基于上證綜指的GARCH族模型實(shí)證分析

摘要：以1997年1月11日至2009年11月27日的上證綜合指數(shù)的日度收盤數(shù)據(jù)為樣本，運(yùn)用GARCH族模型對其進(jìn)行實(shí)證分析，檢驗(yàn)了在這一段時間內(nèi)我國股票市場的波動情況以及波動的杠桿效應(yīng)，分析結(jié)果表明了上證指數(shù)對數(shù)收益率服從非正態(tài)分布，具有尖峰厚尾和明顯的ARCH效應(yīng)，并且股票的收益率具有明顯的風(fēng)險溢價和杠桿效應(yīng)。

關(guān)鍵詞：上證綜合指數(shù)；GARCH族模型；波動性；風(fēng)險溢價；杠桿效應(yīng)

一 GARCH族模型概述

本文采用的主要方法是GARCH族模型，因此，先簡要介紹一下GARCH族模型的具體形式及其相關(guān)的理論，這對與后面的研究與討論將會有很大的幫助。

（一）ARCH模型

Engle在1982年提出了ARCH模型，成為了給波動率建模提供一個系統(tǒng)框架的第一個模型，ARCH模型的基本思想是：(a)均值修正的資產(chǎn)收益率αt是前后不相關(guān)的，但不是獨(dú)立的；(b)αt的不獨(dú)立性可以用一個它的延遲值的簡單二次函數(shù)來表述。具體地說，一個ARCH(p)模型表示如下：

其中，{εt}是獨(dú)立同分布(iid)的隨機(jī)變量序列，均值和方差分別為0和1，實(shí)際中通常假定εt服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布或者標(biāo)準(zhǔn)化的學(xué)生-t分布；α0＞0，αi≥0；同時上式中的系數(shù)還必須要滿足一些正則性的條件來保證αt的無條件方差是有限的。

（二）GARCH模型

我們看到，ARCH模型是個很簡單的模型，然而，在實(shí)際應(yīng)用中，ARCH模型雖然能夠得出較為準(zhǔn)確的擬合效果，卻往往需要很多的參數(shù)。為此，Bollerslev在1986年時提出了另外一個非常有用的推廣形式，被稱為推廣的ARCH（GARCH）模型。具體地說，GARCH模型與ARCH模型的區(qū)別就是在條件均值方程中加入了條件均值的自身滯后值的影響，因而簡化了高階的ARCH模型，一個具體的GARCH模型就是在具有與ARCH模型相同的均值方程之外的條件方差方程有所不同，舉個例子，模型GARCH(p，q)的具體形式可以表示如下：

（三）GARCH-M模型

在金融市場中，證券的收益率往往會依賴于它的波動率。一般來說，證券的波動率越大的話，投資者對其期望的收益率也就會越大。因此，為了解決收益與波動之間的關(guān)系，對這種現(xiàn)象進(jìn)行建模，1987年Engle、Lilien和Robins將條件方差引入到均值方程中，提出了著名的GARCH-M模型。該模型下的均值方程做了如下的修正：

在該模型下，若建模后得到的均值方程中ψ的顯著地不等于0的話，那么就能夠說明該證券的收益率與其風(fēng)險有著顯著的關(guān)系。

（四）TGARCH模型

雖然GARCH模型很好地解決了利用ARCH模型需要較多參數(shù)的缺陷，但是它本身也存在一定的不足之處。GARCH模型不能夠解釋證券收益和收益變化波動之間出現(xiàn)的負(fù)相關(guān)的影響，因?yàn)樵贕ARCH模型中，正的波動與負(fù)的波動對模型的影響是相同的，而現(xiàn)實(shí)生活中往往是負(fù)的波動的影響要大于同樣的正的波動。對于GARCH模型所不能解釋的收益的非對稱性，我們?nèi)绻肨GARCH模型就可以很好地進(jìn)行描述。該模型是由Glosten，Jagannathan和Runkle提出來的，亦被稱為GJR-GARCH模型，它的具體表現(xiàn)形式如下：

在該模型中，如果有λ＞0顯著成立，則說明壞消息對于股價的影響要大于好消息的影響；相反，如果有λ＜0顯著的成立的話，就說明好消息對于股價的影響大于壞消息。

（五）EGARCH模型

上面的TGARCH模型解決了信息不對稱的問題，但是它卻沒有解決非負(fù)性的問題，因?yàn)槿绻赥ARGH模型中，若αi是負(fù)的而且顯著地不為0，那么當(dāng) 足夠大的時候，條件異方差的最終結(jié)果有可能會變負(fù)的。因此，為了解決這個問題，在1991年Nelson提出了另外一個新的模型，被稱為EGARCH模型，其具體形式如下： 通過EGARCH

