微元法在大學(xué)物理中的應(yīng)用

摘要微元法是大學(xué)物理中考慮問題必不可少的一種方法，同時(shí)也是高等數(shù)學(xué)和大學(xué)物理都沒有詳細(xì)介紹的部分。本文從幾個(gè)典型的定積分例題出發(fā)，分析了微元法如何在大學(xué)物理中使用，總結(jié)了采用微元法解題的步驟。

關(guān)鍵詞微元法 大學(xué)物理 定積分

中圖分類號(hào):O4文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

大學(xué)物理課程是中學(xué)物理的延續(xù)、深化和拓展，它和中學(xué)物理之間有著很大的區(qū)別。中學(xué)物理課程中的知識(shí)多涉及特殊情況下的物理模型，例如勻加速直線運(yùn)動(dòng)、恒力做功和恒定電磁場(chǎng)等，而大學(xué)物理課程中的知識(shí)趨向一般化，例如變加速運(yùn)動(dòng)、變力做功和變化的電磁場(chǎng)等。鑒于此，大學(xué)物理的學(xué)習(xí)要以高等數(shù)學(xué)為工具來考慮問題，利用微積分和矢量等來解決大學(xué)物理中的一般化問題。高等數(shù)學(xué)是大學(xué)課程中的一門基礎(chǔ)課，其中采用微積分和矢量來解決物理問題的教學(xué)內(nèi)容很少，使得學(xué)生對(duì)于大學(xué)物理中這方面的內(nèi)容總是疑惑頗多。本文結(jié)合高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，從幾個(gè)典型例題出發(fā)對(duì)微元法在大學(xué)物理中的應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的闡述。

高等數(shù)學(xué)中的定積分，是從求任意曲線下的面積引出的。已知y是x的函數(shù)，即y = y(x)，在xoy坐標(biāo)系中曲線y = y(x)下的面積可近似看成許多個(gè)小矩形面積之和。若分割的矩形個(gè)數(shù)為無窮多個(gè)，則求和可轉(zhuǎn)換為積分形式，曲線下的面積可表示如下:

其中，ds = ydx即為面積元，dx要非常小，以至任意x處dx范圍內(nèi)的函數(shù)值都可近似為x處的函數(shù)值y = y(x)，積分上下限由自變量x的范圍來確定。

當(dāng)然，在大學(xué)物理中上述面積元要相應(yīng)的變換為有物理含義的種種微元，例如線元、力元、元功、元位移、電荷元、電流元等。

1 標(biāo)量積分

中學(xué)物理中所涉及的有關(guān)繩子的問題中，強(qiáng)調(diào)繩子為輕繩，這就意味著繩子的質(zhì)量可以忽略不計(jì)。但是，現(xiàn)實(shí)中的繩子都是有質(zhì)量的，即繩子為重繩，由此問題復(fù)雜化了。

圖1繩子中的張力

如圖1所示，對(duì)質(zhì)量為m的繩子的一端，沿繩長(zhǎng)方向施加大小為F的力，可知繩子做加速運(yùn)動(dòng)。在繩子中取一小段作為研究對(duì)象，質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為l°設(shè)水平向右為正方向，該段繩兩端受力分別為T1和T2，據(jù)牛頓第二定律可知其所受合外力為T = (T1-T2)。由于繩子所受力的方向與繩子方向平行，可以考慮為標(biāo)量積分，因此可得:

△T = T1 - T2 = (△m)a

其中，a為該段繩的加速度大小。因m≠0，所以T1和T2不相等。由此可知，重繩在加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩中各點(diǎn)的張力(繩內(nèi)各段之間的相互作用力)均不相同。因此在大學(xué)物理中處理有關(guān)重繩的力學(xué)問題時(shí)，要考慮使用微元法，舉例如下。

有一質(zhì)量為m的繩OA，長(zhǎng)為l，一端固定于O點(diǎn)，繩子繞固定點(diǎn)在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，角速度為w，求繩子中任意位置處的張力。

如圖2中，以固定端O為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿繩方向建立徑向坐標(biāo)系O-X。根據(jù)上述對(duì)重繩的分析，選取重繩中的微元，其質(zhì)量為dm，兩端坐標(biāo)分別為x和(x+dx)，長(zhǎng)度為dx。我們知道，重繩中微元兩端所受的力并不相等，其合外力為dT。因?yàn)槔K子在水平面圍繞固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，即繩上的微元均以O(shè)為圓心作圓周運(yùn)動(dòng)，由此微元所受合外力為向心力。取繩中兩相鄰的微元1和2，受力如圖所示。因?yàn)锳端為自由端，微元1所受的力T1 = 0，所以

- T2 = dmω2x1

其中，負(fù)號(hào)意味著假設(shè)力T2的方向與所建立的X軸正方向相反，x1為微元1所在位置處的坐標(biāo)。對(duì)于與微元1相鄰的微元2而言，受力如圖所示，可知

- T3 + T2 = dmω2x2

其中x2為微元2所在位置處的坐標(biāo)。依此類推，繩中任意位置x處的微元n，其受力的表示式如下:

- Tn+1 + Tn = dmω2xn

下面從兩個(gè)不同的角度來考慮該問題。

(1)由張力的定義可知，任意x處的張力近似為上述n個(gè)式子求和?？傻?

