例說導數在函數中的應用

摘要導數在函數中的應用主要是:利用導數求物體運動的瞬時速度、利用導數求曲線的切線，利用導數判斷函數的單調性，利用導數求函數的極值和最值，利用導數證明不等式等。導數是分析和解決問題的普遍的有效的工具。

關鍵詞導數 函數的切線 單調性 極值和最值

中圖分類號:O174文獻標識碼:A

導數(導函數的簡稱)是一個特殊函數，它的引出和定義始終貫穿著函數思想。導數概念的出現為我們解決一些新的數學問題提供了方便，也是分析和解決問題時不可缺少的工具。函數是數學研究一個重要載體，大部分的實際問題都可以轉化為函數問題。數學的大多數概念都是客觀世界事物規律的抽象，在初等數學的學習過程中，有些問題要假設在某種前提之下才能計算，比如物體運動的速度等于位移除以時間，得出來的速度是一個平均速度，事實上物體在運動過程中速度并不是一成不變的，而恰恰是每時每刻都在變化的，如果要求出它在某一時刻的速度，就是求瞬時速度，那就必須借助導數來求得了，諸如此類，在函數中利用導數可以使一些原本較復雜的問題，通過導數就能輕松地解決，本人結合教學實踐，就導數在函數中的應用作初步探究。

有關導數在函數中的應用主要有:求物體直線運動的瞬時速度、求函數的切線，判斷函數的單調性，求函數的極值和最值，利用函數的單調性證明不等式等。

1 用導數求瞬時速度

例1.設質點作直線運動，已知路程s是時間t的函數

s = 3t2 + 2t + 1，求t = 2時的瞬時速度。

分析:根據導數的定義求解。

解:s' = (3t2 + 2t + 1) = 6t + 2，當 t = 2時s'=14

即當時間為2時，速度是14。

小結:求出函數的導數就是求出速度函數v0= f ' (t0)，當t0 = 2時，v0就是瞬時速度。

2 用導數求函數的切線

例2.已知曲線y = x3 - 3x2 - 1，過點(1，-3)作其切線，求切線方程。

分析:根據導數的幾何意義求解。

解:y' = 3x2 - 6x， 當x =1時y' = -3，即所求切線的斜率為k = -3

故所求切線的方程為y + 3 = -3 (x-1)，即:y = -3x。

小結:函數y = f (x)在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y = f (x)在點P(x0，f (x0))處的切線的斜率。就是說，曲線y = f (x)在點P(x0，f (x0))處的切線的斜率是f '(x0)，相應的切線方程為y - y = f '(x0) (x-x0 )。

3 用導數判斷函數的單調性

例3.求函數y = x3-3x2-1的單調區間。

分析:求出導數y'，令y'>0或y'<0解出x的取值范圍即可。

解:函數y = x3-3x2-1的定義域是(-∞，+∞)

y' = 3x2-6x，由y'>0得3x2-6x>0，解得x<2或x>2。

由y'<0得3x2-6x<0，解得0

故所求單調增區間為(-∞，0)∪(2，+∞)，單調減區間為(0，2) 。

小結:利用導數判斷函數的單調性的步驟是:(1)確定f (x)的定義域;(2)求函數的導數y' = f '(x);(3)在函數f (x)的定義域內解不等式f '(x)>0和f '(x)<0;(4)確定f (x)的單調區間若在函數式中含字母系數，往往要分類討論。

4 用導數求函數的極值

例4.求函數y = x3-6x2+9x-3的極值。

分析:求出導數y'，令y' = 0求出駐點，通過駐點左右側y'的符號來判斷極大值和極小值。

解:函數y = x3-6x2+9x-3的定義域是(-∞，+∞)，

y' = 3x2-12x+9 = 3(x-1)(x-3)

令y' = 0解得x1 = 1，x2 = 3

在(-∞，1)內y'>0，在(1，3)內y'<0知f (1) = 1是y = f (x)的極大值x，f (3) = -3是y = f (x)的極小值x。

小結:求可導函數極值的步驟是:(1)確定函數f (x)的定義域，求導數f '(x);(2)求f '(x) = 0的所有實數根;(3)對每個實數根進行檢驗，判斷在每個根(如x1)的左右側，導函數f '(x)的符號如何變化，如果f '(x)的符號由正變負，則f (x1)是極大值;如果f '(x)的符號由負變正，則f (x1)是極小值。注意:如果f '(x) = 0的根x1 = x2的左右側符號不變，則f (x1)不是極值。

5 用導數求函數的最值

例5.求函數f (x) = x3-6x2-9x+5在[-2，4]上的最大值和最小值x。

分析:求出導數f '(x)，令f '(x) = 0求出駐點，通過駐點左右側f '(x)的符號來判斷極大值和極小值x。

解:f '(x) = 3x2-6x-9 = 3(x+1)(x-3)

令f '(x) = 0解得x1 = -1，x2 = 3

由于f (-1) = 10，f (3) = 22，f (-2) = 3，f (4) = -15

所以f (x)在[-2，4]上最大值是f (-1) = 10，最小值是f (3) = -22

小結:求可函數f (x)在[a，b]內的最大值和最小值的步驟是:(1)求函數f (x)在[a，b]內的極值;(2)求f (x)在端點的f (a)和f (b)的值;(3)極值與f (a)、f (b)的值比較即可得最大值和最小值。

6 用導數證明不等式

例6.已知x>1，求證x2+lnx

分析:應首先構造函數，對函數進行求導，(下轉第115頁)(上接第70頁)判斷函數的單調性。

證明:令f (x) = x3 - (x2+lnx)

則f '(x) = 2x - x -=

因為x>1，所以f '(x)>0即f (x)在(1，+∞)上單調遞增

又因為f (x)在[1，+∞)上連續，即f (1)- >0恒f (x)>0成立

所以當x>1時x2+lnx

小結:利用導數證明不等式是近年高考中出現的一種熱點題型。其方法可以歸納為:構造函數，利用導數研究函數最值。

總之，導數作為一種工具，在解決數學問題時使用非常方便，尤其是可以利用導數來求出物體運動的瞬時速度，解決函數的單調性，極值，最值以及切線問題。在導數的應用過程中，要加強對基礎知識的理解，重視數學思想方法的應用，達到優化解題思維，簡化解題過程的目的，更在于使學生掌握一種科學的語言和工具，進一步加深對函數的深刻理解和直觀認識。