數(shù)形結(jié)合 角度善變 決勝中考

摘 要:“函數(shù)幾何題”常常是中考試卷中的把關(guān)題和壓軸題，翻一下歷年各地的中考試卷，幾乎都有函數(shù)中的幾何問題。

關(guān)鍵詞:函數(shù)幾何題

中圖分類號:G623.5 文獻標(biāo)識碼:A 文章編號:1006-3315(2010)7-028-001

由于近年來的“函數(shù)幾何問題”已經(jīng)從單純的知識疊加型轉(zhuǎn)化為知識、方法和能力綜合型，其涉及的知識面廣、知識跨度大、綜合型強、應(yīng)用數(shù)學(xué)方法多，這就要求學(xué)生有較好的心態(tài)和過硬的數(shù)學(xué)基本功。不僅能從已知中提供的信息提煉出數(shù)學(xué)問題，而且能靈活運用所學(xué)知識和掌握的基本技能創(chuàng)造性地解決問題，所以初三老師在指導(dǎo)復(fù)習(xí)時，尤其要注意這類問題的解決策略。

一、沉著面對，耐心審題

有些考生一看到“函數(shù)幾何問題”復(fù)雜的圖形，那么多的條件和要求解的問題。首先就心慌氣短，連看都不敢看，直接放棄，其實沒必要的，雖然“函數(shù)幾何問題”的能力要求很高，但問題的難度是有層次的，所以沒必要全盤放棄和恐慌，正確面對就可以了，因此首先心態(tài)要好。但由于該類問題條件隱蔽，而且變化多樣，所以一定要認(rèn)真審題，層層剝離，充分挖掘。要注意把握好解題結(jié)果的終極目標(biāo)和每一步的局部目標(biāo);了解由已知產(chǎn)生了什么和要解決什么，提高概念把握的正確性和運算的正確性，力求能夠得到的分一定要拿到手。

二、掌握特性，分解難點

在“函數(shù)幾何問題”中，經(jīng)常可以看到二次函數(shù)和圓相結(jié)合的問題，有時是利用圓的幾何特征解決二次函數(shù)中一些點或角的問題。有時是利用二次函數(shù)的函數(shù)特性解決圓中的一些線段或面的問題。不管是哪一類，都要明確工具自身的特性。如圓的軸對稱性旋轉(zhuǎn)不變性、拋物線的點與式的緊密結(jié)合性。當(dāng)工具的特性體現(xiàn)完時，把有關(guān)圖形再分離出來，達到清晰解題，降低難點的目的。如2008年新課程結(jié)束考試卷上有一題:如圖所示:在平面直角坐標(biāo)系中圓M經(jīng)過原點O且與X軸、Y軸分別相交于A(-6，0)，B(0，-8)兩點。

⑴請寫出直線AB的解析式

⑵若有一拋物線的對稱軸平行于Y軸且經(jīng)過點M，頂點C在圓M上。開口向下，且經(jīng)過點B。求此拋物線的函數(shù)表達式。

第⑴小題很簡單，用待定系數(shù)法求出直線解析式即可。而第⑵小題就要緊扣圓的特性。用垂徑定理得AN=NO=3，再由直徑AB=10得R=5，用勾股定理求出MN=4，從而得CN=1，這樣就求出了頂點C的坐標(biāo)。拋物線的函數(shù)表達式也就求出了。

到第⑶小題時，其實圓的工具性也體現(xiàn)完了，僅是函數(shù)內(nèi)部問題，可以重新畫圖，再次確定研究對象，使目標(biāo)清晰，此時，P點不確定，它就相當(dāng)于動點，行動軌跡為拋物線，我們就可以用拋物線的特性來定位動點，設(shè)出P點坐標(biāo)為(X，-X2-6X-8)，再用面積來計算，不過這里在計算面積時要當(dāng)心。△PDE的高為|-X2-6X-8|就可以了。

三、了解動態(tài)，細心分類

在“幾函問題”和“函幾問題”中經(jīng)常會遇到運動問題。

⑴動點P在怎樣的圖形上運動?

⑵求⊙P與l相切時，點P的坐標(biāo)。

⑶當(dāng)⊙P與直線l相交于B、E兩點時，與X軸交于另一點A，l上是否存在一點Q，使AQ2=BQ·EQ?若存在求點Q的坐標(biāo)，若不存在請說明理由。

我們在分析這一問題時，可以先在草稿紙上把運動過程感知一下，發(fā)現(xiàn)如果要滿足動圓P始終在Y軸左側(cè)并與Y軸相切的話，動圓P點圓心P到Y(jié)軸的距離始終是半徑5，這就是動中找出不變的量，那么圓心P就應(yīng)該在這樣一條直線上運動。即與Y軸平行且到Y(jié)軸的距離是5的一條直線即X=-5。到第二題與動圓相切的對象換成了已知直線l和Y軸，模擬運動后，發(fā)覺要滿足上述要求有兩種可能。一種動點P在∠1的角平分線與圓心P的軌跡的交點處，另一種即在∠2的角平分線與圓心軌跡的交點處，分類完成后，確定可能了，接下來利用相似等性質(zhì)認(rèn)真計算求出P點的坐標(biāo)。對于第⑶題，說明完BE是直徑后，由已知去構(gòu)造△ABQ和△AEQ相似。此時就要對Q點在直線l上的運動情況進行分類，直線l有三個特殊點，B點、E點、P點。故Q點就可能在E點的右邊，或在BE的之間，或在E點的左邊。分類分好后，再逐一構(gòu)造相似，進行計算。

四、挖掘已知，轉(zhuǎn)移變量

“函數(shù)幾何問題有時直接變量與已知聯(lián)系不大或很難，直接判斷時，常常可以通過轉(zhuǎn)移變量，達到簡化的目的。如:2006年常州中考卷上一題:在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點O為圓心2為半徑畫⊙O，P是⊙O上一動點，且P在第一象限，過點P作⊙O的切線與X軸相交于點A，與Y軸相交與點B。問P在運動時，變化著的線段AB長度的最小值。當(dāng)然本題的解法不止一種，但最簡單的還是想到AB這個變量直接判斷較困難，若能轉(zhuǎn)移到斜邊上的中線這個變量，問題就容易理解很多，斜邊上的中線要最短，即原點到中點的距離變成原點到AB的垂線段就可以了。即中點和切點重合。

五、掌握技巧，靈活求解

解決“函數(shù)幾何問題”時，尤其要重視數(shù)形結(jié)合，對題目中的條件和結(jié)論既分析代數(shù)含義又分析其幾何意義，“數(shù)”與“形”的互譯、限制的轉(zhuǎn)化，是解決這類問題的關(guān)鍵所在，找到解題思路，再加上平時自己積累的經(jīng)驗、小技巧，也可以幫助很快解題。