容的限制，教師只能將部分重要的數學思想落實到數學教學過程中，而對有些數學思想不宜要求過高。教師在中學數學教學中應予以重視的數學思想主要有三個：集合思想、化歸思想和對應思想。其理由是：（1）這三個思想幾乎包攬了全部中學數學內容；（2）符合中學生的思維能力，以及他們的實際生活經驗，易于被他們理解和掌握；（3）在中學數學教學中，運用這些思想分析、處理和解決數學問題的機會比較多；（4）掌握這些思想可以為學生進一步學習高等數學打下較好的基礎。

此外，符號化思想、公理化思想及極限思想等在中學數學中也不同程度地有所體現，教師應依據具體情況在教學中予以滲透。

數學方法是分析、處理和解決數學問題的策略，這些策略與人們的數學知識、經驗與數學思想掌握情況密切相關。從有利于中學數學教學出發，本著數量不宜過多的原則，我們認為目前應予以重視的數學方法有：數學模型法、數形結合法、變換法、函數法和分類等。一般來講，中學數學中分析、處理和解決數學問題的活動是在數學思想指導下，運用數學方法，通過一系列數學技能操作來完成的。

一、了解《標準》要求，把握教學方法

《數學課程標準》把數學思想、方法作為基礎知識的重要組成部分，在標準中明確提出來，這不僅是大綱體現義務教育的重要表現，而且是對學生實施創新教育、培訓創新思維能力的重要保證。數學思想是數學的靈魂，數學方法是數學的行為。運用數學方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當這種量的積累達到一定程序時就產生了質的飛躍，上升為了數學思想。若把數學知識看作根據一幅構思巧妙的藍圖而建筑起來的一座宏偉大廈，那么數學方法相當于建筑施工的手段，而這幅藍圖就相當于數學思想。

1.把握“層次”，克服盲目性。

《數學課程標準》把初中數學中滲透的數學思想、方法劃分為三個層次，即“了解”、“理解”和“會應用”。在教學中，我們要求學生“了解”的數學思想有：數形結合的思想、分類的思想、化歸的思想、類比的思想、函數的思想、由“一般化”向“特殊化”轉化的思想方法等。

教師在整個教學過程中，不僅應該使學生能夠領悟到這些數學思想的應用，而且要激發學生學習數學思想的好奇心和求知欲，使學生通過獨立思考，不斷追求新知，發現、提出、分析并創造性地解決問題。在《標準》中要求“了解”的方法有：分類法、類比法、反證法等；要求“理解”的或“會應用”的方法有：待定系數法、消元法、降次法、配方法、換元法、圖像法等。在教學中，教師要認真把握好“了解”、“理解”、“會應用”這三個層次，不能隨意將“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會應用”的層次，否則，學生初次接觸就會感到數學思想、方法抽象難懂、高深莫測，從而導致他們喪失信心。我們在教學中，應牢牢地把握住這個“度”，千萬不能隨意拔高、加深。否則，教學效果將是得不償失。

2.從“方法”了解“思想”，用“思想”指導“方法” ，兩者相得益彰。

關于初中數學中的數學思想和方法的內涵與外延，目前尚無公認的定義。其實，在初中數學中，許多數學思想和方法是一致的，兩者之間很難分割，它們既相輔相成，又相互蘊含。只是方法較具體，是實施有關思想的技術手段，而思想是屬于數學觀念一類的東西，比較抽象。因此，在初中數學教學中，加強學生對數學方法的理解和應用，以達到對數學思想的了解，是使數學思想與方法得到交融的有效方法。比如化歸思想貫穿于整個初中階段的數學，具體表現為從未知到已知的轉化、一般到特殊的轉化、局部與整體的轉化。課本還引入了許多數學方法，比如換元法、消元降次法、圖像法、待定系數法、配方法等。通過以上重要方法的學習，學生能充分領略到數學思想的風采，同時，數學思想的指導促進了數學方法的使用和鞏固。在教學中，通過對具體數學方法的學習，學生逐步領略內含于方法的數學思想；同時，數學思想的指導，又深化了數學方法的運用。只有使“方法”與“思想”珠聯璧合，將創新思維和創新精神寓于教學之中，教學才能卓有成效。

