談談幾何畫板在數學教學中的作用

摘要利用幾何畫板對數學課堂教學有很大的幫助。它可以把一些很抽象的知識點變得生動形象、清晰明了;它的動態性可以幫助學生經歷知識的發展形成過程，提高學生學習數學的興趣;它能為學生提供思考和探索的空間;它可以在很大程度上提高課堂的效率。另外，利用它還可以畫出準確并且精美的幾何圖形。總之，幾何畫板是一個良好的數學教學軟件，是數學教師進行計算機輔助教學的好幫手。

關鍵詞幾何畫板 新課程 動態 直觀 探索

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

新課程標準要求教師轉變角色，改變傳統的課堂教學模式，要為學生提供現實而有吸引力的學習背景，還明確指出:數學學習活動應當是一個活潑的、主動的和富有個性的過程。

作為可操作的探索工具，現代信息技術不僅能夠有力地促進學生創新精神的發展，而且能幫助學生從一些繁瑣、枯燥和重復性的工作中解脫出來，使他們有更多的機會動手、動腦、思考和探索，在真正意義上尊重學生的創造性，充分挖掘學生的潛力，促進生生、師生之間的交流與合作，使不斷提出問題、解決問題的學習成為可能。①

現代數學和計算機技術的發展，為基礎教育數學課程內容的選擇提供了重要的依據。用現代數學發展的眼光看基礎、改造原有的基礎、建設新的基礎，乃是數學課程內容改革的要義。用這樣的觀點來看目前的數學課程，就會發現確實需要認真選擇和變革了:概率統計(數據處理)需要從整體上加強，從平面到立體的幾何直觀需要突出。②

幾何畫板正是一個符合我們新課程標準的優秀而又方便的教育軟件。它非常適合于初中平面幾何和立體幾何的教學工作，與黑板或草稿紙上畫出的幾何圖形相比，在幾何畫板上畫出的圖形是動態的，并且能在動態中保持設定的幾何關系不變，這樣得到的是一個滿足一組設定條件的幾何系統，教師和學生可以在動態中，十分直觀地看到這個系統中存在的種種幾何現象，從而可以去探索和發現其中反映的幾何規律。利用這個軟件，教師就可以引導學生獨立或分組對某些系統進行觀察和分析，完全可以避免傳統教學中教師教與學生學互動性差的課堂模式。它為我們實施新課程標準搭建了一個非常好的平臺，提供了一個快捷方便的教學工具。

1 用幾何畫板可以使課堂教學中一些較難講清，需要學生靠想象得出結論的內容變得清晰和直觀，充分體現了直觀教學的優越性

教師使用幾何畫板，能使靜態的圖形變動態，抽象的概念變形象，枯燥的內容變有趣，利用幾何畫板，可以更好地揭示知識之間的內在聯系，暴露知識發生、發展的過程。③

《數學課程標準解讀》第三章――“對中國數學課程未來的展望”中談到:教師普遍使用多媒體手段開展教學活動，一些過去只能通過思維、表象和想象來領會的數學內容，可以得到直觀的表示和處理。數學的現實情景和虛擬情景將通過現代信息技術融會貫通。現代信息技術強大的認知工具作用，無疑將極大地影響數學課程的發展。④

比如在講授平行線分線段成比例定理時，我利用幾何畫板的動畫功能和計算功能制作了一個課件。通過在課堂教學中的實際運用，使我深刻感受到利用幾何畫板的動畫性和直觀性，使這一在傳統的教學方式下學生較難接受的知識點變得非常清晰!

傳統的教學方式下，教師首先從平行線等分線段定理引出，當a∥b∥c時，如果AB:BC=1:1，則DE:EF=1:1，得到AB:BC =DE:EF。此時提出問題:如果在a∥b∥c時，AB:BC≠1:1，比如AB:BC=k(k≠1)，那么等式AB:BC =DE:EF還成立嗎?此后在教學中教師還得假定AB:BC=2:3，證明等式成立，再告訴學生當AB:BC等于其他任意值時，等式總是成立的。這樣的 “證明”顯然是不充分的，學生聽起來也是似懂非懂。

在幾何畫板下，我們任意地畫三條平行線a、b、c(如圖1所示)，再畫出兩條截線AC和DE，我們首先計算出線段AB、BC、DE、EF的長度，再計算出AB與BC的比值和DE與EF的比值。其次讓線段AC動起來(保持與三條平行線的相交)，我們會看到盡管線段AB與BC的長度在不停地發生變化，但總有AB:BC=DE:EF。最后，我們再讓直線c上下移動，結論還是成立。這樣就使學生獲得了非常直觀的印象，并且能很快總結出定理，也能很容易理解定理的內容。

又比如，在學習勾股定理時，書上采用的是讓學生用刻度尺度量，數小正方形格子等方法發現定理，而后又讓學生畫出一個直角邊長分別為5和12的直角三角形，再量出其斜邊長來驗證定理，最后讓學生用4個全等的三角形拼一個中空的正方形，利用面積來推證定理。設計得可謂周密，但學生對結論的正確性還不能十分肯定。我用幾何畫板的動態性功能做出的課件進行演示，會使學生很快就能理解了定理的正確性。還能比較容易地總結出定理。

我們過直角三角形的直角頂點向其斜邊做垂線，將圖中的大正方形一分為二為兩個矩形，通過如圖所示的三步移動使兩個矩形分別與兩個小正方形重合，同學們利用小學學習的“等底等高的兩個四邊形面積相等”知識就可以很容易地得出勾股定理。

