數學隱性難點的突破在知識生成中的作用

摘 要: 影響課堂知識生成的因素是多方面的，除了大綱規定的重點、難點這一顯性難點外，還有學生對過去所學過的知識、概念、方法、計算等沒有掌握好。知識生成時所必需的基礎知識、方法、技能雖不是本節的重點和難點，但它直接影響了知識的生成，成為了知識生成的隱性難點。本文從幾個方面闡述了如何突破隱性難點對知識生成的影響。

關鍵詞: 數學隱性難點 影響 教學設計

每節課都有每節課的難點和重點，這些難點和重點大綱都有明確要求，我把它叫顯性難點。除此之外，過去學生學習過的知識點、概念、方法、計算等，都是新知識生成的基礎，但由于各種原因導致學生沒有完全掌握。這種情況雖然不是本節課的重難點，但已成為了影響知識生成的一個非常重要因素，而這個因素又常常被教師所忽略，我把它叫隱性難點。隱性難點對知識生成的影響常常表現在自主學習艱難、討論常常毫無結果等方面，更談不上探究學習和知識生成，最終導致課堂上完不成教學任務。這種現象在學困班教學中表現得特別明顯。

如何突破數學隱性難點對知識生成的影響，我總結了課堂上所反映的問題，從以下幾個方面進行了闡述。

一、對概念隱性難點的突破。

概念隱性難點主要反映在學生對概念掌握不牢、不清及應用困難。針對這種情況我在教學中從下面幾點入手。

1.強調概念的建立過程，強化對概念的理解。

一些學生對概念不理解，死記硬背，即使記住了也不會應用。如求2，學生不會做，就是因為沒有理解乘方這個概念，沒有理解2表示2×2×2，而錯誤地表示為2=2×3。這種概念不清必然導致學習無法繼續。

2.強調概念的前提條件。

許多概念的成立都有一定的前提條件，如果離開這個前題條件概念就不成立。而學生在應用這一概念時，這個前題條件往往會被忽視。

3.掌握概念的本質與表達形式的不同。

有些概念的表達，無論是用語言或字母，特別是用字母，往往只是形式上的表達。如果不能理解概念的本質，當形式變化后學生就會不知所措。如勾股定理的表述，課本上表達為若兩直角邊為a、b，斜邊為c，則a+b=c，當換成用a+c=b表示時，部分學生還認為c是斜邊;又如a▲b=ab-a-b，問(a+b)▲b的結果為多少時，許多學生感到不知所措。這些都說明學生沒有掌握概念的實質，更談不上如何應用了。

4.加強練習，強化對概念理解。

學生接觸到一個概念后，首先要理解概念，掌握概念實質，不要急于用概念去解決問題。教師應通過設計系列練習，從不同方面引導學生透過現象看本質，掌握概念的內涵與外延。

掌握好概念是以后學習的基礎，只有掌握了概念的建立過程，才能達到理解概念、掌握概念的目的。同時教師在教學中遇到學生不理解的概念要及時讓他們搞清楚，不要為以后學習留下隱性難點。

二、突破閱讀這個隱性難點對知識生成的影響。

新教材的特點是改變傳統的教學模式，即由教師講授轉為學生自主探究。我在實際教學中發現，大部分學生閱讀完給出的材料后，不能抓住重點對象，不能關注重點內容和提取關鍵信息，不能把握細節與主體，不能洞察核心思想。學生閱讀完材料后達不到預期的閱讀效果，影響了學生知識的生成。遇到這種情況，教師需引導學生從以下幾方面入手。

1.讓學生帶著問題去閱讀。

“問題是數學的心臟，問題能喚引起學生的注意力，激發學生的求知欲和好奇心，啟迪學生的思維和想象，開拓和引導學生的思路”。我讓學生帶著下面幾個問題有目的地去閱讀。

(1)材料中告訴你哪些概念?

這個問題學生通常在材料中都能直接找到，可提高學習興趣。

(2)從材料中你能知道哪些性質或法則?

這個問題學生也能在材料中直接找到，可感受到學習成功的快樂。

(3)從材料中你能知道它想解決什么問題?它是如何解決的?

對于這個問題，要求學生看完整個材料后去歸納。通常用材料里的關鍵字眼去總結，多數材料的題目往往就是整個材料所要解決的問題。對于如何解決問題，采用哪些數學方法和教學思想，則是本節課的重點和難點，從而揭開了本節課的學習內容，激發了學生的求知欲望。

2.把握好通篇閱讀和重點閱讀，粗讀和詳讀所要解決的不同問題。

通篇閱讀所需解決的問題是讓學生對材料中所涉及到的基本概念、性質、法則，以及材料中所要解決的問題有個大概的了解，知道本節課的學習內容是什么。重點閱讀則更關注細節，關注概念、性質、法則成立的條件，采用什么方法解決問題。這部分內容往往要求學生掌握，不但要祥讀，而且要反復讀。

3.關注學生在閱讀時提出的問題。

由于學生學習上的個體差異，對于同一知識，每個學生從不同方面有不同理解。通過閱讀，教師讓學生提出問題，并針對問題在教學上做到有的放矢。我對于學生提出的問題通常作如下處理。

