如何從問題情境中抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)

[摘要] 新課改下的新教材，打破了傳統(tǒng)教材“掐頭去尾燒中段”的知識(shí)呈現(xiàn)方式，而采用了情境教學(xué)法，即從學(xué)生熟悉的問題情境入手，要求對(duì)情境做出分析、思考、抽象、概括，從而得出一個(gè)數(shù)學(xué)的概念、定理、公式等。但是在實(shí)際的教學(xué)中，情境的創(chuàng)設(shè)有時(shí)仍流于形式，數(shù)學(xué)仍是空洞抽象的數(shù)學(xué)，以至于學(xué)生對(duì)較抽象的數(shù)學(xué)概念理解不透，造成以后的解題連連出錯(cuò)。本文想就如何從問題情境中抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)談一點(diǎn)看法。

[關(guān)鍵詞] 問題情境抽象數(shù)學(xué)本質(zhì)

新課改下的新教材，采用了情境教學(xué)法，打破了傳統(tǒng)教材“掐頭去尾燒中段”的知識(shí)呈現(xiàn)方式，即從學(xué)生熟悉的問題情境人手，要求對(duì)情境做出分析、思考、抽象、概括，從而得出一個(gè)數(shù)學(xué)的概念、定理、公式等。理論上，應(yīng)是情境創(chuàng)設(shè)討論的如火如荼，數(shù)學(xué)本質(zhì)把握的精準(zhǔn)無誤，但是在實(shí)際的教學(xué)中，情境的創(chuàng)設(shè)有時(shí)仍流于形式，情境是情境，數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)，呈現(xiàn)完情境，就給出數(shù)學(xué)，情境是真實(shí)可感的情境，數(shù)學(xué)仍是空洞抽象的數(shù)學(xué)。學(xué)生沒有親歷、沒有感悟由情境到數(shù)學(xué)的過程，或者創(chuàng)設(shè)的情境本身就與數(shù)學(xué)本質(zhì)有偏差，以至于學(xué)生對(duì)較抽象的數(shù)學(xué)概念理解不透，造成以后的解題連連出錯(cuò)。鑒于此，本文想就如何從問題情境中抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)談一點(diǎn)看法。

要從問題情境中精準(zhǔn)地抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)，應(yīng)從以下兩個(gè)方面下工夫。

一、創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境

1.問題情境及創(chuàng)設(shè)原則

數(shù)學(xué)情境是一種激發(fā)學(xué)生問題意識(shí)為價(jià)值取向的刺激性數(shù)據(jù)材料和背景信息，是從事數(shù)學(xué)活動(dòng)環(huán)境產(chǎn)生數(shù)學(xué)行為的條件。

數(shù)學(xué)問題情境創(chuàng)設(shè)的原則有兩條：一個(gè)是與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)有關(guān)，適合做數(shù)學(xué)與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)之間的接口。它可以是生活中的，也可以是數(shù)學(xué)內(nèi)部的；可以是現(xiàn)代的，也可以是歷史的。總之，它應(yīng)該是學(xué)生熟悉的，并且是與數(shù)學(xué)概念相符的。另一個(gè)是能成為學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)和作出創(chuàng)新、發(fā)現(xiàn)的載體。這就要求我們認(rèn)真研究教材，查閱解讀概念的資料，搜集相關(guān)的題目，把握可能的出題方向，搞清概念的來龍去脈，即這一概念源于什么，又應(yīng)用于哪里。也就是說問題情境不僅僅是熟知的東西，而更在與它對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的承載。

在引人集合的概念時(shí)，課本上創(chuàng)設(shè)了這樣的情境：“藍(lán)藍(lán)的天空中，一群鳥在歡快地飛翔；茫茫的草原上，一群羊在悠閑地走動(dòng)；清澈的湖水里，一群魚在自由地游泳。”這樣的情境熟悉而優(yōu)美，不僅一下就激起學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望，更在于這里的“鳥群”、“羊群”、“魚群”都是“同一類對(duì)象匯集在一起”，承載了“集合”這一概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)。在引入導(dǎo)數(shù)的概念時(shí)，章節(jié)前的圖片展示了游樂場(chǎng)過山車的運(yùn)動(dòng)情境，好玩、刺激，一下就抓住了學(xué)生的注意力，而且，其中位移的變化、速度的變化、曲線的上升與下降等都蘊(yùn)涵了以變化與運(yùn)動(dòng)為立意的導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)，這樣的問題情境可謂創(chuàng)設(shè)得十分巧妙。

2.問題情境的作用

一個(gè)好的問題情境對(duì)于理解新的數(shù)學(xué)概念、形成新的數(shù)學(xué)原理、產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)公式及蘊(yùn)含新的數(shù)學(xué)思想會(huì)有積極的促進(jìn)作用；它能夠充分調(diào)動(dòng)起學(xué)生原有的生活經(jīng)驗(yàn)或數(shù)學(xué)背景，更能激發(fā)起由情境引起的數(shù)學(xué)意義的思考，從而讓學(xué)生有機(jī)會(huì)經(jīng)歷“問題情境——建立模型——解釋或應(yīng)用”這一重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程。一個(gè)比較好的數(shù)學(xué)問題情境還應(yīng)該具有衍生性，也就是通過這個(gè)情境能夠產(chǎn)生一連串、環(huán)環(huán)相扣、由淺人深的問題，這就是說好的問題情境并非開場(chǎng)鑼鼓，而應(yīng)是戲的本身。

