淺析用向量法解立體幾何問題

立體幾何在每年的高考中都占有一定的分量，一般來說，用幾何法和空間向量法都可以求解，但用幾何法需要有較強的空間想象力和邏輯推理能力，學生往往由于這些能力的不足導致解題困難.而利用空間向量解決立體幾何問題，可使空間結構問題代數化，有利于學生克服空間想象力的障礙和空間作圖的困難，減少復雜的空間結構分析，使思路簡捷，方法清晰，運算直接，從而迅速準確地解決問題.那么，如何運用向量解立體幾何題呢?下面，就本人總結的一些經驗，談談具體的做法.

一、方法步驟

1.建立適當的空間直角坐標系

建立適當的空間直角坐標系，使坐標簡單，計算方便是解題的關鍵.

2.求平面的法向量

垂直于平面的任一向量都可作為平面的法向量，若圖中已有向量垂直于平面，則可直接利用這個向量作為平面的法向量，若沒有現成的法向量，可這樣求:取平面內的兩條相交直線a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，設平面的法向量為n=(x，y，z)，聯立方程組n#8226;a=0，n#8226;b=0，得x1x+y1y+z1z=0，x2x+y2y+z2z=0.因為法向量并不唯一，可隨意取一個，可令z=1，即求出x，y，從而求得法向量n.

3.用公式、規律解題

求得法向量后，利用夾角公式和空間距離公式等，我們便可進一步求解.具體思路是:若知直線a，平面α，β及它們的法向量n1，n2.(1)證線面平行，如證a∥α，則只需證a⊥n1;證面面平行，如證α∥β，則只需證n1∥n2;(2)證線面垂直，如證a⊥β，則只需證a∥n2;證面面垂直如證α⊥β，則只需證n1⊥n2;(3)求兩異面直線a，b所成角，如直線a、b所成角用公式cos〈a，b〉=a#8226;b|a||b|;求線面所成角，如直線a與平面α所成角為θ，用公式sinθ=cos〈a，n1〉=a#8226;n1|a||n1|;求面面所成角用公式

cos〈n1，n2〉=n1#8226;n2|n1||n2|，

可得它本身或它的補角.(4)求點到線、兩異面直線、點到面、線到面、面到面的距離問題基本上都可統一轉化為距離公式d=an|n|的計算(其中a表示兩幾何圖形任兩點連線向量，n指兩異面直線的公垂線向量或平面的法向量).

二、應用

【例1】 如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，

∠BCD=60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA=3.

(Ⅰ)證明:平面PBE⊥平面PAB;

(Ⅱ)求二面角A—BE—P的大小.

解:如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系.則相關各點的坐標分別是A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(32，32，0)，D(12，32，0)，P(0，0，3)，E(1，32，0).

(Ⅰ)因為BE=(0，32，0)，平面PAB的一個法向量是n0=(0，1，0)，所以BE和n0共線.

從而BE⊥平面PAB.又因為BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

(Ⅱ)易知PB=(1，0，-3)，BE=(0，32，0)，設n1=(x1，y1，z1)是平面PBE的一個法向量，

則由n1#8226;PB=0，n1#8226;BE=0，

得

x1+0×y1-3z1=0，0×x1+32y1+0×z1=0.

所以y1=0，x1=3z1.

故可取n1=(3，0，1)，而平面ABE的一個法向量是n2=(0，0，1).

于是，cos〈n1，n2〉=n1#8226;n2|n1||n2|=12.故二面角A-BE-P的大小為60°.

總之，用傳統的幾何方法解立體幾何問題往往需要較強的空間想象力，在解決角度、距離問題時技巧性較強，一旦思路受阻就只能放棄，但用空間向量法解立體幾何題完全可以彌補空間邏輯思維的不足，雖然有時計算較繁，但都有規可循，其顯著優點是減弱了推理論證的成分，用計算來代替論證，減少復雜的空間結構分析，實現了抽象思維向形象思維的轉化.毫不夸張地說，向量法不愧是解決復雜立體幾何問題的一個法寶.

(責任編輯 金 鈴)