立體幾何圖形展開問題的課件及其制作

立體幾何圖形展開問題是高中教學(xué)中的難點，一方面解決該類問題需要將三維立體圖形化歸為二維平面圖形，而學(xué)生難以想象;另一方面，教師通過折紙或板書等傳統(tǒng)教學(xué)方法難以清晰地揭示展開過程.如果運(yùn)用課件，動態(tài)演示展開過程，將容易向?qū)W生展示解題思路.下面以解決“螞蟻爬行最短路徑”問題為案例，說明如何運(yùn)用幾何畫板制作立體幾何圖形展開問題的課件及原理應(yīng)用.

【案例一】已知一個長方體AC1，其長、寬、高的長度分別為a、b、c，現(xiàn)在A點有一只螞蟻，

它發(fā)現(xiàn)在點C1處有一粒自己喜歡的糖粒，問螞蟻找到糖粒的最短路徑是什么?

1.題意分析如圖1，要求由頂點A沿長方體表面到達(dá)頂點C1的最短路線，必然將長方體

展開為平面圖形，利用兩點間線段最短的原理解決，展開后不難發(fā)現(xiàn)有三條相對短的路

線:d21=a2+(b+c)2、d22=c2+(b+a)2、d23=b2+(a+c)2.

圖1

2.課件制作步驟、原理與方法

第一步:制作長方體AC1.用自定義工具快捷畫出一個長方體，并將其拖至合適大小，將其個頂點分別標(biāo)志為A、B、C、D、A1、B1、C1、D1(如圖1).

第二步:展開側(cè)面.根據(jù)題意，需要展開三個側(cè)面，這里僅以沿面AA1B1B展開面BB1C1C為例說明制作開展側(cè)面的過程.以B為圓心、BC為半徑制作圓，在⊙B上取圓上一點C′，標(biāo)記向量BC′，選中點B1與線段BB1，按照標(biāo)記向量進(jìn)行平移，得到線段C′C1′;依次選擇點B、B1、C1′、C′，連接四點成一個四邊形，即得到面BB1C1C的以B1B為軸的展開面BB1C1′C′;同理得到面BB1C1C的以BC為軸的展開面BB1′C″C，面AA1B1B的以A1B1為軸的展開面AD1′C1B1.

第三步:制作控制按鈕.同上僅以沿面AA1B1B展開面BB1C1C為例說明制作過程.制作控制最佳路徑展開的按鈕.作直線AB與⊙B的交點E;依次選擇點C′、E制作移動按鈕，并把按鈕的標(biāo)簽改為“路徑d1展開”;依次選擇點C′、C制作移動按鈕，把按鈕的標(biāo)簽改為“路徑d1閉合”;同理可得到其他兩個展開面最佳路徑的展開和閉合按鈕，如圖1所示.

第四步:美化界面.同上，以沿面AA1B1B展開面BB1C1C為例.依次選擇點B、B1、C1′、C′給展開面BB1C1′C′著色;同理可給另兩個展開面著不同于展開面BB1C1′C′的顏色;隱藏不必要的對象，美化界面.

3.課件應(yīng)用

動態(tài)視覺化演示展開過程，突破教學(xué)難點.教師可以通過控制按鈕展開長方體為不同形態(tài)的平面圖形;也可以隱藏按鈕，而直接通過手動移動關(guān)鍵點的位置，引導(dǎo)學(xué)生觀察展開面在不同位置上從點A到點C1距離的變化，將最佳路徑視覺化，從而突破難點.

現(xiàn)場計算，比較分析最佳路徑.該作法沒有直接給出最佳路徑，留待教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問題的方法后，現(xiàn)場運(yùn)用幾何畫板的測量菜單度量出d1、d2、d3的長度，并列表比較分析出最佳路徑.

【案例二】有一只螞蟻在圓錐底面邊上的點B處，這只螞蟻的家在該圓錐側(cè)面上的某點F處，

問螞蟻回家的最短距離是多少?

1.題意分析圓錐、圓柱等立體幾何圖形的側(cè)面都是曲面，求曲面上的兩點間距離必然轉(zhuǎn)

化到平面上求兩點間距離，這需要將立體圖形展開為平面圖形.

2.課件制作步驟、原理與方法

第一步:制作圓錐體.運(yùn)用自定義工具(中心+頂點)畫出一個橢圓，并將其拖至合適大小，隱藏不必要的點，設(shè)其中心為點O，一個頂點為點A，并將橢圓改為虛線;作A點的反射點A′，將其改為B，即得到橢圓另一個頂點;連接AB，過O作AB的垂線，在其上任取一點C，連接AC、BC，得到圓錐的中心軸線，隱藏垂線.

第二步:制作動態(tài)展開底面的圓弧.以點O為圓心、OA為半徑制作⊙O.在橢圓上任取一點E，連結(jié)CE，隱藏垂線，制作射線OE并得到射線OE與⊙O的交點F，作圓弧BF，即為圓錐底面展開的圓弧，連接相應(yīng)線段得到如圖2所示.

第三步:制作動態(tài)展開圓錐的側(cè)面.以C點為圓心、B為圓上的點，CB為半徑作圓，以C點為旋轉(zhuǎn)中心，按照標(biāo)記角度“(弧長BF/CD)*180°/π”，旋轉(zhuǎn)CB到CB′;作圓弧BB′，并填充圓弧BB′為某一顏色(如黃色)，連接相關(guān)線段，此時拖動E點，就會動態(tài)展開圓錐的側(cè)面.

第四步:美化界面.在CE上任意取點F為螞蟻的家;以點C為圓心、CF為半徑制作圓交CB′于F′;連接相應(yīng)的線段，隱藏不必要的點、線段、圖形，得到圖3.

3.課件應(yīng)用

動態(tài)視覺化演示展開過程，啟發(fā)學(xué)生猜想螞蟻行走的最佳路線，突出重點.教師可以先不作出圓錐側(cè)面的展開圖形，通過追蹤母線CE，生成圓錐側(cè)面;拖動E點，啟發(fā)學(xué)生猜想F點的運(yùn)動軌跡.

現(xiàn)場操作，突破難點.很多教師運(yùn)用按鈕控制展開的母線，引導(dǎo)學(xué)生觀察圓錐底面展開的橢圓周長與開展的扇形弧長相等.其實對這種“暗箱”操作，大多數(shù)學(xué)生很難理解其中的原理，只能機(jī)械記憶.如果教師試著拖動點E，追蹤C(jī)E，先引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想得到展開側(cè)面，讓學(xué)生猜想螞蟻從B點跑到F點的路線，接著連接FF′，引導(dǎo)學(xué)生觀察點F與點F′的關(guān)系、B與B′的關(guān)系，容易發(fā)現(xiàn)線段BF′是螞蟻回家的最短距離.這種現(xiàn)場操作直觀生動，既突出重點，又突破難點，學(xué)生容易理解其中的原理:側(cè)面展開的扇形弧長為底面圓周長.

(責(zé)任編輯 金 鈴)