絕大多數(shù)的數(shù)學(xué)問題有與之匹配的情境，但是需要注意的是有些問題卻不好創(chuàng)設(shè)情境，華東師范大學(xué)的張奠宙教授說：“直到現(xiàn)在還沒有發(fā)現(xiàn)負(fù)負(fù)得正的情境例”(2006年4月7日，在《數(shù)學(xué)教育在爭(zhēng)論中前進(jìn)》)。

二、剝?nèi)ゲ煌榫车谋硐蟛町悾癸@它們共同的數(shù)學(xué)本質(zhì)

1.問題情境與數(shù)學(xué)本質(zhì)的關(guān)系

問題情境，無論是優(yōu)美迷人，還是刺激好玩，情境總歸還是情境，它只起到一個(gè)載體的作用，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念才是真正的目的。我們不能停留于各個(gè)具體的例子，特別是不能停留于學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，而應(yīng)努力幫助學(xué)生由具體實(shí)例上升到抽象的數(shù)學(xué)概念。而數(shù)學(xué)概念所反映的不只是某一特定事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類事物或現(xiàn)象在量和性的共性。

2.如何幫助學(xué)生很好地實(shí)現(xiàn)“抽象”

我們先看一個(gè)有趣的例子：一個(gè)數(shù)學(xué)家的女兒由幼兒園放學(xué)回到了家中，父親問她今天學(xué)到了什么?女兒高興地回答道：“我們今天學(xué)了‘集合’。”數(shù)學(xué)家覺得要學(xué)習(xí)這樣一個(gè)高度抽象的數(shù)學(xué)概念，女兒的年齡實(shí)在太小了。就關(guān)切地問道：“你懂嗎?”女兒肯定地回答道：“懂，一點(diǎn)也不難。”這樣抽象的概念會(huì)這樣容易懂嗎?聽了女兒的回答，作為數(shù)學(xué)家的父親仍然放心不下，因此追問道：“你們的老師是怎么教你們的?”女兒回答道：“女老師首先讓班上所有的男孩子站起來，然后告訴大家這就是男孩子的集合；然后，她又讓所有的女孩子站起來，并說這是女孩子的集合，接下來，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合等等。最后老師問全班‘大家是否都懂了?’我們說‘懂了。”’

顯然，這個(gè)老師所采用的教學(xué)方法并沒有什么問題，甚至可以說相當(dāng)不錯(cuò)。因此，父親就決定用以下的問題作為最后的檢驗(yàn)：“那么，我們是否可以將世界上所有的土豆組成一個(gè)集合?”遲疑了一會(huì)兒，女兒最終作出了這樣的回答：“不行!除非它們都能站起來!

這說明什么呢?在一組情境呈現(xiàn)之后，我們要想從情境中抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)，必須要“去情境化、去時(shí)間化和去個(gè)性化”，將比較、篩選、抽象三者與現(xiàn)實(shí)原型在一定程度上實(shí)現(xiàn)分離。

“比較出真知”。問題情境呈現(xiàn)給學(xué)生的信息是多方面的，學(xué)生在利用自己的生活經(jīng)驗(yàn)及理解力對(duì)數(shù)學(xué)概念作出一種解讀，而我們的目的是讓學(xué)生們理解并接受一個(gè)數(shù)學(xué)概念。這個(gè)小女孩從中提取了這樣的信息：“能站起來的就是集合”，說不定另外一個(gè)孩子就理解為“孩子們就是集合，而土豆不是孩子，所以不能構(gòu)成集合。”如果這位老師能接著對(duì)幾個(gè)問題情境進(jìn)行分析、比較、再舉例，去掉“站和孩子們”的差異，就不會(huì)出現(xiàn)上述情境。又如，在引入導(dǎo)數(shù)的概念時(shí)，給出了兩個(gè)具體的情境例，一個(gè)是平均速度在時(shí)間差不斷減小時(shí)逼近瞬時(shí)速度，一個(gè)是割線的斜率在距離不斷減小時(shí)逼近切線的斜率，一個(gè)是數(shù)學(xué)外部的，一個(gè)是數(shù)學(xué)內(nèi)部的，只有通過比較，剝?nèi)ニ俣群透罹€的不同，篩選出逼近的思想方法，才能抽象出導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)。在集合的教學(xué)時(shí)，情境呈現(xiàn)以后，要讓同學(xué)充分地思考、討論、比較、篩選，從而能夠去掉情景“藍(lán)藍(lán)的天空中，一群鳥在歡快地飛翔；茫茫的草原上，一群羊在悠閑地走動(dòng)；清澈的湖水里，一群魚在自由地游泳”中的優(yōu)美意境和生動(dòng)形象，抽象出“鳥群”、“羊群”、“魚群”這些在一定范圍內(nèi)確定的、不同的對(duì)象的全體。

多數(shù)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，都要借助于有效的情境深入理解概念的本質(zhì)，不能將它作為一種規(guī)則和步驟，強(qiáng)調(diào)幾個(gè)注意點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)就了事，只要學(xué)生學(xué)過某個(gè)概念，就要讓這個(gè)概念在學(xué)生的大腦里留下深刻的印象，這樣在生活中遇到相關(guān)的情境時(shí)，就能想到這一概念。只有這樣，學(xué)生才能學(xué)到有血有肉、有靈魂的數(shù)學(xué)；也只有這樣，學(xué)生才能真正地理解、掌握數(shù)學(xué)，并能自覺地去應(yīng)用數(shù)學(xué)。