高中數學不等式解法及應用

摘要:從筆者對往年高考試卷分析來看，不等式的考查仍是考查重點之一，而且考查的形式多樣，充滿靈活性，需要考生及高中生認真掌握不等式相關知識，尤其是對諸如柯西不等式等的掌握。在教學中發現，不少學生對不等式題無從下手，解答很費力，因此本文以不等式為研究對象，重點探討其解法和應用，以期為提高學生解答不等式相關問題服務。

關鍵詞:高中數學;不等式;應用及解法;探討

本文對高中數學不等式解法及應用進行研究，主要是通過幾個常考點來闡述。高考對知識的掌握，不是單單的考查簡單的知識，而是充滿了靈活性，考查學生的創新意識，那么學生掌握書本上簡單的知識點是往往不夠的，高考的題型是由簡單的知識組合而來的，需要學生掌握通過現象看到本質的能力。

一、不等式中有關恒成立的問題及解答

其實恒成立考查的就是不等式方面的東西，與函數最值或者極值有著間接的關系。如下題目所示:

例題:已知f(x)=x2-2bx+6，當x∈[0，+∞)時，f(x)≥b恒成立，求b的取值范圍?

解答:根據題意可知，f(x)=x2-2bx+6=(x-b)2+6-b2

從該函數圖像中可以發出:該函數在x=b時候取值最小f(x)min=f(b)= 6-b2≥b從而b+ b2-6≤0，(b+3)(b-2)≤0，-3≤b≤2。

綜上所述，所求b的取值范圍-3≤b≤2

二、分式形式的不等式問題及解答

在填空或者選擇題中，很容易出現分式形式的不等式，而且往往比較復雜，對于這一題型，是有竅門的，不需要計算繁雜的式子。這個小竅門就通過例題來闡述:

解答:分子，分母通分:從而找出x的四個點，分別為-1、0、1、4。在數軸上標出，因為不等式是大于0，那么在4的右邊可以任意取一個值，比如5代入不等式中，得出大于0，那么曲線在4右邊是在數軸上方的，按照這個順序在這四個點上標出，形成了一條曲線，那么從中就可以看出，x的取值范圍是(-∞，-1)U(0，1)U(4， +∞)。圖2-1所示

三、絕對值形式不等式解法

不等式與絕對值相結合也是考察的方法之一，用不等式及絕對值來考察學生的判斷性，其中針對這種題型，很普遍的解法就是利用絕對值定義形式，分區間進行符號判斷，弄成分段函數形勢。以下給出一個比較經典的例題，以說明靈活性的重要。

例題:解不等式

解答:從題目兩邊可以看出，除了絕對值號沒有其他，因此可以用平方的方法處理去掉絕對值號，(x-2)2≤(2x+1)2

X2-4x+4≤4x2+4x+1

0≤3 x2+8x-3

0≤(3x-1)(x+3)

X取值范圍為:(-∞，-3)U(1/3，+∞)

四、構造函數法解答不等式

通過筆者多年的經驗發現，在不少不等式的問題題目中需要構造函數來解答不等式，以下就通過幾個方面構造函數來加以闡釋:

(一)構造一次性的函數

通過構造函數以解答不等式，往往能夠讓無從下手的不等式證明或者問題變的很簡單。

例題:假設x<1，y<1，z<1，x，y，z∈R，要證明xy+yz+xz>-1

證明:xy+yz+xz+1=x(y+z)+yz+1，那么令f(t)= t(y+z)+yz+1

那么f(1)=y+z+yz+1=(y+1)(z+1)>0

f(-1)=-y-z+yz+1=(-y+1)(-z+1)>0

而-1-1。

(二)構造二次性的函數

五、不等式在實際應用問題中的應用

關于實際問題的考察，也是高中數學考察的重點內容之一，往往是間接考察不等式的應用知識，即是考察掌握不等式知識的靈活性，很多經濟問題需要利用不等式來解答。以下就用一個實例來闡述不等式的應用。

例題:假設某個電子專賣商場，一個月需要購入每臺價值為1000元的英語學習機共1800臺，假定每筆購入都是整數臺，每筆平均需要付款運費200元，購入的英語學習機需要月所付款的保管費與購入價格呈正比。如果每筆購入200臺，那么全月需要用掉加上保管費總費用為21800，現在這個月只有12000元資金可以支付這筆費用，請問怎么安排每筆進貨數量才能夠讓資金夠用?請寫出你的計算步驟及理由。

參考文獻:

[1] 人民教育出版社中學數學室.全日制普通高級中學教科書(必修)[M].北京:人民教育出版社，2003.

[2] 周寶生，殷玉波.十年高考[M].海南:南方出版社，2004.

[3] 薛金星.高中數學基礎知識手冊[M].北京:北京教育出版社，2003.

[4] 門樹慧.高一數學(新教材)導學[M].北京:北京金盾出版社，2003.

(責任編輯 武之華)