互動探究 交流展示 培養能力

在高中數學教學中，互動探究、交流展示為學生自主學習提供強有力的支持，也可以使教師成為學生學習活動的組織者、引導者、參與者，從而豐富課堂活動內容，提高教學效果.下面是在一堂高三文科二輪復習課上，本人與學生對一道高考題研究的案例.

【原題】(2009，全國，(文)Ⅰ)設非零向量a、b、c滿足|a|=|b|=|c|，a+b=c，則〈a，b〉().

A.150°B.120°C.60°D.30°

【例1】 將此題變為填空題(江蘇高考數學題中無選擇題).

生1:(自告奮勇板演)記a與b的夾角為θ且θ∈[0，π].

∵a+b=c，

∴(a+b)2=|c|2，

即2|a||b|cosθ=-|b|2.

又∵|a|=|b|=|c|，

∴cosθ=-12.

∵θ∈[0，π]，

∴θ=2π3.

師:這是用代數法解決向量問題.可以考慮用幾何法嗎?

學生若有所悟，并激烈討論起來.

突然學生2連手都不舉在下面激動的大喊一聲:老師，是不是構造三角形啊?

師:太好了.怎么構造三角形，構造后如何解，請說出你的思路.

生2:構造等邊

三角形，很快得答案.

令AB=a，BC=b，AC=c.

由a+b=c且|a|=|b|=|c|可知

△ABC為等邊三角形(如圖1).

圖1

∴a與b的夾角為120°.

師(小結):本小題考查向量的幾何運算、考查數形結合的思想，屬于高考題中的基礎題.

【例2】 已知A(-1，0)，B(35，45)，點C在∠AOB的角

平分線上，|OC|=5，則OC的坐標為 .

圖2

生3:設C(a，b)，∠AOB=2θ，如圖2.

∵|OC|=5=a2+b2，

且OA#8226;OB=|OA||OB|cos2θ=cos2θ=-35，

∴2cos2θ-1=-35，

即cosθ=15.

∵OA#8226;OC=|OA||OC|cosθ=-a，

即5#8226;15=-a，

∴a=-1，即b=2或-2(舍去).

∴C(-1，2).

師:還有其他的方法嗎?

學生交頭接耳，又討論起來.

生4(胸有成竹):老師，這個容易解，就是利用|OA|=|OB|，AB線段中點D在∠AOB的角平分線OC上，再利用向量共線定理:|OC|=λ|OD|.

圖3

師:太對了，學生4講得很到位，這數形結合的方法很好(如圖3).還有其他的方法嗎?

在我高度表揚下，平時學習很被動、課堂從不配合老師教學的學生也踴躍參與討論.

生5(未舉手直接起立):老師，運用

向量加法平行四邊形法則.這個平行四邊形是菱形.

故對角線一定在直線OC上.(如圖4)

圖4

生5(頓了頓):|OA|=|OB|，OD=OA+OB，

利用菱形對角線平分∠AOB，故O、D、C三點共線，

再利用向量共線定理:OC=λOD(此步驟與學生4相同).

師:很棒!此法很簡捷.

在教學中重視一題多解，加強各知識之間的縱橫聯系，能起到舉一反三、融會貫通的作用.

師:今天大家表現得很好.請思考:若例2中的B(35，45)改為B(3，4)呢?又該怎么解?

生6(不假思索):利用平行四邊形法則解.

學生一片嘩然.顯然大家都知道學生6說法不對.

師:為什么平行四邊形法則不能用?

學生齊喊:平行四邊形對角線不平分對角.

生7:老師，O、D、C三點不共線，不能用利用向量共線定理.這題只能用代數法，幾何法在這里行不通.

生8:不對!老師.幾何法可以做!在OB上截取OD，使|OD|=|OA|，以下方法同原題的解法.

生9:還可以用單位向量，OA|OA|與OB|OB|的模相等.

……

對變式題的探討激發了學生的思維，促進學生從不同角度思考問題.

通過學生互動探究、交流展示成果，教師更能了解學生的掌握水平，并給予及時的指導.同時，學生成果的展評帶有競賽游戲特點，更能激起學生學習數學的興趣和學習的斗志.或許這只是淺層次的興趣，但只要能通過興趣引領學生走進數學，他才能發現數學之美，并深深愛上數學.

(責任編輯 金 鈴)