馬爾柯夫分析法在應收賬款管理中的運用

[摘要]在企業的管理決策等工作中，經常會遇到這樣的情況，事物未來的發展及演變狀態僅僅受事物現狀的影響，而與過去的狀態無關，也就是具有馬爾可夫性。運用馬爾可夫模型，對具有馬爾可夫性的應收賬款分析和預測，為馬爾可夫分析法應用的拓廣和應收賬款的管理和預測提供理論依據和實際應用的參考。

[關鍵詞] 馬爾科夫過程;轉移概率;應收賬款

一、馬爾柯夫分析法的基本原理

(一) 馬爾可夫過程

馬爾科夫分析法是以俄國數學家Morkov 名字命名的一種數學方法，主要運用于對象未來所處狀態的分析和預測。按照系統的發展，時間可離散化為n = 0 ，1 ，2 ，3 ， #8943;，k ， #8943;。每個系統的狀態可用隨機變量表示，并且對應一定的概率，該概率稱為狀態概率。當系統由某一階段狀態轉移到另一階段狀態時，存在著相應的轉移概率。如果系統將來的狀態變化只與現在狀態有關而與過去狀態無關，那么這種按照離散時間的隨機轉移系統過程，稱為馬爾可夫過程。

馬爾可夫過程的數學模型表示如下:

設系統的每個階段含有S1， S2， #8943;#8943;， Sn個可能狀態:

1.該系統的初始階段狀態記為向量π(0)，系統第k階段的狀態向量記為π(k) ，兩相鄰系統由現有狀態Si變到Sj的狀態轉移概率為pij (1≤i≤n ，1≤j≤n) ，由pij構成的矩陣稱為系統狀態轉移概率矩陣，記為P，即P=(pij)n ×n ，

P的第i行表示系統現階段處于狀態Si ，下階段轉移到S1，S2，#8943;#8943;，Sn狀態的概率，所以， ， i=1，2，#8943;，n。這里，不同階段的狀態向量分別為:π(1) =π(0)P，π(2)=π(1)P，#8943;π(k)=π(k-1)P，k=1，2，#8943;n。

2.假設系統發展過程狀態向量π滿足條件: ，則系統處于穩定狀態。π為狀態轉移矩陣P的不變向量，

記 ，且滿足條件:

(二) 馬爾可夫鏈

有限個馬爾可夫過程的整體稱為馬爾可夫鏈。根據馬爾可夫鏈的構成，其過程具有如下三個特點:

1.過程的離散性。該系統的發展，在時間上可離散化為有限或可列個狀態。

2.過程的隨機性。即該系統內部從一個狀態轉移到另一個狀態是隨機的。

3.過程的無后效性。如果系統在狀態轉移過程中，它在時刻k所處的狀態僅與時刻k-1所處的狀態有關，而與時刻k-1以前所處的狀態無關，則系統的狀態轉移過程具有無后效性。

凡是滿足以上三個特點的系統，均可用馬爾可夫鏈研究其過程，預測其未來，并據此做出決策。

(三)馬爾柯夫分析法的步驟

運用馬爾可夫鏈對事物變化過程進行分析和預測時，一般按以下步驟進行:

1.劃分現象的狀態并確定相應的狀態概率;

2.根據各狀態轉移概率寫出狀態轉移概率矩陣;

3.由轉移概率矩陣推導以后各時間狀態下的狀態向量;

4.在穩定條件下，進行分析、預測和決策。

二、對應收賬款管理的實例分析

為了說明馬爾柯夫法在應收賬款管理中的應用，我們以下面這個簡化的例子為例進行說明(該例簡化了應收賬款的類型，但不影響方法的運用):A百貨公司將其應收賬款分為兩類:1-90天為一類;91-180天為一類;超過180天的應收賬款視為不可收回的壞賬。A百貨公司現有100000元的應收賬款。其中，70000元屬于1-90天這一類，另外30000元屬于91-180天這一類。現有A百貨公司應收賬款以往的變動記錄如表1所示。

現在我們可以按照以往應收賬款的變動規律，運用馬爾柯夫法對100000元應收賬款的未來變動情況進行分析和管理。

1.劃分應收賬款的狀態并確定狀態概率

以每10天作為時間離散單位，按照以往變動規律，我們可以將應收賬款分為四種狀態: 已收回的應收賬款、 不可收回的應收賬款、 1-90天的應收賬款和 91-180天的應收賬款。則應收賬款的狀態空間為 。

