從幾個著名數學猜想談數學猜想的方法

摘要“數學猜想” 是數學發展的關鍵要素，沒有“數學猜想”也就沒有數學的發展。縱觀數學發展的整個歷史，數學上的每一次發展都離不開數學猜想。文章對歷史上的一些著名數學猜想進行了詳細解讀、研究，尋找在數學猜想中所蘊含的數學思想方法，進而提出了“數學猜想”的一些基本方法，用以作為數學教育的一些基本素材。試圖在數學教學中給師生的教和學提供一條思路。

關鍵詞數學猜想 類比猜想 歸納猜想 特殊

中圖分類號:O1文獻標識碼:A

0 引言

數學教育的一個重要目的培養學生的創新意識和創新能力。怎樣培養學生的創新意識和創新能力。 這是擺在每一個數學教育工作者面前的一個重要課題。作者研讀了東北師范大學張同君教授， 云南師范大學姚文孝教授等老師的有關著作結合三十多年的教學實踐， 試圖言簡意賅，在較短的教學時數內教給學生們數學猜想的真諦與思想方法。文章提出了三種數學猜想的具體思想方法。

1 數學史上幾個著名數學猜想

1742年俄國數學家哥德巴赫在把一些充分大的合數分解成幾個奇素數的和時，通過計算和觀察提出了一個數學猜想，即哥德巴赫猜想。

(1)哥德巴赫猜想:①每一個大于4的偶數都可以表示為兩個奇素數之和。此猜想到迄今為止仍尚未解決。

1637法國數學家費瑪在研究方程xn + yn = zn的整數根時通過實驗和觀察提出當n>2方程xn + yn = zn無整數解， 但他自己無法證明。這便是下面的費瑪大定理。

(2)費馬大定理(費馬猜想):當整數n>2時，xn + yn = zn方程沒有正整數解。此猜想法國數學家費馬自稱已證明:寫在書的某夾隙里，但至今還未發現。

1993年英國數學家Andrew Wiles宣布“已證明費馬大定理”。到目前為止國際數學界正在審查它的證明(2003年時，據說已審完其證明，并獲得菲爾茲獎)。費瑪還提出了一個猜想，如下:

(3)費馬小定理(猜想):如果整數a不能被素數p整除，那么ap-1-1能被P整除。(已證)

(4)四色猜想:在一個平面或球面上的任何地圖只需用4種顏色，就能夠使任何相鄰的兩個國家染不同的顏色。其中，每個國家由一個連通區域構成，并且兩個國家相鄰是指它們有一段公共邊界。

(即:任何一個國家的不同省份都可以用最多四種顏色把它區分出來)

在介紹下面的康托爾猜想時，首先來介紹一下“無窮集合的勢”的概念。

一個有窮集合，可以說它有多少個元素，例{a、b、c}有3個元素。那么對于一個無窮集合，怎樣來描述它的元素的“多少”呢?可以用集合的勢來表示其元素的多少。

(1°)無窮集合的勢(或基數):設S1與S2是兩個無窮集合，若在S1與S2的元素間能建立一個一一對應的關系，則稱S1與S2有相同的勢。(即這兩個集合的元素一樣多!)

(2°)可數集:若一個無窮集合S的元素能與自然數集N+建立一個一一對應的關系，則稱該集合S叫可數集，把可數集的勢記作χo，χo 是最小的無窮勢，即可數集是最小的無窮集合。

可以證明:有理數集Q的勢是χo。 ∴Q是可數集。 ∴有理數集Q與自然數集N+的元素一樣多。

定義:集合[0，1]是不可數集(即[0，1]的元素比可數集多得多)，把不可數集的勢記為χ(阿列夫)。

顯然 χo<χ

定理:實數集R的勢是x，(∴R的元素與[0，1]一樣多)

(5)康托爾猜想(連續統假說):在χo與χ之間不存在另外的勢，即:不存在勢u使:x0

此猜想告訴我們:只有兩種無窮集合:可數集(勢為χo的無窮集合);不可數集(勢為χ的無窮集合)。

3 數學猜想的特征

仔細研究上面幾個數學猜想的全過程， 我們發現“數學猜想” 是數學發展的關鍵要素，沒有“數學猜想”也就沒有數學的發展。而“數學猜想”是一種似真推理。即，是根據已知，運用實驗、觀察、歸納、類比等法對所研究的問題做出的似真推測。 數學猜想的特征:(1)真假特定性， 因為數學猜想的結果只有三種可能， 正確命題; 錯誤命題; 無法判定的命題。(2)科學創新性， 提出新理論，揭示新規律，建立新方法。(3)解題的快捷性， 猜想的思維方法是人們智慧和靈感的結晶，它具有靈活機動的特點，在解題上表現就是快捷性。

4 數學猜想的思想方法

數學猜想有下面方法:特殊化猜想法;類比猜想法;歸納猜想法。

4.1 特殊化猜想法

當研究一般情形較困難時， 可以轉而研究特殊情形，即:把一般問題轉化為特殊問題來研究。(從特殊推測一般以后，用特殊化方法在考察特殊對象的基礎上，提出一般性的結論) 這種方法叫特殊化猜想法。 特殊化猜想法是數學猜想的一種重要法。特殊化猜想思想方法有:②檢驗特殊值、特殊函數、特殊體;特殊命題、特殊問題、或極端情形。

例1:橢圓 += 1(a>b>0)的離心率e = ，A是左頂點，F是右焦點，B是短軸的一個端點，則∠ABF= () 。

(A)30°(B)60°(C)90°(D)120°

分析:應用數學猜想的思想方法:考察極端的特殊情況，在四個選中，90°是一個極端情形，先猜想∠ABF=90°

于是只須證明:

KAB??KBF =- 1即可。

∵KAB??KBF = ??(- )= -=-= e -= -1。(注:橢圓e = )

∴∠ABF=90°，選C

注: 本題目如果用“證明方法”計算結果，是很麻煩的。 計算量大，且思路容易受阻。

例2:設函數y = f (x)定義在R上，則函數y = f (x-1)與y = f (1-x)的圖象關于()。

(A)y = 0對稱(B)x = 0對稱 (C)y = 1對稱(D)x = 1對稱

(97)年高考

分析:取特殊函數y = f (x) = x2。則y = f (x-1) 2 與y = f (1-x) 2是同一個函數，它的圖象關于x = 1對稱。

注:本題不用特值檢驗法是無法求解的。

4.2 類比猜想法

類比是從特殊到特殊，或從一般到一般的邏輯推理方法。按比較的對象分，類比法可以分成兩類:(1)特征類比;(2)結構類比。(這兩種類比提示了我們去類比什么?)

例3:設A、B、C、D分別為四面體的四個面的面積。

(1)求證:D = AcosAD + BcosBD + CcosCD。(其中AD，BD，CD分別表示相應兩的二面角)。

(2)試猜測四面體的余弦定理:D2=A2+B2+C2-()。

分析:(1)是三維空間的問題，它與二維空間中的三角形的射影定理很相似。我們可以猜測把二維空間的射影定理:c = acosB + bcosA擴展到三維空間應該是上式(1):D = AcosAD + BcosBD + CcosCD。既然如此可以類比射影定理的證明方法來證明(1)式。

證明:把△ABD看成四面體中的D面，(下一步該怎么辦?)類比:過C點作底AB的垂線，過頂點P作D面的垂線，設垂足為H。

∵三個側面在△ABD上的投影面積為:

S△AHB = S△APB??cosCD = c cosCD

(注:△APB用相的頂點c表示)

S△ACB + S△PBCcosAD = A??cosAD

S△HCA + S△PCAcosBD = A??cosBD

三式相加得:D = AcosAD + BcosBD + CcosCD。把上面等式稱為四面體的射影定理。

從上面證明我們看到:四面體的射影定理的證明方法是類比三角形的證明方法得到的，這是從低維到高維，證明方法的類比。

例4:棱臺上，下底的面積分別為4和64，則平行于底面且與上，下底距離之比為2:1的截面面積為()。

解:二維空間中的定比分點公式:A(x1y1)，P(x1y)，B(x2y2)，若λ = ，則

如果把上面公式看是運算法則，看一看是否可以通過類比得出上面題目的解。

把上底面截面的距離d1比成AP，

截面到下底的距離d2比成PB。

則:λ ==

把上面比成x1，類比成x2，

則 == 6，∴S截=36。

注:這里λ == 是一維空間量的比，∴面積必須帶上根號，，即只能把分別類比成點的坐標x，x1，x2。

討論:上面類比得到的結果是否一定正確?(正確，∵這實際上是把臺體的“定比分面”與解幾的“定比分點”類比。是屬于同一法則的類比。∴其結果不需要證明。

討論:本題怎樣用幾何知識計算:如圖，

∵棱臺上、截、下底面是相似多邊形，作出截面圖 = ()2 = ()2。

即:=

∴ = ()2。∴S=36。

4.3 歸納猜想法

通過對特例的觀察與綜合，作出一般結論的似真推理方法叫歸納猜想法，歸納猜想法的具體方法主要有:(1)歸納法;(2)數學歸納法。

例5: 計算

解 應用不完全歸納法先猜結果

∵a1 = 3，a2 == 33

猜想 an = 33…3(共有n個3)，

證明:

an2 = 11…1-22…2 = (102n-1) -(102n-1)

=(102n - 2×10n+1) = (10n - 1)2

∴an=(10n - 1) = ??99…9 = 33 …3。

評注:本題是先猜結果，后證明，采用的猜證結合解題:

例6:③試求平面上n條直線最多能為平面分成多少個平面塊。

解:由“最多”可知:n條直線兩兩相交，且任意三條直線不能交于一點，下面來猜平面塊個數，設n條直線最多可把平面分成f(n)塊平面塊，則:

f (1) = 2， f (2) = 4 ， f (3) = 7有了這幾個特值時再來猜因果關系:∵f (2) = 4 = f (1) + 2，猜:為什么f (2)比f (1)多2塊?

∵后一條直線與前一條直線有一個交點，這交點把后一直線分成了兩段。∴多了2塊平面塊。

又∵f (3) = f (2) + 3，為什么f (3)比f (2)多3塊?(∵第3條直線與前2條相交有兩個交點，這兩個交點把第三條直線分成三段，而每一段把平面塊一分為2，增加(下轉第73頁)(上接第69頁)一塊，∴共增加了3塊)。

猜想:f (n) = f (n-1) + n:因為第n條直線與前n-1條直線有n-1個交點，這n-1個交點把第n條直線分成了n段，而第一段把它所在平面塊一分為二，增加一塊，∴共增加了n塊，由上面猜想得到一個遞推公式:

值得注意的是:上面猜想的推理過程，實質上是一種證明推理。所以得到的結論是正確的，不需再證明。本題目計算f (n)的過程也是非常巧妙的。

∵f (n) = f (1) + [f (2) - f (1)] + [f (3) - f (2)] +…+ [f (n) - f (n-1)]

= f (1) +2 + 3 +…+ n =(n2 + n +2)

注:本題目獲得遞推關系的方法是典型的歸納法:由交點把ln分成n段增加了幾個平面塊。從而獲得其遞推公式。

注釋

①②③張同君等.中學數學解題研究.長春:東北師范大學出版社，2001:114-115，118-119，147-148.