平面曲線曲率新講

曲率、曲率圓對進一步學習數學和應用數學知識解決實際應用問題來說是一個十分重要的概念.一般數學教材中對其概念的引入與計算公式的推導都采取了先介紹弧微分，然后通過單位弧段上切線轉過的角度，即平均曲率的方式給出了定義，并相應地通過極限的方法推導出曲率的計算公式.這樣的教學過程對學生來說相對比較抽象，難以理解.并且在引入弧微分內容以后，在相當一段時間的教學過程中很少使用，使得教學效果不盡理想.針對這種情況，在教學改革實踐中，我們采取了通過取曲線上鄰近的不在同一直線上的三點所確定圓的方式引入曲率的定義，并通過求極限得出曲率半徑的計算公式.

圖1

從圖1中可以看到，對于y=f(x)確定的曲線上一點A(x，f(x))，在其鄰近位置取另外兩點B(x-t，f(x-t))、C(x+t，f(x+t))，則通過三點確定的圓的半徑的大小(圓的大小)可以近似地反映出曲線在該位置的彎曲程度.通過給定具體函數，用數學軟件Mathematica創建動畫，直觀反映出在曲線彎曲程度越小的位置對應的圓的半徑越大，而曲線的彎曲程度越大的位置對應圓的半徑越小.

當t→0時，則B、C趨于點A，則得到反映曲線在點A位置曲線彎曲程度的圓.對于這樣的圓我們稱為曲線在點A的曲率圓，由此得到的半徑稱之為曲率半徑，而稱曲率半徑的倒數為曲線在該位置的曲率.要得到反映曲線彎曲程度的曲率圓方程，關鍵就是求其半徑.

由于曲線方程已知，使用三點坐標確定一個圓的條件，設圓的方程為

(x-a)2+(y-b)2=R2，(1)

代入三點A(x，f(x))，B(x-t，f(x-t))，C(x+t，f(x+t))的坐標，通過Mathematica軟件解方程組.由于半徑R>0，所以有:

R=12(t2+(f(x)-f(x-t))2)(t2+(f(x)-f(x+t))2)(4t2+(f(x-t)-f(x+t))2)t2(f(x-t)-2f(x)+f(x+t))2.(2)

同時可以獲得相應的圓心坐標(a，b)的計算公式.

如果函數y=f(x)二階可導，變形(2)式:

R=12(t2+(f(x)-f(x-t))2)(t2+(f(x)-f(x+t))2)(4t2+(f(x-t)-f(x+t))2)t2(f(x-t)-2f(x)+f(x+t))2

=12(1+(f(x)-f(x-t)t)2)(1+(f(x)-f(x+t)t)2)(1+(f(x-t)-f(x+t)2t)2)(f(x-t)-f(x)t2+f(x+t)-f(x)t2)2.

取t→0的極限，得

limt→012(1+(f(x)-f(x-t)t)2)(1+(f(x)-f(x+t)t)2)(1+(f(x-t)-f(x+t)2t)2)(f(x-t)-f(x)t2+f(x+t)-f(x)t2)2

limt→012(1+(f′(x))2)3(f(x-t)-f(x)t2+f(x+t)-f(x)t2)2

limt→012(1+(f′(x))2)3(f′(x+t)-f′(x-t)2t)2=(1+(f′(x))2)3(f″(x))2=(1+y′2)3/2|y″|=R=1K.(3)

得到與教材一致的曲率半徑計算公式，由此得到曲率計算公式.

而對于使用Mathematica計算得到的曲率中心坐標公式求極限比較復雜.通過分析采取以上求極限方式得到曲率半徑與曲率的過程可以知道，曲率圓與曲線都通過點(x，f(x))，并且在該位置具有相同的切線，所以曲率半徑與該點的切線垂直.因此有

y′#8226;y-bx-a=-1，即x-a=-y′(y-b). (4)

將(3)、(4)代入(1)，得

(y-b)2=[1+y′2y″]2.(5)

從圖1中可以看出，當曲線上凸的時候，y-b>0，此時y″<0;曲線下凹的時候，y-b<0，此時y″>0.即y-b與y″始終異號，所以由(5)式有

b=y+1+y′2y″.(6)

由(4)、(5)兩式可得

a=x-y′(1+y′2)y″.(7)

借助數學軟件Mathematica，學生只需要有中學所學的微積分基礎知識，通過直觀的演示與淺顯易懂的教學過程，既避免了對弧微分的引入不適時性，也讓學生更容易接受和掌握.同時也加強了學生將導數定義應用于求極限與函數的二階導數與對應的曲線圖形凹凸性的關系理解，能夠起到比較理想的教學效果.

(責任編輯 金 鈴)