基于ARIMA-GARCH模型和極值理論的中國股市風險價值度量

[摘要]以極值理論為基礎的風險值的度量方法是最近發展起來的最為有效的方法之一，但是傳統單純采用極值理論的建模過程中對誤差項假定為獨立同分布的白噪音過程，會對應用極值理論風險價值的估算產生一定誤差，本文以上證指數和深證成指為例利用ARIMA-GARCH模型捕獲股票收益序列中的自相關和異方差現象，對該模型中殘差的條件分布的合理假定進行了實證分析比較，然后利用極值理論對經過ARIMA-GARCH模型篩選過的殘差進行極值分析，估算風險價值。

[關鍵詞】ARIMA-GARCH模型;極值理論;股票市場;風險價值

【中圖分類號】 F830.9

0 引言

自20世紀70年代以來，全球金融市場迅猛發展的同時，頻頻發生的金融危機事件的爆發讓人們意識到金融風險的不確定性及其復雜性。中國的股票市場作為一個發展中的新興市場，受國家調控政策和國際相關行業信息的影響比較大，潛藏更為劇烈的波動性，所以如何有效預防不可預期的金融風險，市場風險的度量一直是風險管理關注的重點。

風險價值(Value at Risk)是目前金融市場風險度量的主流方法，對風險值的估計與預測的關鍵在于對收益序列分布函數的估計是否準確，即取決于我們對收益序列分布的假定是否合理。而金融資產收益序列呈現出‘尖峰厚尾’的特性，國內外學者針對如何有效刻畫金融收益序列尾部特征進行了大量的實證研究，Danielsson and de Vries(1997)[1]以美國7支股票構成的組合為樣本比較各種度量模型的表現情況，發現EVT模型的表現明顯優于參數方法和歷史模擬方法。McNeil and Frey(2000)[2]研究了異方差金融序列的尾部相關的風險度量。首先利用GARCH對收益序列濾波，然后利用極值理論對獨立同分布的殘差建模，進而計算VaR。周開國、繆柏其(2002) [3]將極值理論應用于VaR的計算，用香港恒生指數進行了實證分析，發現極值方法明顯優于方差-協方差方法。

極值理論雖然能有效描述收益序列厚尾的特征，但是極值理論應用的前提條件是假設模型中誤差項為獨立同分布的白噪音過程，而中國股票市場收益序列較之其他成熟的股票市場有較強的序列相關和條件異方差現象，直接應用極值理論方法對收益序列建模，會導致我國股市風險價值的估算結果存在一定的誤差，所以本文以上證指數和深證成指為例先采用ARIMA-GARCH模型來捕獲股票收益序列中的自相關和異方差現象，再利用極值理論方法對經過去除自相關和異方差現象的殘差進行極值分析，得到我國股市風險價值的估計值。

1 ARIMA-GARCH模型

ARIMA(p，d，q)模型:

其中， 是經過d次差分得到的平穩序列，是期望為0，方差為 的白噪聲序列。ARIMA(p，d，q)模型通常可以用來解釋時間序列的相關性，并進行短期預測。但是ARIMA模型估計過程中通常假設誤差項的條件方差為常數，使其無法有效地解釋金融時間序列中經常觀察到的波動聚類現象，為此，我們在模型中進一步引入GARCH效應。

令 ，其中 是期望為0，方差為常數的獨立同分布隨機變量， 是 在t時刻的條件方差。本文采用通常使用的GARCH(1，1)模型，它的引入不僅可以捕獲到金融時間序列的波動率聚類現象，而且 可以在一定程度上改善尖峰厚尾現象。這樣我們就得到了ARIMA-GARCH模型:

由于改變的條件方差允許收益序列中存在更多的異常值或者非常大的觀測值，所以收益序列的無條件分布是尖峰的，且比正態分布具有更厚的尾部，在一定程度上能解釋金融收益序列‘尖峰厚尾’的特性，但是對于高頻數據，采用假定殘差 服從一般誤差分布(GED)的GARCH模型更能準確描述收益序列。

2基于極值理論的估計方法

2.1 極值理論

極值理論的應用有兩種途徑:其一，依據獨立同分布序列的最大(最小)統計量的漸近分布，服從GEV分布，在應用中稱為BLOCK方法;其二，是對序列取閾值(threshold)，對超過閾值的樣本數據進行建模，超限點漸近分布服從GPD分布，這種方法在應用中稱為POT方法。本文主要采用POT方法進行建模。

定義 為觀察值超過閾值 的條件分布函數

其中， 為觀察值中超過閾值u的個數，ξ為形狀參數。對充分大的u，可通過極大似然估計得到參數的估計值。

POT方法的關鍵在于確定一個閾值u，過高的閾值會導致超額數據太少，從而估計參數的方差會偏高，而太小則會產生有偏的估計量。本文主要根據平均超限圖(mean excess function)來確定閾值u，GPD分布的平均超限函數圖在u之上應該是具有正效率的直線。

2.2 基于極值理論的VaR估計

VaR稱為在險價值，是在給定的置信度下衡量給定的資產或資產組合在一段給定的時間內可能發生的最大(價值)損失。根據在險價值的定義，可以表示為 ，其中α為顯著性水平， 表示在給定顯著性水平下的最壞收益率，或收益率的風險價值。

VaR也可以看作是計算估計極端分位數的方法，設一資產或某資產組合收益的分布函數為F(x)，考慮F(x)為連續函數的情況，取顯著性水平為α， 定義為:

