圖形旋轉中面積計算的兩個結論

對圖形的學習往往會涉及面積的計算，我們不但用面積公式計算規則圖形的面積，還使用割補法、剪貼法求不規則圖形的面積.圖形旋轉過程中面積的計算更是為面積的計算增添了新的色彩.

一、重疊部分的面積

圖1

【例1】 如圖1，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O也是正方形A′B′C′O的一個頂點，如果兩個正方形的邊長都是2，正方形A′B′C′O繞著點O旋轉，探求兩個正方形重疊部分的面積是否發生變化.如變化，請說明理由;如不變，請求出重疊部分的面積.

分析:注意到旋轉過程中形成的全等三角形，△DOE≌△AOF，所以S四邊形OEAF=S△OAE+S△AOF=S△OAE+S△DOE=S△AOD=1.

【例2】 (2009，廣東汕頭)如圖2-1，⊙O的內接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE為⊙O的半徑，OD⊥BC于點F，OE⊥AC于點G.

圖2-1 圖2-2

(1)求證:陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC的面積的13.

(2)如圖2-2，若∠DOE保持120°角度不變，

求證:當∠DOE繞著O點旋轉時，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形(圖中陰影部分)面積始終是△ABC的面積的13.

分析:本題實質是扇形ODE與正△ABC重疊部分面積的計算.(1)中圖形處于特殊位置.此時陰影部分四邊形OFCG的面積可分成兩個全等直角三角形的面積的和.(2)中扇形ODE處于旋轉過程中的一般位置，此時可構造旋轉變換中的全等三角形后利用剪貼法對陰影部分的面積作出探究.

解:(1)略.

圖2-3

(2)連結OA，OB和OC，如圖3，則△AOC≌△COB≌△BOA，∠1=∠2，

不妨設OD交BC于點F，OE交AC于點G，

∠AOC=∠3+∠4=120°，

∠DOE=∠5+∠4=120°，

∴∠3=∠5.

∴△OAG≌△OCF，

∴S四邊形OFCG=S△OAC=13S△ABC.

結論1:當把一個角度等于360°n的角的頂點放在正n邊形的中心處并繞著中心旋轉，其重疊部分的面積是一個定值且等于正n邊形面積的1n.

二、線段掃過部分的面積

圖3

【例3】 (2009，遼寧朝陽)如圖3，AC是汽車擋風玻璃前的刮雨刷.如果OA=65cm，OC=15cm，當AC繞點O旋轉90°時，則刮雨刷AC掃過的面積為 cm2.

分析:注意線段AC兩個端點在旋轉過程中所形成的扇形，不難得出刮雨刷掃過的面積實質就是兩個扇形面積的差即一個扇環的面積=14π×(652-152)=1000π(cm2).

由上題可以看出，關于旋轉過程中路徑與面積的計算，只要找準關鍵點在旋轉過程中所形成的以旋轉中心為圓心的扇形，便可以轉化與扇形面積相關的計算.

【例4】 如圖4，邊長是4的正△ABC繞著它的頂點A旋轉一周，求線段BC掃過的面積.

圖4

分析:本題極易出錯.因為一般只會考慮到點B和點C繞點A旋轉所形成的圓周，沒辦法找到邊AB所掃過的圖形.其實在線段BC上距離點A最近的點是BC的中點，最遠的點是點B和點C，所以線段BC所掃過的圖形是一個圓環.內圓的半徑是23，外圓的半徑是4，得線段BC掃過的面積=π×42-π×(23)2=4π.

結論2:設一條線段上所有點中到一個點的最短距離是a，最長距離是b，則這條線段繞著這個點旋轉n°(n≤360°)的過程中所掃過圖形的面積是nπ(b2-a2)360.

(責任編輯 金 鈴)