賞析中考試題,反思課堂教學(xué)

一、題目

(2010年徐州市中考數(shù)學(xué)試卷第26題)如圖①，梯形ABCD中，∠C=90°。動(dòng)點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)E沿折線BA—AD—DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度都是1cm/s。設(shè)E、F出發(fā)t(s)時(shí)，△EBF的面積為y(cm2)。已知y與t的函數(shù)圖像如圖②所示，其中曲線OM為拋物線的一部分，MN、NP為線段。請(qǐng)根據(jù)圖中的信息，解答下列問(wèn)題:(1)梯形上底的長(zhǎng)AD=cm，梯形ABCD的面積cm2;(2)當(dāng)點(diǎn)E在BA、DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別求出y與t的函數(shù)關(guān)系式(注明自變量的取值范圍);(3)當(dāng)t為何值時(shí)，△EBF與梯形ABCD的面積之比為1∶2。

二、評(píng)價(jià)與賞析

(一)從試題的邏輯結(jié)構(gòu)看

試題以學(xué)生熟悉的直角梯形為依托，以動(dòng)態(tài)問(wèn)題為情境，綜合平行線性質(zhì)、三角形面積、梯形面積的計(jì)算與圖形面積之關(guān)系，并把一次函數(shù)、二次函數(shù)知識(shí)包含其中，從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)出發(fā)，認(rèn)識(shí)變化著的面積與相應(yīng)的函數(shù)圖像之間的對(duì)應(yīng)性，以及函數(shù)性質(zhì)在所反映的實(shí)際問(wèn)題中的變化規(guī)律。試題融合了代數(shù)與幾何、運(yùn)動(dòng)與靜止、函數(shù)與圖像的聯(lián)系，形成了較好的內(nèi)容邏輯結(jié)構(gòu)。

(二)試題的“三度”看

試題的“三度”是指效度、信度和區(qū)分度。一道好試題應(yīng)當(dāng)使考查結(jié)果有較好的效度、較高的信度和較強(qiáng)的區(qū)分度。試題考查結(jié)果設(shè)置了三個(gè)問(wèn)題:第(1)問(wèn)是求梯形上底AD的長(zhǎng)和梯形ABCD的面積。要求學(xué)生從變化著的面積與相應(yīng)的函數(shù)圖像的對(duì)應(yīng)性，確定梯形的上底、下底和高，進(jìn)而求出梯形的面積。依據(jù)結(jié)果可以準(zhǔn)確判斷學(xué)生是否真正理解函數(shù)圖像與實(shí)際問(wèn)題的對(duì)應(yīng)關(guān)系和變化規(guī)律，從而保證試題的效度。第(2)、(3)兩問(wèn)是解答題，確定y與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)y是定值時(shí)對(duì)應(yīng)t的取值。依據(jù)學(xué)生解答的結(jié)果，教師不但可以準(zhǔn)確判斷學(xué)生是否掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的求法，而且可以判斷學(xué)生對(duì)重要的數(shù)學(xué)思想方法(如:數(shù)形結(jié)合思想方法、分類討論思想方法)和實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍與函數(shù)圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系的掌握應(yīng)用情況，從而保證了試題的信度。試題根據(jù)由易到難的原則，設(shè)置的3個(gè)問(wèn)題層層遞進(jìn)。第(1)問(wèn)填空要求讀懂題意，利用變化著的面積與相應(yīng)的函數(shù)圖像之間的對(duì)應(yīng)性得出結(jié)論，得2分。第(2)問(wèn)能求出曲線OM所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式，得4分;能求出線段NP對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式，并正確寫出自變量t的取值范圍，得6分。第(3)問(wèn)能用分類思想繼續(xù)思考在不同的區(qū)間、應(yīng)用不同的函數(shù)關(guān)系式求出t的值，得8分。按此評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，題目把中等以上考生的水平分別用分值2、4、6、8加以表示，不僅完成了區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的考生任務(wù)，而且支持全卷對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)中等考生的區(qū)分，所以本題有較強(qiáng)的區(qū)分度。

(三)從試題的“兩性”來(lái)看

試題“兩性”是指:可推廣性和教育性。本題是以相關(guān)的幾何知識(shí)為背景，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以函數(shù)圖像為基礎(chǔ)，反過(guò)來(lái)探究生成它的圖形面積在變化過(guò)程中的函數(shù)解析式，在一定程度上加大了考查變化著的圖形面積與相應(yīng)函數(shù)圖像之間的對(duì)應(yīng)性，以及函數(shù)的圖像和性質(zhì)在所反映的實(shí)際問(wèn)題中的變化規(guī)律的力度，更有效考查了學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法(如分類思想)，以及數(shù)學(xué)思考方法(如動(dòng)中求靜)，這樣使試題不僅有很好的效度和信度，而且有極好的可推廣性。本題從動(dòng)態(tài)問(wèn)題研究出發(fā)，解答過(guò)程需要綜合運(yùn)用代數(shù)、幾何的知識(shí)方法，切實(shí)考查了學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)與基本能力，有助于引導(dǎo)教師在教學(xué)中夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法，有助于鼓勵(lì)學(xué)生自主探索和養(yǎng)成獨(dú)立思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣，有助于促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的發(fā)展，故而對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有一定的教育作用。

