函數(shù)對稱性的探究及應(yīng)用

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容，也是整個高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).其中函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，因為對稱關(guān)系不僅存在于現(xiàn)實生活而且廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中，而且對稱關(guān)系充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美，利用對稱性解題能收到事半功倍的效果.本文擬通過函數(shù)自身的對稱性和不同函數(shù)之間的對稱性這兩個方面來探討函數(shù)與對稱有關(guān)的性質(zhì).

一、函數(shù)自身的對稱性探究

定理1.函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點A(a，b)對稱的充要條件是

f(x)+f(2a-x)=2b.

證明:(必要性)設(shè)點P(x，y)是y=f(x)圖像上任一點，∵點P(x，y)關(guān)于點A(a，b)的對稱點P′(2a-x，2b-y)也在y=f(x)圖像上，∴2b-y=f(2a-x)，

即y+f(2a-x)=2b，故f(x)+f(2a-x)=2b.得證.

(充分性)設(shè)點P(x0，y0)是y=f(x)圖像上任一點，則y0=f(x0).

∵f(x)+f(2a-x)=2b，∴f(x0)+f(2a-x0)=2b，即2b-y0=f(2a-x0).

故點P′(2a-x0，2b-y0)也在y=f(x)圖像上，而點P與點P′關(guān)于點A(a，b)對稱，充分性得證.

推論:函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點O對稱的充要條件是f(x)+f(-x)=0.

定理2.函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是

f(a+x)=f(a-x)，即f(x)=f(2a-x).(證明留給讀者)

推論:函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱的充要條件是f(x)=f(-x).

定理3.①若函數(shù)y=f(x)圖像同時關(guān)于點A(a，c)和點B(b，c)成中心對稱(a≠b)，則y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個周期.

②若函數(shù)y=f(x)圖像同時關(guān)于直線x=a和直線x=b成軸對稱(a≠b)，則y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個周期.

③若函數(shù)y=f(x)圖像既關(guān)于點A(a，c)成中心對稱又關(guān)于直線x=b成軸對稱(a≠b)，則y=f(x)是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個周期.

①②的證明留給讀者，以下給出③的證明:

證明:∵函數(shù)y=f(x)圖像關(guān)于點A(a，c)成中心對稱，

∴f(x)+f(2a-x)=2c，用2b-x代x得:

f(2b-x)+f\\=2c，①

又∵函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=b成軸對稱，

∴f(2b-x)=f(x)，代入①得:

f(x)=2c-f\\，②

用2(a-b)-x代x得

f\\=2c-f\\，代入②得:

f(x)=f\\，故y=f(x)是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個周期.

二、不同函數(shù)對稱性的探究

定理4.函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖像關(guān)于點A(a，b)成中心對稱.

定理5.①函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)的圖像關(guān)于直線x=a成軸對稱.

②函數(shù)y=f(x)與a-x=f(a-y)的圖像關(guān)于直線x+y=a成軸對稱.

③函數(shù)y=f(x)與x-a=f(y+a)的圖像關(guān)于直線x-y=a成軸對稱.

定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③.

證明:設(shè)點P(x0，y0)是y=f(x)圖像上任一點，則y0=f(x0).記點P(x，y)關(guān)于直線x-y=a的軸對稱點為P′(x1，y1)，則x1=a+y0，y1=x0-a，∴x0=a+y1，y0=x1-a，代入y0=f(x0)之中得x1-a=f(a+y1).∴點P′(x1，y1)在函數(shù)x-a=f(y+a)的圖像上.

同理可證:函數(shù)x-a=f(y+a)的圖像上任一點關(guān)于直線x-y=a的軸對稱點也在函數(shù)y=f(x)的圖像上.故定理5中的③成立.

推論:函數(shù)y=f(x)的圖像與x=f(y)的圖像關(guān)于直線x=y成軸對稱.

三、函數(shù)對稱性應(yīng)用舉例

【例1】 定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足:f(10+x)為偶函數(shù)，且f(5-x)=f(5+x)，則f(x)一定是().(第十二屆希望杯高二第二試題)

A.是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)B.是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

C.是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)D.是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解:∵f(10+x)為偶函數(shù)，∴f(10+x)=f(10-x).

∴f(x)有兩條對稱軸x=5與x=10，因此f(x)是以10為其一個周期的周期函數(shù)，∴x=0即y軸也是f(x)的對稱軸，因此f(x)還是一個偶函數(shù).選A.

【例2】 設(shè)定義域為R的函數(shù)y=f(x)、y=g(x)都有反函數(shù)，并且f(x-1)和g-1(x-2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱，若g(5)=1999，那么f(4)=().

A.1999 B.2000 C.2001 D.2002

解:∵y=f(x-1)和y=g-1(x-2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱，

∴y=g-1(x-2)的反函數(shù)是y=f(x-1)，而y=g-1(x-2)的反函數(shù)是:y=2+g(x)，∴f(x-1)=2+g(x)，∴有f(5-1)=2+g(5)=2001，

故f(4)=2001.選C.

【例3】 設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1+x)=f(1-x)，當(dāng)-1≤x≤0時，

f(x)=-12x，則f(8.6)= .(第八屆希望杯高二第一試題)

解:∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù);∴x=0是y=f(x)的對稱軸.

又∵f(1+x)=f(1-x)，∴x=1也是y=f(x)的對稱軸.故y=f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3.

【例4】 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+2)=-f(x)，當(dāng)0≤x≤1時，

f(x)=x，則f(7.5)=().

A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5

解:∵y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴點(0，0)是其對稱中心.

又∵f(x+2)=-f(x)=f(-x)，即f(1+x)=f(1-x)，∴直線x=1是y=f(x)的對稱軸，故y=f(x)是周期為2的周期函數(shù).

∴f(7.5)=f(8-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.選B.

(責(zé)任編輯 金 鈴)