有效“展示” 呈現精彩

葉瀾教授說過這樣一句話:“課堂應是向未知方向挺進的旅行，隨時都有可能發現意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒有激情的行程.”前些天我校開展骨干教師示范課系列活動，劉鴻副校長在《基本不等式的運用》教學過程中，引導學生依據所學的知識，獨立思考、合作交流、自由展示、充分暴露思維過程，互相發現思維中存在的問題，共同糾錯，使學生由會解一道題到會解一類題，把數學思維提高到一個由例及類的檔次.

下面是課堂教學的一個片段:

【例】 已知a，b∈R+，且1a+3b=1，求a+2b的最小值.

蔣某:1=1a+3b≥21a#8226;3b=23ab，∴ab≥23.

又∵a+2b≥22ab，∴a+2b≥46，所以a+2b的最小值為46.

師:你們認可他的解法嗎?

張1:運用基本不等式求最值，需要交代當且僅當什么時取“=”，所以我覺得要補充當且僅當1a=3b，即b=3a時取“=”.

師:補充得很好，確實要注意交代取“=”的條件.

(旁邊一小女生欲言又止)

師(指了一指她):你有什么要補充的?

小女生:我覺得a+2b≥22ab也用了基本不等式，應該也要交代取“=”的條件.

師:建議合理，兩次取“=”的條件為b=3a與a=2b.

(頓時不少學生皺起了眉，顯得有些困惑)

丁某:既要滿足b=3a，同時又要滿足a=2b，此時只有a=b=0才成立，顯然a≠0，b≠0.我認為這種做法不對.(眾生點頭表示贊同)

因為1a+3b=1，所以a+2b+1=a+1a+2b+3b≥2a#8226;1a+22b#8226;3b=2+26，

當且僅當a=1a，2b=3b時取“=”.

所以a+2b的最小值為1+26.

師:丁某思維很活躍.這里“1”的代換好像回避了第一種解法的矛盾，大家對這種解法有沒有異議?(師把“好像”這兩個字說得很重，而且這兩個字前后都頓了頓，意在給學生傳遞一個信息:估計有問題.)張2:我認為有問題.a=1a且2b=3b，而條件1a+3b=1，所以a+2b的最小值不應該為1+26而應當等于1.

劉老師不回避意外的發生，沒有裝聾作啞，敷衍了事，而是順勢調整教學進程，基于張2的思維情況進行提問:

那1a+3b=2，…，1a+3b=m時，a+2b的最小值分別等于多少呢?

眾生嘩然.

師(追問):丁某的解法錯在哪里呢?下面小組討論.

倪同學(霹靂狼組的數學組長):我們組討論后認為，a=1a且a∈R+，所以a=1;2b=3b且b∈R+，所以b=62.于是，1a+3b=1+6與條件1a+3b=1產生矛盾，說明他們不能同時取等號.

師:贊成這個想法的請舉手.

51位學生全都舉起了手(有5位學生舉雙手贊成).

在這樣一個寬松和諧的學習氛圍中學生各抒己見、張揚個性，思想和智慧在互動中發生碰撞，產生火花.

師:相信大家對利用基本不等式求最值有了進一步的理解，能力有了更高層次的提升.我們是否可以對這一解法進行“修補”呢?下面繼續小組探討.

不一會兒，楊某(悍馬鐵騎組成員)展示他們的討論結果:

設λ>0，于是a+2b=a+2b+λ(1a+3b)-λ=(a+λa)+(2b+3λb)-λ≥2λ+26λ-λ

，當且僅當a=λa，2b=3λb，即a=λ，b=3λ2時等號成立，代入1a+3b=1，得λ=1+6.所以，a+2b≥2λ+26λ-λ=7+26.

妙哉!大家報以熱烈的久久不能平息的掌聲.

王某(忽地站起來):我的方法更好.因為1a+3b=1，∴a+2b=(a+2b)#8226;1=7+2ba+3ab≥7+26，當且僅當2ba=3ab，又因為1a+3b=1，所以a=1+6，b=3+32時取“=”，∴a+2b=7+26.

師:使用基本不等式的條件成熟嗎?

王某(繼續解釋):成熟.2ba>0，3ab>0;2ba#8226;3ab=6為定值;當2ba=3ab時，即b=62a代入1a+3b=1，解之得a=1+6，b=3+32.說明能取等于號.

師:Good idea!我們同樣將掌聲送給王某.

師(發現又有學生躍躍欲試):

李某你還有什么想法?

李某:∵a+2b≥22ab，當且僅當a=2b時取“=”，即a=2b，1a+3b=1.解之得a=7，b=72.a+2b的最小值為14.

馬某:錯，你條件不成熟.因為2ab不是定值.

有不少人在下面笑，看到學生有爭執，劉老師更是“煽風點火”:

2ab到底是不是定值啊?

李某(反駁):當a=2b時，a=2b，1a+3b=1.解之得，a=7，b=72，顯然2ab是定值.

馬某有點懵了，欲言又止.有些學生要發言，師示意少安毋躁，繼續微笑著等待馬某.大概過了，半分鐘，馬某又開口了:

我認為李某所謂的2ab是定值是有前提的，就是他默認a=2b.

而事實上未必是當a=2b時，a+2b取最小值.

李某:我明白了，謝謝你!(尷尬的氛圍得到緩解)

章某(未等李某坐下):我還有不同的解法.

a2+b2≥2ab，∴a2+b2≥2ab.所以2a2+b2≥22ab.

又∵a+2b≥22ab，于是a+2b=2a2+b2，解之得3a=4b.

由3a=4b，1a+3b=1得a=5，b=154.所以a+2b的最小值為5+152.

從學生的面部表情看得出，這一跳躍式思維讓他們歡喜讓他們憂.估計章某平時數學學得不錯，其他同學不敢貿然否定.

師(鼓勵大家產生想法):章某思路新穎，但從結果看好像不對呀，是吧?

仇某:我有個疑問，2a2+b2≥22ab，a+2b≥22ab，那么2a2+b2=a+2b一定成立嗎?

師:那你想想看什么時候才相等呢?

仇某:2a2+b2≥22ab在a=b時取等號，a+2b≥22ab在a=2b時取等號，所以不能同時取等號.

師(追問):仇某現在你對利用基本不等式求最值有沒有新的感悟?

仇某:一正沒爭議，二定看和積，三等同時取.

同學們對仇某的高度概括嘖嘖稱贊，不約而同地報以熱烈的掌聲.

到此為止，問題已經解決，課堂也已經掀起了一個高潮，但是，劉老師并沒有就此收尾，而是留意學生的變化與反應繼續引領學生互動，為每一位學生提供了表達想法的機會，促進教學的自然生成.

師:有誰能為這道題設計一個問題情境?

劉某(急著發言):一條直線經過點P(1，3)，與兩坐標軸的正半軸交于A、B兩點，求直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積的最小值，并求此時的直線方程.

師:這個設計類似于教材上的例題，有沒有比這個更合理的設計?

范某:一條直線經過點P(1，3)，與兩坐標軸的正半軸交于A、B兩點，求直線在兩坐標軸截得的橫截距與兩倍縱截距的和的最小值，并求此時的直線方程.

劉老師見大家對范某的展示很滿意，就趁熱打鐵引導學生比較兩類問題的處理策略，再次體會均值不等式的“一正、二定、三相等”中的“相等”的真正涵義.

這時下課鈴響了，看著同學們滿意的眼神，帶給我的是欣喜、感動，更多的是思考.

(責任編輯 金 鈴)