是分布函數F(x)的反函數，在風險價值計算中，也稱為分位數函數。根據收益率的尾部分布公式(2)，在給定顯著水平α，得到風險值VaR的估計值為

根據不同的閾值u，可估計出風險值的變化過程，同時也可以得到風險值的點估計和區間估計。

3 實證研究

3.1樣本數據分析

本文實證的樣本空間選取自上海證券市場開盤1990年12月19日起至2009年3月18日的上證指數，樣本容量為4465。深證成指樣本空間為從1991年4月3日起至2009年3月18日，樣本容量為4416。定義日收益率為 ， 、 分別是t交易日和t+1交易日收盤指數。

由于中國證券市場較之其他國家波動性更大，風險管理控制方面還欠缺，為了避免極端事件帶來的嚴重影響，我們按巴塞爾委員會的要求選取99%的置信度進行估算。本文算例均通過應用Gencay，Seluk和Ulugulyagci(2001)[4]的Matlab軟件包“EVIM”基礎上編寫相關程序實現。

收益序列的基本統計描述見表1，峰度值都遠大于正態分布的峰度值3，說明了收益序列均有‘尖峰’現象，偏度值也說明收益分布不是對稱的，存在是嚴重的右偏。J-B正態分布檢驗統計量結果拒絕了正態分布的原假設。

3.2 ARIMA-GARCH模型的建立

首先對樣本的收益序列 進行平穩性檢驗，由于收益序列 本身就是股價指數經過“差分”得到的，所以結果顯示在置信度99%下都是拒絕原假設的，上證指數和深證成指的收益序列 都是平穩序列。進一步分析序列可能存在自相關問題，滯后36階的Q統計量顯示上證指數和深證成指收益序列存在明顯的自相關現象，利用AIC定階規則，都選擇ARMA(1，1)模型可以解釋;且對殘差序列 進行Q統計量檢驗結果表明已不存在自相關。

然后檢驗殘差序列 是否存在異方差現象，進行ARCH效應的LM檢驗，上證指數4階滯后、深證成指3階滯后的相伴概率為0.00，在99%的置信度下拒絕假設，兩只樣本殘差序列皆存在GARCH效應。因此，我們在ARMA(1，1)回歸的均值方程基礎上，對方差部分建立GARCH(1，1)模型，通過收益序列描述性統計量證明了收益序列具有肥尾的特性，所以在進行GARCH(1，1)模型估計時將殘差的條件分布假定為GED分布。得到兩樣本的參數估計結果如下表(表2):

3.3 基于極值理論的VaR估計

經過ARMA-GARCH模型過濾可以得到近似獨立同分布的殘差序列 ，對兩只樣本數據的殘差序列 再次進行基本統計分析，從QQ散點圖(圖1)可以看出收益分布的‘厚尾’現象。因此序列 不服從正態分布的假設，具有‘尖峰厚尾’特性。適合采用極值理論的方法來分析尾部分布，為了使VaR計算結果為正值能較直觀表示最大損失，下面的計算采用負的殘差(- )序列。

根據極值理論的POT方法建模思想，我們需要根據樣本平均超限圖(圖2)來確定閾值u，以上證指數為例從平均超限圖中我們看到在閾值2.2、2.3附近，曲線近似為向上傾斜的直線。對閾值設為2.2、2.3時的左尾指數進行估計(表3)，通過擬合效果的比較，同時根據Loretan和Philips(1994)[5]的建議，閾值的選擇不要太小，超限點的數目一般不要超出樣本長度的10%。所以上證指數樣本選取閾值u為2.3，極端值數目為426，左尾指數為0.1491。同樣方法得到深證成指樣本左尾指數估計值為0.1921。

最后我們根據風險值VaR估計公式(3)，運用“EVIM”[7]計算得到置信度99%下，上海證券市場和深圳證券市場風險值的點估計和區間估計，并與未經ARIMA-GARCH模型調整估算出的極值風險值對比(表5):

4 結論

在金融市場風險度量中，收益分布的合理假設關系到度量的準確性，而以極值理論為基礎的POT方法可以準確描述尾部分布，避免了整體擬合失真而導致對風險值的低估或高估現象，同時又很好地處理了收益序列的厚尾性。而獨立同分布的誤差項的假設是應用極值理論的前提條件，但以上證指數和深證成指為例進行的實證研究發現中國股票市場收益序列存在自相關和非對稱性異方差現象，不滿足應用極值理論的前提假設，所以我們引入ARIMA-GARCH模型對收益序列先進行處理，在建模過程中也充分考慮了收益序列‘尖峰厚尾’的特性，對誤差項條件方差分布假定為GED分布，過濾后的殘差序列已去除了自相關和異方差現象，表現為平穩的近似獨立同分布的白噪音過程。通過與未經ARIMA-GARCH模型調整在相同的99%置信度下應用極值理論估算得到的VaR比較，發現后者的估計值偏小，會造成市場風險的低估。所以將ARIMA-GARCH模型和極值理論方法結合起來度量波動性較大的中國股市的風險價值是有效的，同時也更能涵蓋中國股市在極度情況下的風險。

主要參考文獻

[1]Danielsson J.， C.G.de Vries. Value at Risk and Extreme Returns， London School of Economics [J]， Financial Markets Group Discussion Paper，1997，273.

[2]McNeil， A.J.， R. Esimation of tall-related risk measures for heteroscedastic financial time series: an extreme value approach [J]. Journal for Empirical Finance 2000(7)，271-300.

[3]周開國，繆柏其.應用極值理論計算在險價值[J].預測，2002(3)

[4]Gencay， Ramazan， Seluck， Faruk， Ulugulyagci， Abdurrahman. EVIM: A Software Package for Extreme Value Analysis in MATLAB. Studies in Nonlinear Dynamics Econometrics，2001，5(3):213-239.

[5]Mico Loretan， Peter C. B. Phillips， Testing the Covariance Stationarity of Heavy-tailed Time series: An Overview of the Theory with Applications to Several Financial Datasets Journal of Empirical Finance， 1994， 1(2):211-248.