模型，我們可以解決所謂的波動信息的非對稱效應(yīng)；同時，由于在模型的兩邊均取了對數(shù)，因此不論系數(shù)的符號以及殘差的大小，我們完全可以保證條件方差的非負(fù)性。

二 實(shí)證分析

本文選取上證綜合指數(shù)作為股市的代表進(jìn)行研究(數(shù)據(jù)來源于國信證券交易行情軟件)。數(shù)據(jù)選取從1997年1月11日開始，至2009年11月27日的收盤價，作為觀測值，并計算了對數(shù)收益率rt，其中pt為第t日股指的收盤價。數(shù)據(jù)處理采用時間序列分析軟件Eviews5. 0。各股指收益率采用自然對數(shù)收益率形式，即: rt=lnpt-lnpt-1。其中: pt是各股指每日收盤價， pt-1是前一日收盤價。

（一）上證綜合指數(shù)收益率的基本統(tǒng)計數(shù)據(jù)特征

由圖1上證綜指收益率的走勢圖可見對數(shù)收益率在0上下頻繁波動，并且我們從圖中可以看到波動率類聚的特征，即一次大的波動后往往伴隨著大的波動，一次小的波動后往往伴隨著小的波動，波動大小隨時間而不同，說明該對數(shù)收益率序列存在時變方差的特性。

在金融理論和經(jīng)驗(yàn)分析中一個常見的假設(shè)就是收益率服從正態(tài)分布，然而實(shí)際金融收益率往往服從非正態(tài)分布。圖2的統(tǒng)計量說明了這一點(diǎn)。日收益率的平均值為0.0333%，這說明從長期來看，股市還是可以給投資人帶來正的收益的。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的偏度(Skewness)應(yīng)該為0，而上證綜指收益率的偏度為-0.194，為左偏，同時，收益率峰度(Kurtosis)達(dá)到7，遠(yuǎn)大于3，表明收益率分布具有尖峰厚尾特性，從收益率的頻數(shù)分布圖也可以看出這一特性。Jarque - Bera值（2078.941）檢驗(yàn)也拒絕了上證綜合指數(shù)收益率服從正態(tài)分布的零假設(shè)。

從以上對收益率的簡單描述性統(tǒng)計量的分析中可初步得出收益率具有ARCH效應(yīng)。下面對這一效應(yīng)做深一步的檢驗(yàn)。

（二）ARCH效應(yīng)的檢驗(yàn)

在對收益率序列進(jìn)行ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)之前，首先應(yīng)該對該序列做平穩(wěn)性檢驗(yàn)，如果是非平穩(wěn)性序列，則需要對其進(jìn)行平穩(wěn)化的處理。我們對rt進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，結(jié)果如下圖3所示：

從圖3中可以看出，ADF=-55.00962，小于不同檢驗(yàn)水平下的臨界值，所以我們可以認(rèn)定收益率序列rt是平穩(wěn)性序列。在確定該序列是平穩(wěn)時間序列之后，接下來對序列進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，結(jié)果如圖4：

通過圖4中自相關(guān)和偏自相關(guān)滯后1階到12階的分析，根據(jù)表中Q統(tǒng)計量的值并結(jié)合Q統(tǒng)計量的伴隨概率可以看出，該序列從3階開始零假設(shè)（序列不存在自相關(guān)）被以5%的顯著性拒絕，表明上證指數(shù)的對數(shù)收益率存在自相關(guān)。且與滯后3階，4階，12階的相關(guān)系數(shù)較大。所以我們建立均值方程模型為:

由上可見，常數(shù)c不顯著，從而建立均值方程為:

，再用最小二乘法進(jìn)行回歸，回歸結(jié)果如圖6所示。

各系數(shù)都顯著異于0，現(xiàn)對回歸結(jié)果的殘差序列進(jìn)行ARCH檢驗(yàn)，經(jīng)過多次試驗(yàn)后確定滯后階數(shù)為4，結(jié)果如圖7所示。

由ARCH檢驗(yàn)中的F統(tǒng)計量為41.48與LM統(tǒng)計量為157.63所對應(yīng)的概率小于0.05可得出，殘差的平方序列存在4階自相關(guān)，即存在ARCH效應(yīng)。綜上分析可得出對于上證綜指對數(shù)收益率可考慮用ARCH模型族來進(jìn)行擬合。

（三）GARCH模型的實(shí)證分析

1 建立ARCH（4）模型

由F統(tǒng)計量（0.559）和LM統(tǒng)計量（0.559）所對應(yīng)的概率大于0.1，表明已沒有了ARCH效應(yīng)。ARCH（4）模型能夠消除條件異方差的，是較好擬合的。但方差方程中階數(shù)較高，為4，可以考慮建立GARCH(1，1)模型。