2 利用幾何畫板的動畫功能可以使復雜的問題簡單化，抽象的問題直觀化，有效地提高了課堂的效率

在學習二次函數的圖象時，我利用幾何畫板作了一個課件，如圖所示，拖動點A，屏幕上的a的值――拋物線的二次項系數――點A的縱坐標就會發生變化，相應地，拋物線的開口大小和開口方向都會發生改變，我只在x軸上方(a>0)反復移動點A，不再把點A拖到x軸下方去，此時我提出問題:當點A被拖動到x軸下方時，拋物線的開口方向會發生變化嗎?學生的興趣被激發出來，開展積極的思考，開口方向應該向下，a的絕對值越大，拋物線開口越小，反之，則越大。當點A移動到x軸上時，又會出現什么情況?此時a=0，二次項為0，圖象將變成一條直線。

而當我拖動點B(點A在x軸上方)時，屏幕上的b的值――拋物線的一次項系數――點B的橫坐標發生了變化，拋物線的開口大小和方向沒變，但拋物線的對稱軸卻左右移動，和剛才一樣，我只在y軸的左側反復拖到點B，這時我又向學生提出問題:當我把點B拖到到y軸右側時會發生什么情況?學生經過觀察，發現當b<0時，對稱軸在y軸右側，當b>0時，對稱軸應該在y軸左側。我再把點A拖到x軸下方，啟發學生思考:剛才的結論還會成立嗎?學生經過積極思考會最終發現:a、b同號時，對稱軸在y軸左側，a、b異號時，對稱軸在y軸右側。

另外我還引導學生思考:在我拖動點A或點B時，圖象是否總是經過同一個點?我再演示一次，學生很容易發現，圖象總是過點(0，2)。明白解析式中的常數項實際上就是圖象與y軸交點的縱坐標。

通過這一系列問題，引導學生去思考，去發現，去總結，使他們對拋物線圖象的形狀和位置與解析式中各項系數的關系增強理解，提高了學生拋物線的認識。利用動態的演示不僅使課堂教學變得生動有趣，提高了學生的參與度，也是較難理解的知識點變得又直觀又明白。比在黑板上畫幾條拋物線再去分析要快捷和有效得多。

3 《幾何畫板》的最大特點是動態性，并能在動態中保持不變的幾何關系。這一特點非常有利于學生思考和探索數學問題，為學生提供了探索性學習的空間

《數學課程標準解讀》在談到學生在學習方式上存在的問題時提出:借助現代信息技術手段進行數學實驗和多樣化的探索或學習，拓展自己的學習空間，仍是學生在學習方式一個薄弱的方面。⑤同時，《數學課程標準解讀》在談到如何認識現代信息技術在數學課程中的作用時又提出:現代信息技術對數學課程的影響在觀念上的意義遠大于其實際意義。現代信息技術本身雖不是新一輪數學課程改革的直接動因，但卻是這場改革不可或缺的重要條件。《新課程標準》指出，現代信息技術要“致力于改變學生的學習方式，使學生樂意有更多的精力投入到現實的、探索性的數學活動中去”。⑥

由此可以看出，改變學生的學習方式是新一輪課程改革的一個重要方面。傳統的數學課堂教學是以教師的教為主，學生的學習是被動的。要實現新課程改革的要求，教師就必須轉換角色，教師應逐步向數學活動的組織者、引導者和合作者轉換，教和學要向和諧統一的方向發展。幾何畫板為學生提供了這方面的探索平臺，我們有效地利用幾何畫板的動畫性可以為學生創造更多的參與機會，讓學生主動參與、樂于探究。

例如我們曾見過這樣一道題，點P是正方形ABCD內的一點，AP = 4，BP = 3，CP = 2，求DP的長。這道題的解答并不難，我們只要過點P作PM⊥BC于M點， PN⊥AD于N點。構造出幾個直角三角形利用勾股定理即可求出線段PD的長為。在求出PD的長之后，我又為學生設計了以下幾個問題:(1)把PA、PB、PC的長分別為a、b、c，求PD的長;(2)線段PD的長與線段PA，PB，PC的長之間會有什么等量關系呢?引導學生去發現等式PA2+PC2 = PB2 + PD2;(3)如果點P在正方形的某一邊上(比如在邊AD上)時，(2)的結論還成立嗎?(4)如果點P在正方形的外部時，(2)的結論還成立嗎?一步步引導學生去思考、去探索。在解決這類問題時，幾何畫板還可以發揮其動畫性特征，通過計算來演示結論的正確性。

4 利用幾何畫板進行畫圖，可以制作準確而又精美的數學試卷和數學論文

由于在幾何畫板軟件中能夠作線段的中點，角的平分線，還可以作垂直，畫平行，我們還可以利用其中的圖形變換功能作對稱、平移、縮放和旋轉，所以用幾何畫板畫圖而后插入Word文件中，比用Word自身的畫圖工具畫出的圖形是既準確又精美，同時還不用把線段、點以及表示線段和點的字母等圖形要素一一組合。這一點在數學教師制作數學試卷和書寫數學論文時非常有用。

具體作法是:在幾何畫板中把圖形畫好后，用選擇工具把各個圖形要素全部選定，而后復制并粘貼到Word文件中，此時它只是一個圖片文件，不能移動。我們只要改變一下圖片格式就可以移動它，并且還可以根據需要改變其大小。

注釋

①全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)解讀.北京師范大學出版社:121.

②全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)解讀.北京師范大學出版社:67.

③陶維林.4.03版幾何畫板實用范例教程.前言.清華大學出版社.

④全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)解讀.北京師范大學出版社:337.

⑤全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)解讀.北京師范大學出版社:76.

⑥全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)解讀.北京師范大學出版社:120.