二、遵循認識規律，把握教學原則，實施創新教育

要達到《教學課程標準》的基本要求，教師應遵循以下原則。

1.滲透“方法”，了解“思想”。

由于初中學生數學知識比較貧乏，抽象思維能力也較為薄弱，把數學思想、方法作為一門獨立的課程還缺乏應有的基礎，因而教師只能將數學知識作為載體，把數學思想和方法的教學滲透到數學知識的教學中。教師要把握好滲透的契機，重視數學概念、公式、定理、法則的提出過程，知識的形成、發展過程，解決問題和規律的概括過程，使學生在這些過程中展開思維，從而發展他們的科學精神和創新意識，形成獲取、發展新知識，運用新知識解決問題的能力。忽視或壓縮這些過程，一味灌輸知識的結論，就必然失去滲透數學思想、方法的一次次良機。如初中數學《有理數》這一章，與原來部編教材相比，新教材少了一節——“有理數大小的比較”，而它的要求則貫穿在整章之中。在數軸教學之后，就引出了“在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大”，“正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數”。而兩個負數比大小的全過程單獨地放在絕對值教學之后解決。教師在教學中應把握住這個逐級滲透的原則，使這一章節重點突出、難點分散，學生易于接受。在滲透數學思想、方法的過程中，教師要精心設計、有機結合，有意識地潛移默化地啟發學生領悟蘊含于數學之中的種種數學思想方法，切忌生搬硬套、和盤托出、脫離實際等錯誤做法。比如，教學一次不等式組解集時，可結合數軸圖像來理解和記憶，總結歸納出解集在“同大取大”、“同小取小”、“大于小的，小于大的，取中間”、“大于大的，小于小的，無解”，利用形數結合方法，從而比較順利地完成新舊知識的過渡。

2.訓練“方法”，理解“思想”。

數學思想的內容是相當豐富的，方法也有難有易。因此，必須分層次地進行滲透教學。這就需要教師全面地熟悉初中三個年級的教材，鉆研教材，努力挖掘教材中進行數學思想、方法滲透的各種因素，對這些知識從思想方法的角度作認真分析，按照初中三個年級不同的年齡特征、知識掌握的程度、認知能力、理解能力和可接受性能力由淺入深，由易到難分層次地貫徹數學思想、方法的教學。如在教學同底數冪的乘法時，引導學生先研究底數、指數為具體數的同底數冪的運算方法，從而歸納出一般方法，在得出用a表示底數，用m、n表示指數的一般法則以后，再要求學生應用一般法則來指導具體的運算。在整個教學中，教師應分層次地滲透歸納和演繹的數學方法，從而對學生養成良好的思維習慣起重要作用。

3.掌握“方法”，運用“思想”。

數學知識的學習要經過聽講、復習、做習題等才能掌握和鞏固。數學思想、方法的形成同樣有一個循序漸進的過程。只有經過反復訓練，學生才能真正領會。另外，教師要使學生形成自覺運用數學思想方法的意識，就必須建立起學生自我的“數學思想方法系統”，這更需要一個反復訓練、不斷完善的過程。比如，運用類比的數學方法，在新概念提出、新知識點的講授過程中，可以使學生易于理解和掌握。學習一次函數的時候，我們可以用乘法公式類比；在學習二次函數有關性質時，我們可以與一元二次方程的根與系數性質類比，通過多次重復性的演示，使學生真正理解、掌握類比的數學方法。

4.提煉“方法”，完善“思想”。

在教學中教師要適時恰當地對數學方法給予提煉和概括，讓學生有明確的印象。由于數學思想、方法分散在各個不同部分，而同一問題又可以用不同的數學思想、方法來解決，因此，教師的概括、分析是十分重要的。教師要有意識地培養學生自我提煉、揣摩概括數學思想方法的能力，這樣才能把數學思想、方法的教學落在實處。

三、既要重點講解，又要逐步滲透

教材中的許多公式、概念、定理等本身就隱含著豐富的數學方法的內容。如分類的思想方法，“標準”雖在“三角形”和“四邊形”這兩部分內容中提出來，但分類的思想和方法在教材的許多內容中都已經涉及到。

