對一道不等式數學題解法的思考

在數學復習教學中，選好一道例題，通過一題多思，一題多解、一題多講，可以鞏固學生知識，訓練學生思維，開拓學生視野，可以使學生的知識能夠有機地聯系.下面通過一個典型的例題加以說明.

已知a，b∈R+且4a+1b=1，求a+b的最小值.

錯解:(均值不等式法)

∵a，b∈R+，

∴1=4a+1b≥4ab①

(當且僅當4a=1b，即a=4b時取等號).

∴ab≥4.

又a+b≥2ab②

(當且僅當a=b時取等號).

∴a+b≥8.③

∴a+b的最小值是8.

分析:此題解答有誤.因為①、②式的等號不能同時成立，所以③式等號不能取.但事實上推導過程無誤，只是擴大了a+b的范圍.因此強調使用重要不等式時等號成立條件的必不可少.

解法一:(1的妙用)

∵4a+1b=1，

∴a+b=(a+b)(4a+1b)=5+4ba+ab≥9

(當且僅當4ba=ab時，即a=6，b=3時取等號).

練習:1.a，b，c∈R+，a+b+c=1，求證(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.

2.a，b，c是不相等的正數且abc=1，求證a+b+c<1a+1b+1c.

解法二:(構造a+b不等式法)

由4a+1b=1得b=1+4a-4，

則(a-4)(b-1)=4≤(a+b-52)2，

即a+b≥9(當且僅當a-4=b-1時，即a=6，b=3時取等號).

練習:已知x+xy+4y=5(x，y∈R+)，求xy的取值范圍.

解法三:(換元后構造均值不等式法)

由4a+1b=1得b=aa-4=1+4a-4(a>4)，

所以a+b=a+1+4a-4

=5+a-4+4a-4

≥9

(當且僅當a-4=4a-4，即a=6時取等號).

解法四:(判別式法)

由4a+1b=1得b=aa-4=(a>4).

令a+b=z，則z=a+aa-4=a2-3aa-4，

得關于a的二次方程a2+(3+z)a+4z=0.

可由Δ=(3+z)2-16z≥0且z+3+(z+3)2-16z2>0

解得z的范圍，從而得到a+b的最小值.

(注意實根分布情況討論.)

練習:已知2x+y=6，求1x+1y的范圍.

解法五:(三角代換法)

令4a=(cosθ)2，1b=(sinθ)2，

則a+b=4(secθ)2+(cscθ)2

=5+4(tanθ)2+(cotθ)2≥9.

練習:00，b>0，求a2x+b21-x

的最小值.

解法六:(導數法)

z=a+aa-4(a>1)，令z′=0，得a=6.

即在區間內有一極值點，此極值必為最值.

以上所涉及到的方法都是學生在學習過程中應掌握的，而教師通過對這一道例題認真細致的講解即可幫助學生復習到多個知識點.

(責任編輯 金 鈴)