- Tn+1 = dmω2(x1+x2+…+xn)

= (dx)ω2xi

= ω2(xidx)

若所取微元為無窮小時(shí)，求和轉(zhuǎn)變換為積分形式。因?yàn)閤1 = l，xn = x，則繩中任意x處的張力為:

其方向沿繩子的方向指向原點(diǎn)O，即沿負(fù)X軸方向。

(2)根據(jù)上述微積分的概念，也可直接將n個(gè)式子的求和改為下式的定積分:

- dT = - (Tn+1 - Tn) = dmω2x

其中，T的積分下限為T1 = 0，對(duì)應(yīng)著x的積分下限為A端(即x = l);T的積分上限為T(即待求量)，對(duì)應(yīng)著x的積分上限為x°式中負(fù)號(hào)的含義也可以理解為隨著x的增加，其張力逐漸減小。因此可得:

實(shí)際上，數(shù)學(xué)定積分中的面積元ds轉(zhuǎn)換成了力元dT。由上式可得任意微元x處的張力為:

T =

可見，從兩個(gè)角度考慮問題的結(jié)果是一致的。角度(2)是大學(xué)物理中常用的方法，直接列出任意微元處的等式，再根據(jù)已知確定相應(yīng)的積分上下限，由此得出待求結(jié)果。而角度(1)從某種意義上來說，更加清楚地說明了角度(2)的來源。該定積分的方法在力學(xué)中常見，例如求解變力的沖量、連續(xù)體的質(zhì)心和剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等。

2 矢量積分

上述力學(xué)例題，只是說明了標(biāo)量的定積分問題，但大學(xué)物理更復(fù)雜的內(nèi)容要涉及矢量的微積分、矢量的叉積和點(diǎn)積等。下面以一道電學(xué)題為例來說明此問題。

有一帶電細(xì)棒，其上電荷均勻分布，電荷線密度為?，P點(diǎn)到棒的垂直距離為d，從P點(diǎn)做棒的垂線，垂足與棒左右兩端的距離分別為a和b，求P點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。

我們知道，點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度公式中要涉及激發(fā)電場(chǎng)的電荷與空間點(diǎn)之間的距離。據(jù)此，要考慮整個(gè)帶電細(xì)棒在P點(diǎn)所激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度就要把細(xì)棒分成無窮多份，以至于每份都可以看成點(diǎn)電荷(即電荷元)。使用點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式求出任意電荷元在P點(diǎn)所激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)，因電場(chǎng)強(qiáng)度為矢量，之后將所有電荷元在P點(diǎn)所激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)進(jìn)行矢量疊加，即可求得最終結(jié)果。根據(jù)對(duì)上述力學(xué)問題的分析可知，求和可以轉(zhuǎn)換為積分來計(jì)算。

圖3均勻帶電細(xì)棒在空間所激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度

對(duì)矢量進(jìn)行積分時(shí)，我們可以將矢量分解到不同的方向，對(duì)每個(gè)方向上的分量分別積分，再將每個(gè)方向上的積分結(jié)果組合即是最終結(jié)果。設(shè)一矢量為，在直角坐標(biāo)系中三個(gè)方向的分量分別為ux，uy，uz。該矢量對(duì)作用時(shí)間的積分可以寫成其三個(gè)分量分別對(duì)作用時(shí)間積分的矢量組合，即。例如，力學(xué)中速度和加速度對(duì)作用時(shí)間的積分，可分別寫為

和

。

如圖3，以細(xì)棒左端為坐標(biāo)原點(diǎn)，以水平向右的方向?yàn)檎较颍⒆鴺?biāo)系O-X'。任意選取的電荷元dq的左右位置分別為x'和x'+dx'。電荷元dq在P點(diǎn)所激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度可以分解為X和Y方向上的分量和。據(jù)點(diǎn)電荷所激發(fā)場(chǎng)強(qiáng)的公式可知

，其作用等效于數(shù)學(xué)定積分中的面積元ds。由此可得

其中，對(duì)于矢量的積分可轉(zhuǎn)換為對(duì)標(biāo)量的積分。下面來具體求解:

