談高中數學中的類比法

波利亞說:“類比是一個偉大的引路人.”可以說，類比是探索問題、解決問題與發現新結果的一種卓有成效的思維方法.在數學中，類比是發現概念、方法、定理和公式的重要手段，也是開拓新領域和創造數學新分支的重要途徑.

一、類比推理及其特性

所謂類比推理，是指通過兩個(或兩類)對象的一些相同(或相似)屬性的比較，從而推出它們的某些其他屬性也相同(或相似)的一種邏輯方法，其推理形式為:

類比對象 類比屬性

甲ABCD

乙ABC

所以，乙對象可能具有屬性D.

這是從特殊到特殊的一種推理形式，以兩個對象之間的類似為基礎的，但所推出的結論未必可靠，僅是一種“似真”的結果，帶有猜測的性質.

例如學生在學不等式的加減移項法則時，應用等式的加減移項法則作為類比就比較容易理解這些問題.但這種類比卻又容易造成以后乘除移項的失誤，有些學生根據“同向不等式可以相加”、“正數的同向不等式可以相乘”，根據類比推理得出“同向不等式可以相減”、“正數的同向不等式可以相除”這樣的錯誤結論來.

盡管類比的結果不一定正確，還必須經過嚴格的證明，但是通過類比聯想可以發現新的數學知識，可以找到解決問題的方法和途徑，可以培養學生的發散思維，創造性思維及合情推理能力.所以，類比推理在數學中雖然不是證明方法，但卻是一種重要的數學發現法，是提出假設進行猜想的基礎，是各種創造性思維形式的基本要素.

二、類比的價值和意義

1.創設類比情景，激發學習興趣

由于類比是從特殊到特殊的一種猜測、推理，從一個已知的領域去探索另一個領域.這正符合學生的好奇、去了解陌生世界的心理，也可以極大地激發出學生的興趣，從而主動地探索、研究新的知識.

例如在“空間兩平面平行的性質定理”的教學中，師生共同回顧平面平行的定義及初中平面幾何中線線平行的性質:

激勵學生運用類比聯想，大膽猜想，最終得出九種正確結論，如下圖:

這種教學方式，不僅使學生品嘗到類比成功的歡愉，而且也培養了學生對美的鑒賞和探索精神，增強學生的類比意識，使其學會數學地思維.

2.類比思想方法，溫故知新

類比是從舊知識推出新知識的一種思考方法，也是人們聯想的思維工具.知識之間存在著思想方法等聯系，可以通過讓學生利用舊知的類比，大膽猜測，從而探索新知.

例如在學習三棱錐的體積時，教師應引導學生與三角形的面積進行類比:因為三角形的底邊長對應三棱錐的底面積S，三角形底邊上的高對應三棱錐的底面S上的高h，而二維空間里的三角形的面積公式為S=12ah，所以由類比方法推測，三維空間里的三棱錐的體積應為V=13hS;在證明三角形面積公式時可以把三角形補成一個平行四邊形，三角形的面積是平行四邊形的面積的一半，而類似地，要求三棱錐的體積，應把它補成一個三棱柱，然后再分割成三個等體積的三棱錐，這就是課本上的方法——如果我們教師運用類比的方法引導學生進行思考，那么他們對這種方法的理解就會毫無困難.

當然不僅是知識體系的類比，也可以包括一些常見的結論.例如平面向量中，“若OP=λOA+μOB，且λ+μ=1，則P、A、B三點共線”，類比空間向量“若OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1，則P、A、B、C四點共面”.這樣進行類比，可以加深學生的理解和記憶，同時拓寬了視野.

3.通過類比聯想，啟發解題思路

教師教學生，不能是簡單地講解知識，不能僅滿足于讓學生模仿性地解題，更要讓學生學會一種思考的方法，分析問題的能力、遷移解題的能力.采用類比聯想，能使學生通過舉一反三、觸類旁通，迅速地掌握數學的基本知識、基本技能.

例如面對思考題:“證明半球的體積為23πR3”.引導大家回憶起定積分中求曲邊梯形的面積，步驟為“無限分割-以直代曲-求和-取極限”，核心為“以直代曲”.通過類比、探討后，得出了分割半球的多種方法:①底面與圓面平行的若干圓柱;②底面與圓面垂直的若干小半圓柱;③圓錐.

4.利用類比方法，發展創新思維

在解決數學問題的過程中，雖然問題情境發生了根本性的變化，兩個對象在表面上毫無共同之處，但通過以發散的思維來分析問題形式，創造條件，使兩者存在共同點，這種類比不是一種簡單的模仿，而是一種創造性，這對數學教學中培養學生的創新能力和創造性思維能力有著極其重要的作用.

例如有這樣的一個問題曾難倒了大部分學生:“求證:正四面體A-BCD內的任意一點P到各個面的距離之和等于常數”.其實只要與平面幾何的問題進行類比:“求證:等邊三角形內的任意一點P到三角形的三邊的距離之和等于常數”.由于平面幾何中該命題的證明采用的是“面積法”，類似地，這個立體幾何問題可采用“體積法”，于是問題迎刃而解.

康德說:“每當理智缺乏可靠論證思路時，類比這個方法往往能指引我們前進.”事實上，當我們遇到一個較為生疏的難題而又無從下手的時候，如果能構造一個類似的熟悉問題，從這個熟悉問題的解答過程中得到啟發，那么就很有可能悟出原問題的解法.

三、運用類比推理應注意的幾個問題

第一，要善于觀察事物的特點.注意從不同事物身上發現它們的共同或相似之處，并追究造成這種共同或相似的原因.要大膽放寬眼界，不受自己的研究對象與學科的限制.

第二，要善于聯想.從一事物聯想到與它性質相似的其他事物;從一種方式方法聯想到與其作用類似的其他方式方法;從一個概念或定理聯想到與它關系比較密切的一串概念或定理.

第三，類比常與歸納、演繹綜合運用，另外它也離不開分析.歸納、類比和探索性演繹法通常是靠猜想與聯想、直覺等心智運動串聯起來的，因此必須自覺掌握創造性思維等特征，并運用到實際工作中去.

第四，不能將兩個或兩類本質不同的事物，按其表面的相似來機械地加以比較而得出某種結論，否則就要犯機械類比的錯誤.

第五，強調數學的嚴密性.類比法本質是發現的方法，而非嚴格的推理，它在科學探索過程中走了捷徑.學生容易接受和喜歡這種方法，自覺和不自覺地進行類比，其結論有時不一定具有可靠性，因此對類比推出的結論要給以證明.同時要對學生中不正確的類比及時給予糾正，防止知識的負遷移，形成正確的知識體系.

只有我們意識到類比的教育教學價值，通過類比的教學方法去展示數學的知識，才能讓學生拓展視野，以極大的熱情去研究、學習數學，認識到數學世界的和諧統一，才能真正實現學生由“學會”到“會學”的轉化.

參考文獻

[1]波利亞.數學與猜想[M].北京:科學出版社，1984.

[2]霍福策.淺議新教材中的類比思想[J].高中數學教與學，2009(2).

[3]周以宏.淺談數學直覺的解題功能[J].數學通報，2004(2).

(責任編輯 金 鈴)