最優(yōu)化思想在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)

在數(shù)學(xué)研究中，常常是以對(duì)象的“最優(yōu)”為研究目標(biāo).如路程最短、運(yùn)費(fèi)最省、投入最少、產(chǎn)量最大、利潤(rùn)最多等.這些問(wèn)題中貫穿了一種統(tǒng)籌的數(shù)學(xué)思想——最優(yōu)的思想.它具有兩重含義，一是指所研究目標(biāo)與“最優(yōu)”有關(guān);二是指解決問(wèn)題的方法最優(yōu)化.

一、代數(shù)中的最值問(wèn)題

1.含絕對(duì)值符號(hào)函數(shù)的最值

【例1】 求函數(shù)y=|x-1|+|x+4|-5的最值.

含絕對(duì)值的函數(shù)，可先分區(qū)間討論，利用絕對(duì)值的定義和性質(zhì)消去絕對(duì)值符號(hào)，再通過(guò)函數(shù)圖象確定最值.

2.無(wú)理函數(shù)的最值

【例2】 求y=x2+1+(4-x)2+4的最小值.

無(wú)理函數(shù)的最值可以根據(jù)根式的性質(zhì)和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)來(lái)確定.更重要的是，可以用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)確定，其關(guān)鍵是如何將“數(shù)賦形意”，即將所給函數(shù)表達(dá)式化為具有一定幾何意義的代數(shù)表達(dá)式.

3.一次函數(shù)最值

【例3】 已知(x+1)2+|3-x|=4，求y=2x-1的最值.

一般情況下，一次函數(shù)的最大或最小值只能在某一線段的兩個(gè)端點(diǎn)取得.

4.二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)的最值可分為有條件(限制自變量在某一范圍內(nèi)的變動(dòng))和無(wú)條件限制兩種情況.后者可利用配方法或公式法求得.而對(duì)前者要分清拋物線頂點(diǎn)是否在自變量的范圍內(nèi)，函數(shù)是隨著自變量增大而增大還是減小，從而確定函數(shù)的最值.

【例4】 如圖1所示，拋物線開(kāi)口向下，與x軸交于原點(diǎn)O與點(diǎn)A，頂點(diǎn)為P，△APO是一個(gè)面積為1的等腰直角三角形.

(1)求以此拋物線為圖象的二次函數(shù)的解析式與點(diǎn)P的坐標(biāo);

圖1

(2)求此二次函數(shù)在12≤x≤32條件下的最大值與最小值.

在某一限制條件下，最值與拋物線開(kāi)口方向有關(guān)且與頂點(diǎn)是否正好處在限制條件內(nèi)有關(guān).

二、平面幾何中的最值問(wèn)題

1.黃金分割

黃金分割(點(diǎn))作為優(yōu)化方法中一維尋優(yōu)(0.618法)的基礎(chǔ)，也是中學(xué)數(shù)學(xué)與最優(yōu)化思想相關(guān)的一個(gè)極重要的內(nèi)容.

2.線段最值

在平面幾何問(wèn)題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，常有求某幾何量(如線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)等)的最大值或最小值問(wèn)題.

【例5】 在直線L外有兩點(diǎn)A、B，請(qǐng)?jiān)谥本€L上找C，使C到A、B兩個(gè)點(diǎn)的距離之和最短.

3.面積最值

圖2

【例6】 如圖2，已知在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，截取AE=BF=DG=x，AB=6，CD=3，AD=4，求:

(1)四邊形CGEF的面積S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式和x的取值范圍;

(2)面積S是否存在最小值，若存在，求其最小值;若不存在，說(shuō)明理由.

本題利用面積關(guān)系建立關(guān)于S的等式，從而求得S與x之間的函數(shù)關(guān)系式.函數(shù)關(guān)系式建立后運(yùn)用函數(shù)最小值的求法得到問(wèn)題的解.

三、在生活中的應(yīng)用

在生產(chǎn)實(shí)踐中常常碰到有資源配置優(yōu)化的問(wèn)題，即以最少的資源獲得最大的效益的問(wèn)題.

【例7】 甘南素以“蘋果之鄉(xiāng)”著稱，某鄉(xiāng)組織20輛汽車裝運(yùn)A、B、C三種蘋果

42噸到外地銷售.按規(guī)定每輛車只裝同一種蘋果，且必須裝滿，每種蘋果不少于2車.

(1)設(shè)有x輛車裝運(yùn)A種蘋果，用y輛車裝運(yùn)B種蘋果，根據(jù)下表提供的信息求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求的取值范圍;

(2)設(shè)此外銷活動(dòng)的利潤(rùn)為W(百元)，求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及最大利潤(rùn)，并安排相應(yīng)的車輛分配方案.

解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是尋求函數(shù)關(guān)系式或列出相關(guān)不等式組.這里自變量多于一個(gè)的函數(shù)，稱為多元函數(shù).一旦得到函數(shù)關(guān)系式或不等式即可用前述代數(shù)最值問(wèn)題的解法求解.

由此可見(jiàn)最優(yōu)化思想在生產(chǎn)管理、工程技術(shù)、軍事作戰(zhàn)、科學(xué)實(shí)驗(yàn)及財(cái)政經(jīng)濟(jì)中都有著極為廣泛的應(yīng)用.

(責(zé)任編輯 金 鈴)