其中dq = λ dx'，，自變量x'的范圍為[0，a+b]，則

同理，可得

確定積分上下限，則

因此，帶電棒在P點(diǎn)激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)為

由上可知，當(dāng)a = b時(shí)，，即帶電細(xì)棒在其中垂線上所激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)只有Y方向的分量。此題中的積分變量采用x'，當(dāng)然積分變量也可歸結(jié)為α，這在參考書中常見，本文所得結(jié)果與注釋中的結(jié)果相吻合。①②

這種方法在電磁學(xué)中的運(yùn)用非常普遍，例如求解帶電圓環(huán)、圓盤、球殼和球體在空間某點(diǎn)所激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度;利用畢奧-薩伐爾定律求解載流直導(dǎo)線和線圈在空間某點(diǎn)所激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度等。

3 有關(guān)環(huán)路和曲面的積分

我們知道在大學(xué)物理中，積分并不簡(jiǎn)單停留在上述單一的標(biāo)量和矢量積分上，有時(shí)還要涉及種種的方向規(guī)定，例如回路的方向、電動(dòng)勢(shì)的方向、曲面的方向、電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向等。下面我們以電磁學(xué)中的一道題目為例來說明該類問題。

如圖4，有一均勻分布的磁場(chǎng)，位于圓柱形區(qū)域內(nèi)，>0，有一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的導(dǎo)體棒AB如圖放置，棒與圓柱軸線之間的垂直距離為d，求導(dǎo)體棒AB上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

圖4變化的磁場(chǎng)在導(dǎo)體棒中引發(fā)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

由電磁學(xué)知識(shí)可知，變化的磁場(chǎng)可以引發(fā)渦旋電場(chǎng)，其電場(chǎng)線為閉合曲線。因隨時(shí)間逐漸增加，可知渦旋電場(chǎng)的電場(chǎng)線方向?yàn)轫槙r(shí)針方向(如圖4中的圓形虛線)。選取圓柱形區(qū)域內(nèi)，距中心為r處的渦旋電場(chǎng)的電場(chǎng)線與導(dǎo)體棒相交位置處的導(dǎo)體棒線元，該線元距B端(設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn))距離為l，其正方向?yàn)樗较蜃?。線元處的渦旋電場(chǎng)方向?yàn)殡妶?chǎng)線的切線方向，其與線元之間的夾角為α。由法拉第電磁感應(yīng)定律可知，導(dǎo)體棒上電動(dòng)勢(shì)的方向?yàn)橛葿指向A。若能求得，根據(jù)電動(dòng)勢(shì)的定義式，即可求得導(dǎo)體棒上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

下面首先根據(jù)關(guān)系式

來求解，其中曲面S為積分回路l(即半徑為r的圓周)所包圍的面積。假設(shè)順時(shí)針方向?yàn)榉e分回路的正方向，因積分回路l的繞行方向與曲面S的法線方向成右手螺旋關(guān)系，所以面積元的正方向?yàn)榇怪奔埫嫦蚶铩Ｒ騼H隨時(shí)間逐漸增加，可知，其方向?yàn)榇怪奔埫嫦蛲?。值得注意的是，渦旋電場(chǎng)的方向與所選積分回路方向相同，均為順時(shí)針方向，且積分回路上渦旋電場(chǎng)的大小處處相等。由此，可得:

由此，可得。利用公式即可求得感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。注意到，公式中積分路徑的方向(由B沿棒指向A)與棒的方向相平行。所以，

可見，，這說明棒上感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向由B指向A，與采用法拉第電磁感應(yīng)定律判斷的結(jié)果相一致。

基于上述討論，可以采用微元法求解通過任意曲面的物理量(例如:電場(chǎng)強(qiáng)度、電位移和磁感應(yīng)強(qiáng)度等)的通量，其中要保證所取面積元處的該物理量近似為常矢量，還可以用來求解物理量(例如:電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度)的環(huán)流。

本文的討論基本含括了大學(xué)物理中采用微元法解題的大部分類型。采用微元法解題的主要步驟可歸結(jié)為:選取恰當(dāng)?shù)奈⒃?針對(duì)微元列出與所求解量有關(guān)的等式;確定是標(biāo)量還是矢量積分(注意所涉及到的物理量的方向);將多個(gè)變量統(tǒng)一為一個(gè)積分自變量;確定該積分自變量的上下限;積分求解最終結(jié)果。

★項(xiàng)目資助:中國(guó)傳媒大學(xué)理科規(guī)劃項(xiàng)目(項(xiàng)目號(hào):XNG0951)和中國(guó)傳媒大學(xué)“382人才工程”項(xiàng)目

注釋

①程守洙，江之水.普通物理學(xué)(第二冊(cè))[M].北京:高等教育出版社，1998:12-30.

②趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué)[M].北京:高等教育出版社，2003:7-20.