三、教學(xué)反思

(一)培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力

本題以“動(dòng)態(tài)問(wèn)題”為情境，展現(xiàn)變化的△EBF的面積y與t的函數(shù)圖像，讓學(xué)生根據(jù)圖中的信息解答三個(gè)問(wèn)題。從問(wèn)題(1)來(lái)看，要想求出梯形上底AD的長(zhǎng)和梯形ABCD的面積，就必須要求學(xué)生能根據(jù)圖像信息去發(fā)現(xiàn):①當(dāng)t=5s時(shí)，動(dòng)點(diǎn)E、F分別到達(dá)定點(diǎn)A、C，當(dāng)t=7s時(shí)，動(dòng)點(diǎn)E到達(dá)定點(diǎn)D，而動(dòng)點(diǎn)F則停止在C點(diǎn)2s，從而B(niǎo)A=BC=5，AD=2。②當(dāng)t=5s時(shí)，△EBF的面積y=10cm2。也即△ABC的面積為10cm2。從而△ABC的高AH即梯形的高DC為4cm。由此可以求出梯形ABCD的面積為14cm2。從本題的考查中可以看出培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力的重要性。自主探究是學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)中的一種最基本的活動(dòng)方式，美國(guó)數(shù)學(xué)教育家波利亞指出:“學(xué)習(xí)任何東西，最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)。”由此看來(lái)，有效的教學(xué)活動(dòng)并不能依賴教師的教與學(xué)生的被動(dòng)接受，教師要給學(xué)生創(chuàng)設(shè)良好的“問(wèn)題情境”，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口在學(xué)習(xí)活動(dòng)中主動(dòng)探究問(wèn)題，尋求解決問(wèn)題的方法，教師不能把自己的觀點(diǎn)和方法直接拋給學(xué)生，要給學(xué)生提供自主探究的機(jī)會(huì)和充分展示自己的時(shí)間和空間，讓學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)、獲取經(jīng)驗(yàn)，這樣學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力才能得到提高和發(fā)展。

(二)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力

從問(wèn)題(2)來(lái)看，“當(dāng)點(diǎn)E在BA、DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別求出y與t的函數(shù)關(guān)系式(注明自變量的取值范圍)”。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給出用“相似法”和“面積法”求這兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式的過(guò)程，我在批改評(píng)卷時(shí)發(fā)現(xiàn)有很多考生用常規(guī)的方法(即待定系數(shù)法)求這兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式，求解過(guò)程如下:

解(2):①當(dāng)點(diǎn)E在BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)圖中的信息，可設(shè)拋物線為y=at2。此時(shí)0≤t≤5。因?yàn)辄c(diǎn)M(5，10)在拋物線上，所以52a=10。解之得a=，故y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=t2。②當(dāng)點(diǎn)E在DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)7≤t≤11。因?yàn)镹P為線段，所以可設(shè)y=kt+b，因?yàn)辄c(diǎn)N(7，10)、點(diǎn)P(11，0)在線段NP上，所以7k+b=1011k+b=0，解之得k=-b=。故y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=-t+。

本題解題方法靈活，但是第(1)問(wèn)條件不能確定拋物線的頂點(diǎn)一定是原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，雖然用待定系數(shù)法求出解析式結(jié)果也是y=t2，只是一種巧合。所以本題既考查了學(xué)生必須掌握的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，又考查了學(xué)生在“解決問(wèn)題”時(shí)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，體現(xiàn)了新課標(biāo)對(duì)“發(fā)展學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神”的要求。因此，教師在教學(xué)中，要抓實(shí)“雙基”訓(xùn)練，夯實(shí)基礎(chǔ)，這是發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新思維能力的前提;在“解決問(wèn)題”時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上拓展思路，發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，找到新方法，能夠靈活、合理地選擇方法解決問(wèn)題，這是發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新思維能力的重要環(huán)節(jié);在學(xué)生學(xué)習(xí)困難或思維障礙時(shí)，教師及時(shí)給予啟發(fā)、點(diǎn)撥，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試從不同角度尋求解決問(wèn)題的方法，使學(xué)生的思維順暢，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維的形成，這是激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維的有效動(dòng)力。

(三)培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力

問(wèn)題(3):“當(dāng)t為何值時(shí)，△EBF的面積與梯形ABCD的面積之比為1∶2。”學(xué)生能在(1)、(2)的基礎(chǔ)上，用分類思想繼續(xù)思考在不同的區(qū)間、應(yīng)用不同的函數(shù)關(guān)系式求出t的值，切實(shí)考查了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。新課標(biāo)要求學(xué)生:“面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能主動(dòng)嘗試從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和方法尋求解決問(wèn)題的策略。”本題從動(dòng)態(tài)的實(shí)際問(wèn)題研究出發(fā)，綜合運(yùn)用代數(shù)、幾何的知識(shí)和方法，考查學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，符合新課標(biāo)的要求。因此，教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生從不同角度發(fā)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題中所包含的數(shù)學(xué)信息，獲得解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)和方法，提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，要通過(guò)“數(shù)學(xué)活動(dòng)”鼓勵(lì)學(xué)生自主探究與合作交流;在自主探索時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生在已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，面對(duì)綜合應(yīng)用問(wèn)題，能主動(dòng)尋找實(shí)際背景和已知信息，主動(dòng)嘗試從數(shù)學(xué)的角度尋求解決問(wèn)題的策略;在合作交流時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)與他人合作，積極參與對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論，敢于發(fā)表自己的觀點(diǎn)，敢于質(zhì)疑和認(rèn)同他人的見(jiàn)解，從交流中獲益;在學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)困難時(shí)，教師要及時(shí)給予點(diǎn)撥，使學(xué)生獲得正確的思考方法，形成正確的解題思路。這樣，學(xué)生才能真正理解和掌握所學(xué)的知識(shí)和方法，學(xué)生的綜合應(yīng)用能力才能得到提高和發(fā)展。

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