關于復變函數課堂教學改革探討

【摘要】復變函數與積分變換是高等工科院校有關專業的必修專業基礎課。本文對復變函數的課堂教學方面進行了探討。

復變函數論是一門古老而富有生命力的學科。早在19 世紀， Cauchy， Weierstrass 及Riemann 等人就已經給這門學科奠定了堅實的理論基礎。作為一種有力的工具， 復變函數廣泛地應用于自然科學的很多領域， 如理論物理、空氣動力學、流體力學、彈性力學、地質學及自動控制學等。 復變函數是實變函數微積分的推廣和發展。它不僅在內容 上與實函數有很多類似之處， 而且在研究問題的方法與邏輯結構方面也很類似。當然復變函數也有自身的特點，有自己的研究工具和方法。同時，復變函數是數理方程、泛函分析、多復變函數、調和分析等后續課程的基礎。學習復變函數，既能鞏固已學的課程知識，又能為后面的進一步學習、繼續深造打下理論基礎。因此，學習這門功課對于學生來說是非常重要的。然而， 該課程理論性強、內容抽象、概念多，學生普遍感到比較困難，而且復變函數實際授課時數相對比較少， 如何利用有限的課時，科學合理地安排教學，提高課堂教學效果， 我們對此提出自己的幾點淺見， 與同仁參考討論。

一、合理安排教學內容

作為一種有力的工具， 復變函數廣泛地應用于自然科 學的很多領域， 在課堂教學中教師應根據不同專業對復變 函數的內容要求以及后續專業課程的需要， 對該課程的教學內容在保持基本內容不變的基礎上進行靈活地處理。教師對所講的內容應該有所側重，與高等數學相近的內容如連續、導數等可以引導學生自學討論， 但偏于不同的地方要特別有所側重， 減少理論較強的推導和證明，注重概念定理的精確性及其應用。例如， 對于柯西積分公式、解析函數的高階數公式的證明，只需簡單介紹其思路， 使學生建立比較直觀的理解， 并了解其蘊含的數學思維方法即可。 另外還可以適當增加一些背景知識以及簡要介紹相關數學家如柯西等及主要成就、著名數學問題、逸聞趣事等，引發學生的學習興趣， 使學生學習復變函數不再枯燥。

二、精心組織課堂教學

首先， 采用多媒體和板書相結合的教學。與普通板書教學相比， 多媒體教學有著巨大的優勢， 它生動逼真、直觀形象地再現了客觀事物， 充分地刺激學生感官， 激發了學生強烈的學習欲望和興趣。在教學中我們采用了多媒體輔助手段， 通過計算機圖形顯示、動畫模擬、數值計算及文字說明等， 形成了一個全新的圖文并茂、聲像結合、數形結合的生動直觀的教學環境， 從而大大增加了教學信息量， 提高了學習效率， 有效地刺激了學生的形象思維。對 于這種方法的不足之處， 我們采取板書和多媒體二者相結合的“多媒體輔助” 教學方式來解決。對于一般知識性的 內容或需要借助圖形講解的內容采用多媒體進行演示； 對 需要和學生們一起思考演算的部分采用板書的形式， 這有助于培養學生的邏輯思維能力和推理能力， 學會數學的思維方法。為了達到好的教學效果， 教師除了制作好精細簡練的課件外， 也要花大量的時間去熟悉課件內容， 課堂上不要播放一句講一句。如果老師就是在讀PPT， 不能激發學生的學習興趣， 還會使學生對本課程產生厭倦， 出現逃課、課堂睡覺等情況； 而如果運用好啟發性教學， 能調動學生的積極性， 盡量使學生理解后再播后面的內容。

其次， 為了加深學生對復變函數所學內容的理解和應 用以及加強基礎， 同時照顧大多數同學， 教師在課堂上應 對基礎內容講清講透， 精選例題、課堂練習題及作業題。 例題、練習題和作業題一方面要全面地反映知識重點， 另一方面要體現一定的思想性和方法性。在講解例題時， 要留給學生思考的時間。課后學生可拷貝教師的課件， 這樣 同學們課堂上可以專心聽講， 不必忙于記錄筆記。在課下也要建立與學生相互交流的平臺， 比如留下QQ、E-mail 和固定答疑時間等， 幫助學生釋疑解惑， 有利于培養學生自主學習的能力。

