如何從問題情境中抽象出數學本質

[摘要] 新課改下的新教材，打破了傳統教材“掐頭去尾燒中段”的知識呈現方式，而采用了情境教學法，即從學生熟悉的問題情境入手，要求對情境做出分析、思考、抽象、概括，從而得出一個數學的概念、定理、公式等。但是在實際的教學中，情境的創設有時仍流于形式，數學仍是空洞抽象的數學，以至于學生對較抽象的數學概念理解不透，造成以后的解題連連出錯。本文想就如何從問題情境中抽象出數學本質談一點看法。

[關鍵詞] 問題情境抽象數學本質

新課改下的新教材，采用了情境教學法，打破了傳統教材“掐頭去尾燒中段”的知識呈現方式，即從學生熟悉的問題情境人手，要求對情境做出分析、思考、抽象、概括，從而得出一個數學的概念、定理、公式等。理論上，應是情境創設討論的如火如荼，數學本質把握的精準無誤，但是在實際的教學中，情境的創設有時仍流于形式，情境是情境，數學是數學，呈現完情境，就給出數學，情境是真實可感的情境，數學仍是空洞抽象的數學。學生沒有親歷、沒有感悟由情境到數學的過程，或者創設的情境本身就與數學本質有偏差，以至于學生對較抽象的數學概念理解不透，造成以后的解題連連出錯。鑒于此，本文想就如何從問題情境中抽象出數學本質談一點看法。

要從問題情境中精準地抽象出數學本質，應從以下兩個方面下工夫。

一、創設恰當的問題情境

1.問題情境及創設原則

數學情境是一種激發學生問題意識為價值取向的刺激性數據材料和背景信息，是從事數學活動環境產生數學行為的條件。

數學問題情境創設的原則有兩條：一個是與學生的生活經驗有關，適合做數學與學生經驗之間的接口。它可以是生活中的，也可以是數學內部的；可以是現代的，也可以是歷史的。總之，它應該是學生熟悉的，并且是與數學概念相符的。另一個是能成為學生應用數學和作出創新、發現的載體。這就要求我們認真研究教材，查閱解讀概念的資料，搜集相關的題目，把握可能的出題方向，搞清概念的來龍去脈，即這一概念源于什么，又應用于哪里。也就是說問題情境不僅僅是熟知的東西，而更在與它對數學本質的承載。

在引人集合的概念時，課本上創設了這樣的情境：“藍藍的天空中，一群鳥在歡快地飛翔；茫茫的草原上，一群羊在悠閑地走動；清澈的湖水里，一群魚在自由地游泳。”這樣的情境熟悉而優美，不僅一下就激起學生學習的欲望，更在于這里的“鳥群”、“羊群”、“魚群”都是“同一類對象匯集在一起”，承載了“集合”這一概念的數學本質。在引入導數的概念時，章節前的圖片展示了游樂場過山車的運動情境，好玩、刺激，一下就抓住了學生的注意力，而且，其中位移的變化、速度的變化、曲線的上升與下降等都蘊涵了以變化與運動為立意的導數的實質，這樣的問題情境可謂創設得十分巧妙。

2.問題情境的作用

一個好的問題情境對于理解新的數學概念、形成新的數學原理、產生新的數學公式及蘊含新的數學思想會有積極的促進作用；它能夠充分調動起學生原有的生活經驗或數學背景，更能激發起由情境引起的數學意義的思考，從而讓學生有機會經歷“問題情境——建立模型——解釋或應用”這一重要的數學活動過程。一個比較好的數學問題情境還應該具有衍生性，也就是通過這個情境能夠產生一連串、環環相扣、由淺人深的問題，這就是說好的問題情境并非開場鑼鼓，而應是戲的本身。

絕大多數的數學問題有與之匹配的情境，但是需要注意的是有些問題卻不好創設情境，華東師范大學的張奠宙教授說：“直到現在還沒有發現負負得正的情境例”(2006年4月7日，在《數學教育在爭論中前進》)。

二、剝去不同情境的表象差異，凸顯它們共同的數學本質

1.問題情境與數學本質的關系

問題情境，無論是優美迷人，還是刺激好玩，情境總歸還是情境，它只起到一個載體的作用，學習數學概念才是真正的目的。我們不能停留于各個具體的例子，特別是不能停留于學生已有的知識和經驗，而應努力幫助學生由具體實例上升到抽象的數學概念。而數學概念所反映的不只是某一特定事物或現象的量性特征，而是一類事物或現象在量和性的共性。

2.如何幫助學生很好地實現“抽象”

我們先看一個有趣的例子：一個數學家的女兒由幼兒園放學回到了家中，父親問她今天學到了什么?女兒高興地回答道：“我們今天學了‘集合’。”數學家覺得要學習這樣一個高度抽象的數學概念，女兒的年齡實在太小了。就關切地問道：“你懂嗎?”女兒肯定地回答道：“懂，一點也不難。”這樣抽象的概念會這樣容易懂嗎?聽了女兒的回答，作為數學家的父親仍然放心不下，因此追問道：“你們的老師是怎么教你們的?”女兒回答道：“女老師首先讓班上所有的男孩子站起來，然后告訴大家這就是男孩子的集合；然后，她又讓所有的女孩子站起來，并說這是女孩子的集合，接下來，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合等等。最后老師問全班‘大家是否都懂了?’我們說‘懂了。”’

顯然，這個老師所采用的教學方法并沒有什么問題，甚至可以說相當不錯。因此，父親就決定用以下的問題作為最后的檢驗：“那么，我們是否可以將世界上所有的土豆組成一個集合?”遲疑了一會兒，女兒最終作出了這樣的回答：“不行!除非它們都能站起來!

這說明什么呢?在一組情境呈現之后，我們要想從情境中抽象出數學本質，必須要“去情境化、去時間化和去個性化”，將比較、篩選、抽象三者與現實原型在一定程度上實現分離。

“比較出真知”。問題情境呈現給學生的信息是多方面的，學生在利用自己的生活經驗及理解力對數學概念作出一種解讀，而我們的目的是讓學生們理解并接受一個數學概念。這個小女孩從中提取了這樣的信息：“能站起來的就是集合”，說不定另外一個孩子就理解為“孩子們就是集合，而土豆不是孩子，所以不能構成集合。”如果這位老師能接著對幾個問題情境進行分析、比較、再舉例，去掉“站和孩子們”的差異，就不會出現上述情境。又如，在引入導數的概念時，給出了兩個具體的情境例，一個是平均速度在時間差不斷減小時逼近瞬時速度，一個是割線的斜率在距離不斷減小時逼近切線的斜率，一個是數學外部的，一個是數學內部的，只有通過比較，剝去速度和割線的不同，篩選出逼近的思想方法，才能抽象出導數的實質。在集合的教學時，情境呈現以后，要讓同學充分地思考、討論、比較、篩選，從而能夠去掉情景“藍藍的天空中，一群鳥在歡快地飛翔；茫茫的草原上，一群羊在悠閑地走動；清澈的湖水里，一群魚在自由地游泳”中的優美意境和生動形象，抽象出“鳥群”、“羊群”、“魚群”這些在一定范圍內確定的、不同的對象的全體。

多數數學概念的學習，都要借助于有效的情境深入理解概念的本質，不能將它作為一種規則和步驟，強調幾個注意點、易錯點就了事，只要學生學過某個概念，就要讓這個概念在學生的大腦里留下深刻的印象，這樣在生活中遇到相關的情境時，就能想到這一概念。只有這樣，學生才能學到有血有肉、有靈魂的數學；也只有這樣，學生才能真正地理解、掌握數學，并能自覺地去應用數學。