一個重要不等式在解題中的應用

觀察函數f(x)=lnx和g(x)=x-1的圖象(如下圖)，由圖可知，除x=1外，y=f(x)的圖象總位于函數圖象y=g(x)的下方，即“lnx≤x-1對于x∈R+恒成立”(平移后，也就是x∈R+，ln(x+1)

一、對不等式的證明

【例1】 已知f(x)=lnx，g(x)=x-1，x∈R+，求證:f(x)≤g(x).

證明:構造函數F(x)=lnx-(x-1)(x∈R+)，對其進行

求導，得F′(x)=1x-1，令F′(x)=0，得x=1.

x(0，1)1(1，+∞)

F′(x)+0-

F(x)↗極大值↘

故F(x)max=f(1)=ln1-(1-1)=0，

即Fmax(x)≤0，即lnx≤x-1.證畢.

說明:可以對之進行變形，如elnx≤ex-1，即x≤ex-1，亦即x+1≤ex等.

由于該不等式“左邊為自然對數式，右邊為多項式”，因此在解題中有很廣泛的應用，本文將舉例加以說明.

二、不等式在解題中的應用

【例2】 (2008，北京)已知函數f(x)=ex-x(e為自然對數的底數).

(1)求f(x)的最小值;

(2)設n∈N+，證明:Σni=1(in)n<ee-1.

解:(1)(解法一)求導，得f′(x)=ex-1.令f′(x)>0，解得x>0;令f′(x)<0，得x<0，即

x(-∞，0)1(0，+∞)

f′(x)-0+

f(x)↘極小值↗

所以f(x)≥f(0)=1.

(解法二)由lnx≤x-1得ln(x+1)≤x

ex≥x+1ex-x≥1，

∴f(x)=ex-x≥1，當且僅當x=0時取“=”.

∴f(x)min=f(0)=1.

(2)由(1)得1+x≤ex.令x=-in(n∈N*，i=1，2，…，n-1)，則0<1-in<e-1n，

∴(1-in)n<(e-in)n=e-i(i=1，2，…，n-1)，

即(n-in)n<e-i(i=1，2，…，n-1).

∴Σni=1(in)n=(1n)n+(2n)n+…+(n-1n)n+(nn)n<e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-1+1.

∵e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-1+1=1-e-n1-e-1<11-e-1=ee-1.

∴Σni=1(in)n<ee-1.

本題巧用不等式1+x≤ex把數列問題先化歸為函數問題，再取特殊值使問題得到解答.需要注意的是，取x=-in，不能直接令x=in，否則不符合題意.

我們知道，數列{(1+1n)n}當n→+∞時的極限是e，即limn→∞(1+1n)n=e.

其實，該數列是一個遞增數列，它的上確界為e，這一結論可以用剛才的結論加以證明.

【例3】 已知數列{an}中，a1=23，an+1=(1+12n)an+1n2(n≥2，n∈N*)，bn=(1+n)1n(n∈N*).

(1)當n≥2時，求證;an≥2;

(2)證明bn<e，且an<23e3.

證明:(1)(數學歸納法)

①當n=2時，有a2=(1+12)a1+1=2，an≥2，成立.

②假設當n=k時，有ak≥2，

則當n=k+1時，有ak+1=(1+12k)#8226;ak+1k2，

由ak≥2，得ak+1=(1+12k)#8226;ak+1k2≥2+22k+1k2>2，

所以ak+1≥2.

由①②可知，當n≥2時，有an≥2成立.

(2)要證明bn<e成立，只需證(1+n)1n<e，即ln(1+n)

又當x>0時，由函數f(x)=ln(x+1)≤x，得ln(n+1)

∵an≥2(n≥2)，

∴1≤an2.

∴an+1=(1+12n)#8226;an+1n2≤(1+12n)an+1n2#8226;an2=(1+12n+12n2)#8226;an.

∴lnan+1≤ln(1+12n+12n2)+lnanlnan+1-lnan≤ln(1+12n+12n2)<12n+12n2，

所以有:

lna2-lna1<12+12×1，

lna3-lna2<122+12×22，

…

lnan-lnan-1<12n-1+12(n-1)2.

各式相加得:

lnan-lna1<(12+122+…+12n-1)+12[1+122+132+…+1(n-1)2]

<1-12n-1+12[1+(1-12)+…+(1n-2-1n-1)]，

∴lnan<lna1+3-12n-1-1n-1<3+ln23，

即an<23e3.

三、練習

1.(2008，北京)設函數f(x)=lnx+x2+ax.

(1)若x=12時，f(x)取得極值，求a的值;

(2)設g(x)=f(x)-x2+1，當a=-1時，證明g(x)≤0在其定義域內恒成立，并證明ln2222+ln3232+…+lnn2n2<2n2-n-12(n+1)(n∈N，n≥2).

2.(2005，重慶){an}中a1=1，an+1=(1+1n2+n)an+12n

.

證明:(1)an≥2(n≥2);

(2)利用x>0，ln(1+x)

總之，在近幾年的高考試題及高考模擬題中，關于使用到該不等式的綜合題頻繁出現.本文借此拋磚引玉，以期能給大家一點點啟發、思考.

(責任編輯 金 鈴)