增強畢業班數學練習效果的方法

在高中數學教學中，一些學生雖然做了很多題目，但解題能力提高不大，以后碰到同類型的題目，甚至有些已做過的題目，卻仍然不會解答。究其原因:主要是片面追求解題的數量，不著重理解解題方法，不善于總結經驗、摸索規律、舉一反三。

實踐證明，有針對性地選編一些題目給學生練習、討論，事后總結經驗，可使學生掌握題目變化規律，有助于加深對題目及其解法的認識，有助于提高解題能力，特別是有助于提高應變能力，從而使學生每做一題有一題的收獲，提高練習效果。

在指導高三學生復習時，我能注意習題的選擇，使練習達到一定的目的;重視通訊性通法，返璞歸真，把最基本的思路方法教給學生。

一、通過解題中的錯誤來澄清一些基本概念。

例:過點(2 ，3)且在兩軸上的截距相等的直線方程為____________。

【錯因點評】:(1)對截距的概念掌握不準，從而漏掉截距為0這種情況。

(2)用截距式求方程時，沒有注意公式的適應范圍，從而漏掉截距為0的直線。

【正確思路】:(1)當截距不為0時，設直線方程為+=1，

因為直線過點(2，3)，

∴+=1，∴a=5，此時直線方程為x+y=5。

(2)當截距為0，由題意知直線過原點，可設直線方程為y=kx，

則3=2k，∴k=，即所求直線方程為y=x。

綜上知，所求直線方程為y=x或x+y=5。

在講評時，教師要啟發學生查找錯在何處，以及發生錯誤的原因。

二、通過解題來強調某些容易忽視的內容，培養學生思維的嚴密性。

例:求定點A(a，0)到橢圓+y=1上的點之間的最短距離。

設橢圓上任一點為P(x，y)，|AP|=d，則:

d=(x-a)+y=(x-a)+1-=(x-2a)+1-a。

不少學生不注意函數d=f(x)的定義域范圍，貿然作出結論，當x=2a時，d=1-a∴|AP|=。因而在講評時，教師要引導學生注意掌握函數d=f(x)的定義域是[-，]，所以應加以討論，分類要做到不重不漏。

(1)若-≤2a≤，即-≤a≤，則x=2a時，|AP|=。

(2)若2a>，即a>，則x=時，|AP|=|a-|。

(3)若2a<-，即a<-， 則x=-時，|AP|=|a+|。

三、通過解題過程中的聯想，掌握解題的技巧，了解學科內容相關知識的聯系，感悟“面對新問題，聯想舊知識”的探索方法和策略。

例:定長為3的線段AB的兩個端點在y=x上運動，記線段AB的中點為M，求M到y軸的最短距離。

解:因為y=x的準線平行于y軸，求點M到y軸的最短距離，只需求M到準線的距離。

設F是拋物線的焦點，作AC、MN、BD分別垂直于拋物線的準線l于C、N、D，交y軸于R、Q、S，則AC ∥MN ∥BD(如圖);在梯形ACDB中，MN是中位線，所以|MN|=(|AC|+|BD|)。

由拋物線定義可知|AC|=|AF|，|BD|=|BF|，所以|MN|=(|AF|+ |BF|)。

因為|AF|+|BF|≥|AB|=3 ，

當A、F、B三點共線時，等號成立。

所以|MN|=。

又拋物線準線l是x=-，

因此|MQ|=|MN|-=，

即點M到y軸的最短距離是。

(此題解答過程，聯想了梯形中位線定理，線段最短原理及拋物線的基本性質，直觀而且簡便。)

四、通過一題多解，活躍學生思路，溝通數學各分科之間，數學與物理之間的聯系;通過一題多解，綜合歸納出一些解題規律，拓寬解題思路，達到以點串線，以少勝多的功效。

例:求圓x+y-2rx=0(r>0)的過原點的弦的中點軌跡方程。

解法一:設圓O′弦OQ的中點P(x，y)，

則O′P⊥OQ(如圖)

∴k·k=·=-1，

∴x+y-rx=0是所求軌跡方程。

解法二:如上圖設弦OQ的中點P(x，y)，

則Q點坐標為(2x，2y)，

∴(2x)+(2y)-2r(2x)=0，

即得x+y-rx=0是所求方程。

解法三:如上圖設弦OQ的斜率是k，OQ中點為(x′，y′)，

則弦的方程為y=kx。

解:y=kxx+y-2rx=0，得:x′=y′=，

∴弦中點P的參數方程為:

x=y=。

解法四:已知圓的極坐標方程為ρ=2rcosθ，設圓O′的弦OQ的中點P(ρ，θ)，則Q(2ρ，θ)。

∴ρ=rcosθ是所求方程。

五、 通過解題的思維過程的剖析，啟發學生怎樣分析問題、解決問題，使學生理解問題的本質，并作進一步的思考，從而達到舉一反三觸類旁通的目的。

例:設x、y、z為三個互不相等的實數，且x+=y+=z+。

求證:xyz=1。

分析:x、y、z為三個互不相等的實數，意味著x-y、y-z、z-x全為零，而往往在兩種情況下需要它:

(1)等式兩邊出現x-y、y-z、z-x。

(2)分母中出現x-y、y-z、z-x，總之從這一已知條件可推出在求證過程中應出現三個因式:x-y、y-z、z-x。關系式x+=y+=z+為我們創造x-y、y-z、z-x的條件:

由x+=y+，可得:x-y=-=，

同理:y-z=，z-x=。

證明:由已知條件可得:

yx(x-y)=y-zxy(y-z)=z-xxy(z-x)=x-y，

由方程組可得:

xyx(x-y)(y-z)(z-x)=(y-z)(z-x)(x-y)

因為x-y≠0，y-z≠0，z-x≠0，

所以xyz=1。

六、通過解題說明用什么方法解題要根據具體情況、具體分析。

例:設x+y=1，求證:|x+2xy-y|≤。

證明:由已知，可設x=rcosα，y=rsinα，|r|≤1，0≤α<2π，

所以:|x+2xy-y|=|rcosα+2rcosαsinα-rsinα|

=r|cosα+sin2α-sinα|

=r|sin2α+cos2α|=r|sin(2α+)|≤。

(根據代數結構特征選擇恰當的三角代換，使解題思路清晰、明確。)

例:求函數f(x)=+的最小值。

解:由原式得f(x)=+建立平面直角坐標系，在坐標系中作出點M(2 ，3)、N(5，-1) 和 P(x，0)。

由|MP|+|PN|≥|MN|==5可知f(x)≥5，

其中M、P 、N三點共線時等號成立，

所以f(x)=+的最小值是5。

(此題用求函數極值的普通方法不易求出，數形結合思想給解題提供獨特的、巧妙的思路和技巧，使問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題過程的目的。)

通過這一系列的教學活動，學生能掌握題目變化規律，提高解題能力、應變能力，減輕“鋪天蓋地”的作業負擔，少做無用功，大大提高練習效果;同時又可以激發求知欲和積極性，增強觀察力和空間想象力，培養思維的靈活性、深刻性和創造性。