淺析數學教學中的“猜想”

摘 要: 豐富學生的學習方式、改進學生的學習方法是數學教學追求的基本理念，學生的數學學習活動不應只限于對概念、結論和技能的記憶，而應以提高數學學習能力為主。猜想教學是培養學生數學學習能力的一個有效途徑。在數學領域中，猜想是合理的，是值得尊重的，是負責任的態度。本文對數學猜想中常用的類比性猜想、歸納性猜想與數學猜想在教學中的作用進行了討論。

關鍵詞: 數學教學 數學猜想 猜想策略 作用

人類絕大多數知識的發現都源于猜想。新大陸的發現源于當時人們對“地圓說”的猜想;牛頓萬有引力的發現源于他對于蘋果落地后產生的一連串的猜想;當今世界人類對于宇宙的深入了解和研究，也源于對外太空間的種種猜想。不僅如此，嚴密的數學定理的發現也可以經過合理猜想這一非邏輯手段而得到，如費馬猜想、哥德巴赫猜想、歐拉猜想、黎曼猜想、四色猜想等。這些猜想有的被推翻或部分被推翻，有的被證實或部分被證實，都在研究的過程中產生了許多富有成效的新成果和新方法。有的尚未被證實也未被推翻，或有的在證實的過程中還存在疑惑，但仍在激勵著人們為之奮斗。由此可見，猜想是一種重要的思維方法，是創新、創造的前奏。

何為數學猜想呢?數學猜想是人的思維在探索數學規律、本質時的一種策略，它是建立在已有的事實經驗基礎上以已有的數學理論和方法為指導運用非邏輯手段對未知的量及其關系所作的一種預測性推斷。數學方法理論的倡導者G.波利亞說過:在數學領域中猜想是合理的，值得尊重的，是負責任的態度，他認為有些情況下教猜想比教證明更重要。因此，我認為在數學教學中，要重視猜想，數學猜想能縮短解決問題的時間，使學生獲得更多的數學發現的機會，鍛煉學生的數學思維，并且運用猜想可以營造學習氛圍，激起學生飽滿的熱情和積極的思維，培養學生克服困難的堅強意志，自始至終地主動參與、體會數學知識的探索過程。

下面我就數學猜想在教學實踐中的運用談一些理解與認識。

一、數學中常見的兩類猜想策略

1.類比性猜想

類比性猜想是指運用類比的方法，通過比較兩個對象或問題的相似性——部分相同或整體類似，得出數學概念的新命題或新方法的猜想方法，是一種從特殊到特殊的推理方法。在解決數學問題時，無論是對于命題本身還是解題思路方法，類比都是產生猜測，獲得命題的推廣和引申的原動力。

案例1:由已知命題:“若a、a、b、b∈R，且<，則<<。”

類比猜想出新命題:“若a、b∈R(i=1，2，…，n)且<<…<，則<<。”

案例2:由已知命題:“若級數u收斂，則必有當n→∞時，它的一般項u→0。”

類比猜想出新命題:“若無窮級數u的一般項不是時的無窮小量，則級數u必發散。”

通過案例可見，此類猜想的基本思路是利用已有命題，通過改變命題中的部分條件從而得到新的命題，使命題的適用范圍變廣。因此，在數學教學中，教師如能靈活運用類比的方法，就能溝通知識間的聯系，使學生的思維更加廣闊。當然，最后還要嚴格證明猜想的正確性。

2.歸納性猜想

歸納性猜想是指運用不完全歸納法，對研究對象或問題從一定數量的個例或特例進行觀察和分析，從而得出有關命題的形式、結論或方法的猜想。它是一種從特殊到一般的推理方法，在解決一些計算量過大的數學問題時，往往根據歸納得出猜想，從而得到問題的解決。

案例3:求111…11(n個1的平方)=?

由1=1，11=121，111=12321，1111=1234321，11111=123454321，111111=12345654321，1111111=1234567654321，11111111=123456787654321，…

歸納猜想:

n個1的平方為:111…11=1234…(n-2)(n-1)n(n-1)(n-2)…4321。

案例4:設y=sinx，求y=?

由y′=cosx=sin(x+)，

y″=(y′)′=cos(x+)=sin(x+2×)，

y?蓯=(y″)′=cos(x+2×)=sin(x+3×)

…

歸納猜想:

y=sin(x+n×)。

最后歸納猜想后果的正確性可以用數學歸納法加以證明。

通過案例我們可以看到，此類猜想的基本思路是先借助不完全歸納法，通過對部分簡化了的對象進行研究，歸納出特征后提出猜想，然后用嚴格的數學方法推理論證。因此，在數學教學中，教師如能靈活運用歸納的方法，就能將一些復雜和一般化的問題降低難度，指導學生利用從簡單情況得到的啟發，推斷猜想出一般復雜狀態下的問題的解決途徑。

二、猜想在數學教學中的作用

1.有利于激發學生的學習興趣

興趣是最好的老師，當一個學生對某個學科、某一問題發生興趣時，他就會積極思考，想方設法去解決所遇到的問題，而猜想就能激發學生的興趣，調動起學生的積極性。因為猜想是從學生所熟悉的知識或事實出發，在教學中恰當地運用猜想可以降低問題的難度，使學生的興趣放到被研究的事物上來，從而具有較好的可接受性。因此，在數學教學中提倡使用猜想教學法。

2.有利于更快捷地尋找解題思路

科學家研究數學問題的一般方法是“提出問題—作出猜想—檢驗猜想—得出結論”。猜想作為一種直覺思維活動，在很大程度上依賴于靈感或超前思維，它具有整體性、直接性、簡敏性和跳躍性等特點，它可以省去若干轉換環節，忽略問題的細節，抓住問題最重要、最突出的特征直捕實質，使思維的速度大大加快，這便可增加對同一問題的思考時間，從而有利于篩選出最佳解決方案。因此，合理利用猜想教學對于學生更快捷地尋找解題思路、培養與提高能力起著很好的促進作用。

3.有利于更為透徹地解決和掌握數學知識

數學的特點是嚴謹、邏輯性強，學生在學習時往往只注重知識的表層，或是死記硬背，這樣在運用知識時就會出現“我知道這個內容，但就是不會用它來解決”的問題。所以只有學生真正理解、掌握知識才能去靈活運用知識。在這里靈活運用猜想教學可以起到事半功倍的效果。

4.有利于培養學生的數學思維能力

教育能加速或延緩學生思維發展的進程，所以進行適當的猜想教育對于學生提出和研究數學猜想，并進一步發展他們的數學思維能力有不可忽視的作用。“猜想—發現—新的猜想—新的發現”的循環往復已成為數學和思維發展的一般規律。學生大膽地提出猜想，并進一步驗證自己的猜想，數學思維可以得到鍛煉和提升。因此理解和掌握并靈活地運用數學猜想，對數學的學習和研究都非常的重要。

三、結語

牛頓曾經說過:“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發現。”學生的學習過程并非要出現像科學家那樣的猜想，但應具有知識的再發現和再創造能力。培養學生的猜想意識，引導學生進行積極地猜想，正是培養學生進行知識再發現和再創造的良好開端。學生的合理猜想中融合了直覺思維、聯想等要素，是較復雜的思維過程，教師讓學生根據已有的知識或直覺進行猜想，既能調動學生的各種思維能力，在猜想的過程中更好地獲取知識，又能展現他們的創新才智，提高學習的自信心。

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