狀態概率是各種狀態出現的可能性大小，用狀態向量表示， 為 的概率。此例中應收賬款的初始狀態向量為 。

2.由表1得到應收賬款的狀態轉移概率矩陣為

矩陣中每一橫行為某一狀態下各種情況轉移的概率。

3.由轉移概率矩陣計算以后各時間狀態下應收賬款的狀態概率向量

根據馬爾柯夫過程，不同時間狀態下的狀態概率向量由π(k)表示，π(k)=π(k-1)P，因此下一時間狀態即10天后應收賬款的狀態概率向量為 按照此狀態概率向量，我們可以認為100000應收賬款在10天后將有36000元被收回，3000元不可收回成為壞賬，35000元為1-90天這一類的應收賬款，26000元為91-180天的應收賬款。

4.在穩定條件下，進行分析和預測

根據馬爾柯夫過程的性質，隨著時間的不斷推移，即k足夠大時，只要狀態轉移概率矩陣不變(即穩定條件)，則應收賬款的狀態概率向量趨向于一個穩定的值。在本例中，應收賬款的穩定情況表現為應收賬款最終被收回和不可收回的可能性。如果狀態轉移概率矩陣為一標準概率矩陣(若P為概率矩陣，且存在m>0，使Pm中諸元素皆非負非零，則稱P為標準概率矩陣。)，我們就可根據馬爾柯夫鏈系統穩定條件的方程組，一步到位求出穩定狀態下的狀態概率向量。即根據 兩個方程來求出穩定狀態下的狀態概率向量。但是由于本例中狀態轉移概率矩陣不滿足標準概率矩陣的性質，無法按上述方法求解，因此我們根據馬爾柯夫過程的基本思想采用以下方法來求解。

第一步，將狀態轉移概率矩陣分割為如下四個子矩陣。

其中 。I表示已收回狀態x1、不可收回狀態x2向已收回狀態x1和不可收回狀態x2轉移的概率矩陣，0表示已收回狀態x1、不可收回狀態x2向1-90天的應收賬款狀態x3和91-180天的應收賬款狀態x4轉移的概率矩陣，R表示1-90天的應收賬款狀態x3和91-180天的應收賬款狀態x4向已收回狀態x1、不可收回狀態x2轉移的概率矩陣，Q表示1-90天的應收賬款狀態x3和91-180天的應收賬款狀態x4向1-90天的應收賬款狀態x3和91-180天的應收賬款狀態x4轉移的概率矩陣。

第二步，建立矩陣I-Q，并找出矩陣I-Q的逆矩陣N，計算B=N#8226;R。

按照馬爾柯夫過程的思想，隨著時間的無限推移，應收賬款會一直按照以往規律轉移下去。1-90天的應收賬款狀態x3和91-180天的應收賬款狀態x4一方面一直向已收回狀態x1、不可收回狀態x2轉移，一方面一直向1-90天的應收賬款狀態x3和91-180天的應收賬款狀態x4轉移，最終所有的應收賬款要么被收回要么不可收回。將所有時間狀態下1-90天的應收賬款狀態x3和91-180天的應收賬款狀態x4的收回或不可收回的轉移情況綜合起來，應該為B=R+QR+Q2R+Q3R+…= (I-Q)-1R= N#8226;R。

本例中， ，B中數據表明1-90天的應收賬款狀態x3最終向收回狀態和不可收回狀態轉移的綜合概率分別為14/15、1/15;91-180天的應收賬款狀態x4最終向收回狀態和不可收回狀態轉移的綜合概率分別為5/6、1/6。

第三步，計算穩定條件下應收賬款最終被收回和不可收回的可能性。

。

本例中，所有應收賬款最終被收回和不可收回的可能性分別為0.90333和0.09667。因此100000元應收賬款有90333元應收賬款最終被收回，有9667元應收賬款不可收回。

三、結束語

由于應收賬款的變動符合馬爾柯夫過程的“無后效”性，因此用此方法對應收賬款的近期變動進行分析、預測和管理相當有效。但是，這里應注意該方法使用的條件:對初始狀態向量作假設和狀態轉移概率矩陣不變。如果忽視此條件，在時間序列上作無限制的模式的外推，可能會導致預測結果與現實變動之間存在較大誤差。要解決這一問題，可根據實際情況不斷對初始狀態向量和狀態轉移概率矩陣進行相應的調整，以使其更符合事物客觀發展的變化趨勢，提高其分析管理的可信度。

主要參考文獻

[1]暴奉賢、陳宏立主編，經濟預測與決策方法，暨南大學出版社2005年8月第17次出版，第231頁至第242頁.