線性代數(shù)中的不變量

[摘要]本文從實(shí)際教學(xué)出發(fā)，嘗試從不變量的角度來(lái)學(xué)習(xí)線性代數(shù)，并討論了一些基本的不變量。

[關(guān)鍵詞]線性代數(shù) 不變量

線性代數(shù)作為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的重要基礎(chǔ)課之一，其基本思想和方法會(huì)延伸至后續(xù)的許多課程，因此學(xué)好線性代數(shù)是很有必要的。與數(shù)學(xué)分析相比較而言，線性代數(shù)的內(nèi)容抽象，尤其對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)常常難以理解。那么如何在實(shí)際教學(xué)中取得理想的教學(xué)效果，是任課老師應(yīng)該關(guān)注的重點(diǎn)。在教學(xué)過(guò)程中我們應(yīng)注意從不變量的角度來(lái)看待線性代數(shù)，一方面讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的基本思想，另一方面有助于加深學(xué)生對(duì)整個(gè)內(nèi)容的理解。

提起不變量這個(gè)詞，其實(shí)大家并不陌生，從小學(xué)開(kāi)始我們就已經(jīng)接觸過(guò)不變量的概念了，如我們所熟悉的分?jǐn)?shù)表示1/2、2/4爭(zhēng)，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)表示形式不同，但是實(shí)際上是相等的，那么數(shù)值就是一個(gè)不變量。這是不變量的一個(gè)極簡(jiǎn)單的例子。說(shuō)到不變量，不得不提到數(shù)學(xué)對(duì)象的分類(lèi)問(wèn)題。數(shù)學(xué)對(duì)象可謂種類(lèi)繁多，對(duì)其進(jìn)行分類(lèi)可以說(shuō)是數(shù)學(xué)的一個(gè)核心問(wèn)題，一個(gè)基本的方法就是不變量方法。所謂的不變量，就是在考慮的對(duì)象在某種變換或作用下保持不變的量，不變量取得好，那么得到的分類(lèi)也就好。換句話說(shuō)，分類(lèi)問(wèn)題可以大部分地歸結(jié)為不變量的尋找問(wèn)題。本文即從分類(lèi)的角度出發(fā)，討論線性代數(shù)中的不變量。先簡(jiǎn)單敘述一下分類(lèi)問(wèn)題的基本模式：設(shè)x={x1，x2，x3LL}是一個(gè)集合，在該集合上定義了一個(gè)作用，如果xgi=xi，則稱(chēng)屬于同一個(gè)分類(lèi)，我們需要解決的問(wèn)題是，任給兩個(gè)元素是否屬于同一類(lèi)?線性代數(shù)的主要研究對(duì)象是矩陣，我們關(guān)心的就是矩陣的分類(lèi)問(wèn)題，下面我們來(lái)逐一敘述。

一、矩陣的秩

矩陣的秩是一個(gè)重要概念，那么我們?nèi)绾螐牟蛔兞康慕嵌葋?lái)看待矩陣的秩呢?按照上述分類(lèi)問(wèn)題的基本模式，我們?cè)O(shè)X=Mman(￡)表示復(fù)數(shù)域上的man矩陣全體，而定義g：X→X為對(duì)X中的矩陣做初等行變化和初等列變化，我們來(lái)考慮在此作用下的分類(lèi)問(wèn)題。根據(jù)線性代數(shù)的知識(shí)我們知道，矩陣A，B∈X，且Ag=B，當(dāng)且僅當(dāng)A與B的秩相等，換句話說(shuō)，矩陣的秩就是一類(lèi)不變量。值得一提的是，這里A，B是否屬于同一個(gè)分類(lèi)完全由矩陣的秩決定，我們稱(chēng)這樣的不變量為完全不變量。

二、實(shí)二次型的慣性指數(shù)

對(duì)于實(shí)二次型，我們知道可以用矩陣的觀點(diǎn)來(lái)研究它，二次型的非退化線性替換，就對(duì)應(yīng)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的合同變換。我們?cè)O(shè)X表示實(shí)數(shù)域i上的n級(jí)對(duì)稱(chēng)矩陣全體，g：X→X表示對(duì)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣做合同變換。我們知道任何一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣都合同于如下形式的矩陣

其中K，L分別稱(chēng)為正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)，換句話說(shuō)，這里數(shù)對(duì)(K，L)就是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣在合同變換下的不變量，且為完全不變量。

三、矩陣的特征多項(xiàng)式與極小多項(xiàng)式

矩陣的特征多項(xiàng)式和極小多項(xiàng)式是矩陣的重要概念。這里集合X表示復(fù)數(shù)域上的n階方陣全體，集合X上的作用g：X→X定義為對(duì)X中的元素做相似變換。矩陣A，8∈X是否屬于同一個(gè)分類(lèi)即A，B是否相似?很顯然如果A，B是相似的，那么二者有相同的特征多項(xiàng)式與極小多項(xiàng)式，但反之則不然，換句話說(shuō)，這里特征多項(xiàng)式與極小多項(xiàng)式并非完全的不變量。

四、行列式因子，不變因子，初等因子

這里我們繼續(xù)討論矩陣的相似分類(lèi)問(wèn)題。上面我們提到矩陣的特征多項(xiàng)式和極小多項(xiàng)式

不是矩陣相似的完全不變量，那么我們能否像一和二那樣找到矩陣相似的完全不變量呢?答案是肯定的，行列式因子、不變因子和初等因子都是復(fù)矩陣的相似完全不變量。并且根據(jù)矩陣的初等因子，我們可以完全的定出矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形，即Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。需要指出來(lái)的是，不變量尤其是完全不變量的尋找是一項(xiàng)非常困難的工作，很多情況下我們只要能找到不變量就很不錯(cuò)了。

五、結(jié)束語(yǔ)

上面我們簡(jiǎn)列了四種不變量，雖然只有四種，但是卻已經(jīng)涵蓋了線性代數(shù)中的大部分內(nèi)容。課堂實(shí)踐表明，這樣的做法是有一定效果的，特別是對(duì)平時(shí)學(xué)得比較好的同學(xué)來(lái)說(shuō)，這種做法能讓他們對(duì)整個(gè)線性代數(shù)的內(nèi)容有更為深刻的認(rèn)識(shí)。