另外， 在教學中安排適當的學時介紹數學軟件MATLAB 或Mathematica 在該課程中的應用。復變函數中諸如復數的運算、方程求復根、微分、積分、羅朗級數展開、留數計算等問題， 通過這些軟件這些軟件都可以很方便地實現， 使看起來非常復雜的數學運算問題易如反掌。教師使用多媒體時要在課堂上一邊介紹一邊演示， 同時適當增加實驗課， 讓大家自己動手解決復變函數中的一些實際問題， 最后布置一些課后作業， 激發學生主動思考研究的熱情。 通過該部分的學習， 學生會不再害怕繁瑣的計算， 既節省了時間， 又提高了學習的興趣和效率。同時還可以提高學生學習計算機的興趣與使用計算機的能力。

三、注重教學方法， 培養學生能力

1. 利用比較教學法， 構建知識體系

復變函數和高等數學中有很多相似的內容， 如復變函 數的極限和連續性、導數、微分、級數等， 只要具備微積 分基本知識就可以很容易地掌握。第一節課教師從理論體 系上介紹本門課程的大體框架， 讓學生了解： 復變函數是 在充分運用高等數學知識的前提下， 把有關實函數的連續、 微分、積分、級數等理論延續拓展的情形， 對于復變函數 的很多知識點同學們都不陌生， 以此為開端引起同學們的 興趣。但是， 復變函數的許多概念、性質和意義又與實變函數存在著某些不同之處。所以在教學中要注重加強本課程與高等數學的銜接， 充分利用比較教學法引導學生弄清兩者間的聯系與區別， 這樣可以調動學生利用已有知識探 索新知識的積極性， 也逐步培養了同學們的類比思維能力， 既是對高等數學相關知識的復習， 也能加深對本課程的理解， 還能取得良好教學效果。例如， 在介紹復數時， 提出疑問： 實數能比較大小， 復數是否也能比較大小； 與初等 實變函數一樣， 初等復變函數也是一種最簡單、最基本而 且常用的函數類， 在復變函數論及其應用中十分重要， 在 介紹初等函數時， 要與高等數學中的初等函數進行比較， 啟發學生注意它們之間的聯系與區別， 特別要重點介紹它 們的區別。如在復數域中不能再斷言|sinz|≤1， |cosz|≤1， 即正弦函數與余弦函數的無界性； 指數函數在高等數學中 是不具有周期性的， 但ez 在復變函數中是周期函數； 對數 函數的無窮多值性等。在講授課程內容的過程中合理的使 用類比方法， 合理設疑啟發學生主動思考， 培養學生的創 造性思維能力。

2. 注重課程的切入， 與學生雙向交流， 培養學生的發散思維能力

首先， 復變函數課程本身嚴密的邏輯性和高度的抽象 性使學生學起來難， 老師講授起來更是難上加難。尋找合 適的切入點就是解決此難題的突破口， 無論對于老師的 “教” 還是對于學生的“學” 都會受益匪淺。課堂的切入包括“比較式”、“提問式”、“提綱挈領式”、“描繪知識結構圖” 等方式， 使用適當的切入方法， 可以在一開始就抓住學生的注意力。

其次課堂是教學的主要場所， 積極的課堂氣氛有利于提高學生學習效率。教師在教學時可以以課堂討論、創設合適的問題引導學生對所學知識進行概括與總結， 使學生開動腦筋，積極思考， 激發學生的學習熱情及科研興趣，培養學生的綜合分析能力與口頭表達能力， 增強學生主動參與課堂教學的意識。例如， 解析函數是復變函數討論的中心， 是復變函數研究的主要對象，它在理論和實際問題中有著廣泛的應用， 函數解析的等價條件是什么， 如何判斷函數解析，讓學生從不同角度歸納總結， 這樣學生的創新研究能力得到提高。

最后課堂例題要精選，應該經常使用一題多解， 以提問或者討論的方式讓學生獨立思考， 啟發學生對于一個問題從多個角度思考， 學會舉一反三、發散思維能力。例如， 在復變函數積分計算中除了可以利用柯西定理， 柯西積分 公式， 高階倒數公式等外， 還可以利用留數定理。從已知的調和函數u（x， y） 求共軛調和函數v（x， y） 以組成解析函數的多種方法。

通過以上教學改革，我們所教的學生對該課程的學習 興趣有了很多的提高，取得了很好的教學效果。當然這僅是筆者基于自己的實際工作經驗對復變函數課堂教學改革初步探索， 由于本身的經驗所致，有可能依然存在著考慮 不夠成熟的地方， 希望共同探討。

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