數學中的思想方法的滲透

《數學課程標準解讀》在總目標中提出:學生要“獲得適應未來社會生活和繼續學習所必需的數學基本知識和技能以及基本的數學思想方法”。我們知道:所謂數學思想方法是對數學知識的本質認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點，而且在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是在提出問題、解決問題(包括數學內部問題和實際問題)過程中，所采用的各種方式、手段、途徑等，是解決數學問題的根本策略。掌握好數學思想和方法，培養我們的創新意識是全面提高思維品質的必要條件。但《標準》同時指出:對重要的數學思想方法的學習應當逐級遞進，螺旋上升，以符合學生的認知規律。

掌握數學思想方法可以使數學更容易理解和記憶，更重要的是領會數學思想方法是通向成功的“光明之路”，如果把數學思想和方法學好了，在數學思想和方法的指導下運用數學方法駕馭數學知識，就能培養我們的數學能力，數學學習也就得心應手了。

數學思想方法又是處理數學問題的指導思想和基本策略，是數學的靈魂。因此，我們領悟和掌握以數學知識為載體的數學思想方法，是提高思維水平，真正懂得數學的價值，建立科學的數學觀念，從而發展數學，運用數學的重要保證。

通覽華師版初一數學，筆者認為可以滲透以下一些思想方法:數形結合思想、轉化思想、分類討論思想、方程思想等等。這些數學思想方法具有思維性(即大多能訓練學生的思維)、隱蔽性(即書中大多數沒有標出來)與實用性(即能激活學生解題思路，指導學生解決數學問題)。而數學素質則包含著數學意識、運算能力、邏輯推理、信息交流和問題解決等幾個方面。下面就如何在課堂教學中滲透數學思想方法，提高學生數學素質談幾點看法。

一、滲透數形結合的思想方法

數學家華羅庚說過:“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，“數形結合百般好，隔裂分家萬事非”。形與數相比較，有著直觀上的優勢。中學生相對于抽象思維，普遍更喜歡形象思維，對圖形的記憶也總強于對文字、數式的記憶。教師應注意到學生思維方式上的這些特點，在講授有關的數學知識時，盡可能數形結合、形數對照，使學生對所學內容更易于理解和記憶。而在解決實際問題時，同樣應教給學生數形結合的思想方法，啟發他們學會對一些數量關系作出“形”的解釋，發掘其中“形”的因素，以增加解決問題的有效途徑。

作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形:或者借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關系.這就是說，當我們把數形結合當做數學思想來應用時，數與形兩者之中，一個為手段(方法)，另一個為目的。事實上，第一種情形數是手段，形為目的;第二種情形是形為手段，數為目的。

例如有這樣一道題目:已知m>0，n<0，且|m|<|n|，請你用“<”把m、n、-m、-n和0連接起來。

分析:這道題看起來是有理數比較大小的問題，但用有理數比較大小的法則來解決比較困難，如果啟發學生畫一條數軸，先在數軸上標出m、n的位置(m在原點的右側，n在原點的左側，且n距離原點的距離大于m距離原點的距離)，再利用相反數的特點標出-m、-n的位置，這時，利用在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大，就可得出正確結論了。這種處理方式是形為手段，數為目的。

二、滲透分類討論的思想

分類思想是根據數學本質屬性的相同點和不同點，將數學對象區分為不同種類的一種數學思想。分類原則是同一標準下，不重復也不遺漏。在初中數學中，分類的思想到處可見。既有數的分類，也有式和形的分類，既有公式和概念上的分類，也有解題方法上的分類。

例如在上冊第9頁的《走向數學世界》中有這樣一題:求如圖所示的3×3的方格中有多少個正方形?

我們設圖中每個小方格的邊長為1個單位，則圖中包含邊長為1、2、3的三類正方形。把這三類正方形的個數相加就是圖中正方形的總數。

綜上可知，分類思想在中考解題中有著廣泛的應用，我們在解題中應仔細分析題意，挖掘題目的題設，結論中可能出現的不同的情況，然后采用分類的思想加以解決。

三、滲透轉化的思想方法

化歸思想是解決數學問題的一種重要思想方法。處理數學問題的實質就是實現新問題向舊問題的轉化、復雜問題向簡單問題轉化、未知問題向已知問題轉化、抽象問題向具體問題轉化等。

比如，在加法的基礎上，利用相反數的概念，化歸出減法法則(減去一個數，等于加上這個數的相反)，使加、減法統一起來，得到了代數和的概念;在乘法的基礎上，利用倒數的概念，化歸出除法法則(除以一個數，等于乘以這個數的倒數)，使互逆的兩種運算得到統一。

四、滲透方程的思想

所謂方程思想是指把所研究數學問題中已知量與未知量之間的數量關系，轉化為方程或方程組等數學模型，從而使問題得到解決的思維方法。使用方程思想分析、處理問題，思路清晰、靈活簡便，在探索解題思路時，經常使用，尤其解決和等量有關的數學問題，非常有效。在考試卷中考查方程思想的試題，隨處可見，一般主要有兩類:一是列方程(組)解應用問題;二是列方程(組)解其它代數題或幾何題。

運用方程求解是解數學題常用的數學思想方法。運用這一方法通常是把問題中要求的量用未知數x來表示，然后根據題意列出方程，求出x的值，從而解決問題。如:四邊形ABCD中，四個內角∠A:∠B:∠C:∠D=2:2:3:5，則四個內角的度數分別是;要解決這個問題，可以通過設未知數，列方程來解決。設每一份為x，則根據四邊形的內角和等于360°，得2x+2x+3x+5x=360°，解得x=30°，從而求出這四個角分別是60°，60°，90°，150°。

五、滲透整體的思想

整體思想是一個重要的數學觀念，對于某些數學問題，如果拘泥常規，從局部著手，則困惑棘手，步伐艱難，如果從整體著眼，則大刀闊斧，長驅直入。

初一新同學在解決代數問題時，習慣上盯著某個局部特征，總想各個擊破，分而治之。如果著眼于問題的整體結構，從大處考慮，由整體入手，突出問題的整體結構的分析和改造，這樣做往往能收到理想的效果。

例如在《整式的加減》中有這樣一道題:已知x+y=1，求代數式3(4x -1)-2(3-6y)的值。

分析:如果先求出x、y的值，這是不可能的，然而將3(4x-1)-2(3-6y)變形，運用整體代入法，不僅化難為易，而且妙趣橫生。

解:原式=3(4x-1)-2(3-6y)

=12x-3-6+12y

=(12x+12y)-9=12(x+y)-9

=12×1-9=3

六、滲透分類的思想方法

分類是根據教學對象的本質屬性的異同將其劃分為不同種類，即根據教學對象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類。分類是數學發現的重要手段，在教學中，如果對學過的知識恰當地進行分類，就可以使大量紛繁的知識具有條理性。

如對初一“有理數的加法”教學中，引導學生觀察、思考、探究，將有理數的加法分為三類進行研究，正確歸納出有理數加法法則，這樣學生不僅掌握了具體的“法則”，而且對“分類”有了深刻的認識，那么在較為復雜的情況下，利用掌握好的分類的思想方法，正確地確定標準，不重不漏地進行分類，從而使看問題更加全面。例如在判斷“-a一定小于零嗎”利用分類討論就不會錯。

初一數學數學教材中所蘊含的數學思想還很多，注重對學生進行思想方法的培養是素質教育的要求，也是學生學好數學的關鍵。在平常數學教學中，如果能夠重視數學思想方法的滲透，這將有利于引導學生抓住數學的靈魂、掌握數學的精髓。

(作者單位:江蘇省宜興市實驗中學)