例如，有理數概念的教學：有理數是一個以外延定義的概念，課本中這樣敘述：“整數和分數統稱有理數。”它揭示了有理數的所有外延，既不擴充又不遺漏，這本身就體現了分類的思想方法，在數學教學中可依據具體情況對有理數作出不同的分類。

幾何中有更多的分類內容，如：角的分類、三角形的分類、四邊形的分類、圓周角的定理的證明、弦切角定理的證明、正弦定理的證明等，這些內容都為學習分類的思想方法提供了極好的素材，教師在教學中應予以重視。

四、寓數學思想方法于教材教法之中，優化學生思維品質

數學思想方法不同于其它基礎知識，不能用符號、圖形、式子等表示，不可能在一節或幾節課內完成。為了使學生在初中受到數學思想方法的陶冶，只有教師在平時的課堂教學活動中結合教材、教法有意識、有目的地進行傳授，使學生慢慢地消化、吸收，才能達到潛移默化的目的。

1.經常歸納，訓練思維的深刻性。

歸納的思想就是由個性到共性，由特殊現象歸納出一般的規律，從而從本質上把握事物。

2.類比聯想，訓練相似思維。

相似思維就是從一個事物的性質變化規律，去研究和發現另一相似性事物的性質和變化規律，從而尋找解決問題的方法，相似思維需要聯想，而類比的方法是聯想的一種重要且有效的途徑。

如列一元一次方程解應用題，教師在講完了行程問題之后，再講工作量問題，可以引導學生這樣思考：比較時間與工作日、速度與工作效率、距離與工作總量的意義，寫出各自三個量之間的關系，分析在列方程中，等量關系是否有類似之處？經分析得出：可以把工作量問題按照行程問題一樣處理，另有工程問題、水流問題都與行程問題基本一致。

3.尋求轉化，訓練創造思維。

前面提到，轉化的思想是初中教材中涉及最多的數學思想，轉化思維是創造思維的核心。

例：證明方程（x-m）（x+n）=1有兩個實根，且一根大于m，一根小于m。

此題若用常規方法是十分困難的，但若能聯系二次函數的圖像，應用數形的轉化，會使問題很快得到解決。

證：設y=（x-m）（x+n）-1，則其圖像為開口向上的拋物線，取其上一點（m，-1），此點在x軸下方，根據拋物線向上無限伸展的特性，必然與x軸交于兩點，則交點A（x1，0），B（x2，0）必在點（m，0）的兩旁，原題得證。（圖略）

總之，數學思想與方法具有相輔相成的關系，這就決定了它們在教學中的辯證統一性。基于上述認識，《課標》給出數學思想方法教學的一個教學模式：操作—掌握—領悟。對此模式作如下說明。

（1）數學思想、方法教學要求教師較好地掌握有關的深層知識，以保證在教學過程中有明確的教學目的。

（2）“操作”是指表層知識教學，即基本知識與技能的教學；“操作”是數學思想、方法教學的基礎。

（3）“掌握”是指在表層知識教學過程中，學生對表層知識的掌握。學生掌握了一定量的數學表層知識，是學生能夠接受相關深層知識的前提。

（4）“領悟”是指在教師引導下，學生對掌握的有關表層知識的認識深化，即對蘊于其中的數學思想、方法有所悟，有所體會。

（5）數學思想、方法教學是循環往復、螺旋上升的過程，往往是幾種數學思想、方法交織在一起，在教學過程中依據具體情況在一段時間內突出滲透與明確一種數學思想或方法，效果可能更好些。

這就需要教師在教學的各個環節——備課、講課、輔導、作業布置等教學活動中，應努力挖掘適合初中學生的有關數學思想方法的知識，有意識地、長期地堅持進行，提高學生的素質，使教學水平更上一層樓。

參考文獻：

［1］胡炯濤.數學教學論［M］.南寧：廣西教育出版社，1996.

［2］源流.發散思維大課堂高三數學.龍門書局，2004.4，（1）.

［3］趙慶余.數學模型方法與中學數學.杭州師范學院學報，1994，3.

［4］崔錄等.現代教育思想精粹.光明日報出版社，1987.

［5］邵瑞珍等.教育心理學.上海教育出版社，1985.