2 建立GRACH（1，1）模型，回歸結(jié)果如下

各參數(shù)都是較顯著的。AIC與SC統(tǒng)計量分別為-5.501823與-5.493961，說明擬合效果是較顯著的。GARCH模型說明了波動的聚類性，即較大的波動后往往跟著較大的波動，較小的波動后往往跟著較小的波動，這從GARCH模型的方差方程中也可以看出，即期方差與前期方差的回歸系數(shù)(GARCH(-1)系數(shù))顯著不為零，為0.871792，表明前期的波動對即期的波動是有較大影響的，也就是波動的聚類性與持續(xù)性（值較大表明影響持續(xù)較長）。

3 建立GARCH-M模型

GARCH-M模型中各系數(shù)都是顯著的，AIC與SC統(tǒng)計量分別為-5.502566與-5.492738，模型擬合較好。GARCH-M模型中的均值方程中的ψ系數(shù)為0.035108，說明收益率有正的風(fēng)險溢價，表明市場中的風(fēng)險增加1個點(diǎn)時，收益率也相應(yīng)增加0.035個點(diǎn)，跟現(xiàn)實(shí)中的情況一致，收益與風(fēng)險總是相伴的。

4 建立TGARCH模型

各系數(shù)顯著，且AIC與SC統(tǒng)計量分別為-5.507769與-5.497941，擬合效果顯著。從TGARCH的回歸結(jié)果的方差方程中可看出，利空消息（RESID(-1)<0）對市場的沖擊為0.084206+0.065600，利好消息（RESID(-1)>0）對市場的沖擊為0.084206，即利空消息比利好消息有更大的影響，這就是市場消息對波動性的非對稱性影響。這一點(diǎn)也是跟上證綜指的表現(xiàn)一致的。

5 建立EGARCH模型

均值方程的系數(shù)在10%的顯著性水平下顯著。方差方程各系數(shù)都較顯著。AIC與SC統(tǒng)計量分別為-5.519432與-5.509604。擬合效果較好。從EGARCH模型的方差方程中也可得出消息對市場波動的非對稱性影響。且利空消息比利好消息對市場的波動有更大的影響。利空消息的沖擊為C(3)-C(4)，利好消息對市場的沖出為C(3)+C(4)。

6 四種模型的比較

從這四種模型的AIC和SC統(tǒng)計量看，這四種模型擬合的都是比較好的，且各參數(shù)大致一致，這說明應(yīng)用GARCH族模型對上證綜指對數(shù)收益率的擬合效果是較好的。

三 結(jié)論

本文通過GARCH族模型對上海證券市場的上證指數(shù)進(jìn)行分析研究，得出以下一些結(jié)論：

（一）我國股票市場的收益率也是服從非正態(tài)分布的，具有一定的尖峰厚尾的特征，并有很強(qiáng)的波動集聚性和持續(xù)性。同時我國股市股價的波動確實(shí)存在較為顯著的ARCH效應(yīng)，因而GARCH族模型適合于擬合我國股市的日收益率序列。

（二）股票的收益率與風(fēng)險存在明顯的正相關(guān)，存在明顯的風(fēng)險溢價，也就是說，股市的風(fēng)險越大，人們對于投資所要求的報酬也就越大，這從本文中的GARCH-M模型中可以得到驗(yàn)證。因此，當(dāng)股市處于波動較大的時候，政府更加要注重保護(hù)投資者的利益。

（三）上海股票市場上確實(shí)存在信息不對稱的現(xiàn)象（從TGARCH與EGARCH模型中可以得出），即壞消息對股市波動的影響與好消息的影響不同，壞消息的影響明顯要大于好消息的影響，這與大量的國際經(jīng)驗(yàn)是相同的。同時也說明了我國股票市場還不太成熟，主要是過多地依賴行政措施的干預(yù)而不是市場化的調(diào)節(jié)手段。

（四）最后，上海股票市場的波動性持續(xù)的時間較長（從GARCH模型的GARCH（-1）系數(shù)為0.871792可以得出），說明了當(dāng)證券收益率受到宏觀政策、國際局勢等因素影響出現(xiàn)異常波動后，需要很長時間才能夠消除影響。管理當(dāng)局在出臺政策時應(yīng)更加穩(wěn)健，對市場的調(diào)控也更應(yīng)從長遠(yuǎn)的角度考慮，把握好政策的調(diào)整力度。

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（作者單位：廣東商學(xué)院 經(jīng)濟(jì)貿(mào)易與統(tǒng)計學(xué)院）