三角變換中“1”的妙用

三角式的變形問題，包括三角式的簡化、求三角式的值、證明恒等式、條件等式和三角不等式內容.特別是三角式的求值、化簡是三角函數的重要內容.在三角函數中“1”的變換有:1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=csc2α-cot2α=tanα#8226;cotα=tan45°

=secα#8226;cosα=cscα#8226;sinα=sin90°

等等.在具體變換中根據題目的不同特征選擇不同的變換，在三角函數的變形時，若能把常數“1”恰當處理，并靈活運用三角基本公式，變形起來就比較順利.現舉例說明.

第一，三角函數式如含有1時可將1變換為sin2α+cos2α.

【例1】 已知tanαtanα-1=-1，求sin2α+sinαcosα+2的值.

分析:由已知可以求出tanα，再由同角三角函數關系式可以求得sinα和cosα，進而求出關系式的值，但實際操作中，往往借助題目條件的特殊性來整體考慮使用條件.

解析:sin2α+sinαcosα+2

=sin2α+sinαcosα+2(sin2α+cos2α)

=3sin2α+sinαcosα+2cos2αsin2α+cos2α

=3tan2α+tanα+2tan2α+1

=3(12)2+12+2(12)2+1

=135.

評析:形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子稱為關于sinα、cosα的二次齊次式，對涉及它們的三角式通常利用1=sin2α+cos2α進行變換.

【例2】 若sinθ、cosθ是關于方程8x2+6kx+2k+1=0的兩個實根，求k的值.

解:由題意知

sinθ+cosθ=-6k8=-3k4，

sinθcosθ=2k+18.

∵Δ=(6k)2-4×8×(2k+1)≥0，

∴k≥8+2349或k≤8-2349.

又∵1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=(-3k4)2-2×2k+18，

∴9k2-8k-20=0，

解得k=-109或k=2(舍去)，

∴k=-109.

第二，三角式中有1和secα、tanα時，則利用sec2α-tan2α=1進行變換.

【例3】 化簡:1+secθ+tanθ1+secθ-tanθ.

解:1+secθ+tanθ1+secθ-tanθ

=(sec2θ-tan2θ)+(secθ+tanθ)1+secθ-tanθ

=(secθ+tanθ)(secθ-tanθ+1)1+secθ-tanθ

=secθ+tanθ

=1+sinθcosθ

=(cosθ2+sinθ2)2cos2θ2-sin2θ2

=cosθ2+sinθ2cosθ2-sinθ2

=1+tanθ21-tanθ2

=tan(θ+π4).

第三，在含有根號的三角函數等式的變形中，1±sinα、1±cosα時1可以不變，但為“脫”去根號常借助三角函數的平方關系.

【例4】 化簡三角函數式(1+sinα1-sinα-1-sinα1+sinα)#8226;

(secα+1secα-1-secα-1secα+1).

分析:利用同角三角函數平方關系式化簡.

原式=((1+sinα)2cos2α-(1-sinα)2cos2α)#8226;((secα+1)2tan2α-(secα-1)2tan2α)

=(1+sinα|cosα|-1-sinα|cosα|)#8226;

(|secα+1||tanα|-|secα-1||tanα|)

=2sinα|cosα|(1+cosα|sinα|-1-cosα|sinα|)=2sinα2cosα|cosα||sinα|=

4(當α在第一、三象限時);

-4(當α在第二、四象限時).

評析:解該題時易犯的錯誤是缺少對cosα、sinα正負的討論，直接“脫去”分母中的絕對值符號，或是不注意正、余函數的有界性，盲目對1±sinα、1±cosα的正負進行討論.

第四，三角式中有1和tanα，有時把1換成tan45°.

【例5】 化簡1+tanα1-tanα.

解:原式=tan45°+tanα1-tan45°tanα

=tan(45°+α).

第五，三角式中含有1±cosα，則有時不宜變動1，而將1+cosα化為2cos2α2，將1-cosα化為2sin2α2.

【例6】 化簡(1+sinα+cosα)(sinα2-cosα2)2+2cosα(0<α<π).

解:原式

=[(1+cosα)+sinα](sinα2-cosα2)2(1+cosα)

=(2cos2α2+2sinα2cosα2)(sinα2-cosα2)4cos2α2

=2cosα2(cosα2+sinα2)(sinα2-cosα2)2|cosα2|

=cosα2(sin2α2-cos2α2)|cosα2|

=cosα2(-cosα)|cosα2|.

又∵0<α<π，∴0<α2<π2.∴cosα2>0.

∴上式=cosα2(-cosα)cosα2

=-cosα.

第六，sin2α+cos2α=1的妙用.

【例7】 已知實數x，y滿足x2+(y-1)2=1，若對滿足條件的任意x，y都有x+y-c≤0恒成立，求參數c的取值范圍.

解:設x=cosθ，y-1=sinθ，

即x=cosθ，y=1+sinθ.

則x+y-c≤0恒成立轉化為cosθ+sinθ+1-c≤0恒成立，

即c≥cosθ+sinθ+1恒成立.

設z=cosθ+sinθ+1，

則c≥cosθ+sinθ+1恒成立等價于

c≥zmax.

下面我們求函數z=cosθ+sinθ+1的最大值.

z=cosθ+sinθ+1=2sin(θ+π4)+1.

由正弦函數的有界性知

當sin(θ+π4)=1時，函數取得最大值，即zmax=2+1，所以c≥2+1.

即c取值范圍是[2+1，+∞).

評析:本題考查不等式的恒成立問題中參數范圍的確定，集圓的參數方程、二元不等式、三角函數的性質等于一體，是一道好題，利用圓的參數方程(即sin2α+cos2α=1)是解決問題的關鍵.

(責任編輯 金 鈴)