淺析二次函數在中學數學中的應用

函數是高中數學的靈魂，尤其二次函數貫穿整個高中數學。多問題可以通過轉化化為二次函數問題進行解答。大部分同學對二次函數的學習不夠深入，很難從本質上加以理解。要想學好它，就要對它的基本概念和基本性質（圖像以及單調性、奇偶性、有界性）靈活應用，因此對二次函數需深入學習。

一、進一步深入理解函數概念

初中階段已經講述了函數的定義，進入高中后在學習集合的基礎上又學習了映射，接著重新學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，這時教師就可以用學生已經有一定了解的函數，特別是二次函數為例來使學生更深入地認識函數的概念。二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f∶A→B，使得集合B中的元素y=ax+bx+c（a≠0）與集合A的元素x對應，記為f（x）= ax+ bx+c（a≠0）。這里ax+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確地認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：

類型I：已知f（x）= 2x+x+2，求f（x+1）。

這里不能把f（x+1）理解為x=x+1時的函數值，只能理解為自變量為x+1的函數值。

類型Ⅱ：設f（x+1）=x-4x+1，求f（x）。

這個問題理解為：已知對應法則f下，定義域中的元素x+1的象是x-4x+1，求定義域中元素x的象，其本質是求對應法則。

一般有兩種方法：

（1）把所給表達式表示成x+1的多項式。

f（x+1）=x-4x+1=（x+1）-6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x-6x+6.

（2）變量代換：它的適用性強，對一般函數都適用。

令t=x+1，則x=t-1，∴（t）=（t-1）-4（t-1）+1=t-6t+6，從而f（x）= x-6x+6.

二、二次函數的單調性、最值與圖像

在學習單調性時，教師必須讓學生對二次函數y=ax+bx+c在區間（-∞，-］及［-，+∞） 上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數圖像的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用圖像學習二次函數有關的一些函數單調性。

類型Ⅲ：畫出下列函數的圖像，并通過圖像研究其單調性。

（1）y=x+2|x-1|-1

（2）y=|x-1|

（3）y= x+2|x|-1

教師要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系，掌握把含有絕對值記號的函數用分段函數去表示的方法，然后畫出其圖像。

類型Ⅳ：設f（x）=x-2x-1在區間［t，t+1］上的最小值是g（t）。求g（t），并畫出 y=g（t）的圖像。

解：f（x）=x-2x-1=（x-1）-2，在x=1時取最小值-2，

當1∈［t，t+1］即0≤t≤1，g（t）=-2

當t＞1時，g（t）=f（t）=t-2t-1

當t＜0時，g（t）=f（t+1）=t-2

∴g（t）=t-2（t＜0）-2（0≤t≤1）t-2t-1（t＞1）.

首先要使學生弄清楚題意，一般的，一個二次函數在實數集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，教師可以再給學生補充一些練習。

例：y=3x-5x+6（-3≤x≤-1），求該函數的值域。

三、二次函數的知識可以準確反映學生的數學思維

類型Ⅴ：設二次函數f（x）=ax+bx+c（a＞0）方程f（x）-x=0的兩個根x，x滿足0＜x＜x＜。

（1）當x∈（0，x）時，證明x＜f（x）＜x。

（2）設函數f（x）的圖像關于直線x=x對稱，證明x＜。

解題思路：

本題要證明的是x＜f（x），f（x）＜x和x＜，由題中所提供的信息可以聯想到：①f（x）=x，說明拋物線與直線y=x在第一象限內有兩個不同的交點；②方程f（x）-x=0可變為ax+（b-1）x+1=0，它的兩根為x、x，可得到x、x與a、b、c之間的關系式，因此解題思路明顯有三條：①圖像法；②利用一元二次方程根與系數關系；③利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導。現以思路②為例解決這道題：

（Ⅰ）先證明x＜f（x），令f（x）=f（x）-x，因為x，x是方程f（x）-x=0的根，f（x）=ax+bx+c，所以f（x）=a（x-x）（x-x）。

因為0＜x＜x，所以，當x∈（0，x）時， x-x＜0， x-x＜0，得（x-x）（x-x）＞0，又a＞0，因此f（x） ＞0，即f（x）-x＞0，至此，證得x＜f（x）。

根據韋達定理，有xx=. ∵ 0＜x＜x＜，c=axx＜x=f（x），又c=f（0），∴f（0）＜f（x）.根據二次函數的性質，曲線y=f（x）是開口向上的拋物線，因此，函數y=f（x）在閉區間［0，x］上的最大值在邊界點x=0或x=x處達到，而且不可能在區間的內部達到，由于f（x）＞f（0），因此當x∈（0，x）時f（x）＜f（x）=x，即x＜f（x）＜x。

（Ⅱ） ∵f（x）=ax+bx+c=a（x+-）+（c-），（a＞0）函數f（x）的圖像的對稱軸為直線x=-，且是唯一的一條對稱軸，∴依題意，得x=-. ∵x，x是二次方程ax+（b-1）x+c=0的根，根據韋達定理得x+x=-. ∵x-＜0，∴x=-=（x+x-）＜，即x=。

二次函數有豐富的內涵和外延。因為它是最基本的冪函數，所以可以以它為代表來研究函數的性質，通過建立起函數、方程、不等式之間的聯系，教師可以編擬出層出不窮、靈活多變的數學問題，考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質，特別是能從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力。

二次函數的內容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數學教學中也多關注這方面知識，加以深入研究。