(1)少部分學生不懂而大多數學生懂的問題，可采用小組討論的形式，通過交流做到取長補短，使這部分問題都能得到解決。

(2)大多數學生不懂，少部分學生懂的問題，可采用組與組之間交流的形式，學生互動，以少教多。也可以請個別學生到黑板上講解、展示分析過程，必要時老師作適當點撥。

(3)對于個別學生提出的老師預設以外的問題，則可師生互動，做到動中生成，最大限度地解決學生提出的問題，滿足學生的求知欲望。

閱讀是學生自主學習中不可缺少的一個環節，通過上述辦法，可有效地提高學生的閱讀效果，為新知識生成打下基礎。

三、形成知識模塊，突破知識點分散、不便掌握的隱性難點。

心理學認為:學生應用知識解決問題能力的高低，不僅與貯存知識的數量有關，而且與貯存知識的概括程度、索引方式、相互關聯度等可有效利用的屬性有關，即與知識掌握的質量有關。在教學過程中，教師要讓學生構建自己的知識網絡體系，形成知識模塊，為新知識生成做好必要的知識準備。模塊的形成主要從以下幾個方面入手。

1.同一知識點知識歸納為一個模塊。

由于學生學習知識是循序漸進、由淺入深的過程，因此對同一知識點的學習在不同時間也有不同要求。如角平分線的學習首先安排在在七年級(上)，內容是按給定的畫法畫出一條射線使之為給定角的角平分線，并通過折疊讓學生感受角平分線定義。在七年級(下)給出角平分線性質及應用。到八年級(上)又給出角平分線定理的逆定理，到此角平分線這個知識點才全部給出。每當學生學習下一個知識點時，都要把上面有關知識點復習鞏固，在以后的學習過程中，只要提到角平分線，學生就聯系到下面幾點:

①角平分線定義及表達方式

②角平分線性質

③角平分線中常用的輔助線

④逆定理

⑤用尺規如何作角平分線

這樣就形成了角平線這個知識點模塊，既便于掌握，又能達到靈活應用。

2.把相互關聯的知識點構成一個知識模塊。

在學習過程中，我們把關聯性較強的知識點形成一個模塊，既便于理解，又便于區別和記憶。如在平行四邊形、矩形、菱形、正方形學習中，矩形是在平行四邊形的基礎上定義的，因此它具有平行四邊形的一切性質，但同時由于它的頂角是直角，它又具有自己特殊的性質和判定。

菱形也是在平行四邊形基礎上定義的，它除了具有平行四邊形所有的性質外，由于它有一組鄰邊相等，因此又具有自身的特殊性質和判定。

正方形是在矩形和菱形的基礎上定義的，因此它具有這兩個圖形的所有性質。判定更特殊，只要判定是這兩個圖形，就一定是正方形。這樣既便于學生了解各圖形之間性質、判定的區別，又便于記憶。

四、通過作業批改尋找隱性難點，再通過作業反思消除隱性難點。

1.通過作業批改，發現學生在掌握知識中存在的問題。

存在的問題可分為下面幾點:

(1)原有知識沒有掌握，導致題目做錯。

(2)新知識沒有掌握，導致題目做錯。

(3)沒有掌握解決問題方法，導致題目做錯。

(4)粗心筆誤導致題目做錯。

2.對于學生做錯的作業題，通過作業反思及時訂正。

作業反思設計分下面幾個部分:

(1)本題用到的知識點主要有哪些?

(2)所用到的概念、性質、法則、判定等分別是如何敘述的?

(3)你做錯題的原因是什么?

(4)正確的題解是什么?

(5)現在還不懂的知識點有哪些?

作業反思是學生對解題過程的回顧，主要是回顧在解題過程中獲得哪些經驗和教訓，自己的解題思路如何受阻又是如何突破的。教師通過作業批改發現隱性難點，學生通過作業反思及時消除隱性難點，為以后學習打下基礎。

五、幫助學生巧記法則公式，突破記不住的隱性難點。

數學學習離不開記憶，不同的記憶方法導致不同的結果，在理解的基礎上記憶知識不易被遺忘。如在七年級(下)“冪的運算”一章教學中，學生對于同底數冪乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數冪的除法法則記不住名稱，經常出錯。如果按運算順序則很容易記住名稱。運算順序為:在加、減、乘、除、乘方的運算中，先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號先計算括號內的。

如:①a·a=a(m、n是正整數)

這個法則為什么叫同底數冪相乘?因為根據運算法則先計算am和an，這兩個結果都叫冪，然后再把兩個冪相乘，因為這兩個冪的底數相同，因此叫同底數冪相乘，反之a·b就不能叫同底數冪相乘。

②(a)=a(m、n是正整數)

這個法則為什么叫冪的乘方?因為根據運算法則先計算底數為a的結果叫冪，(a)表示n個a相乘，順此把(a)叫冪的乘方。接下來再讓學生解釋下面各法則、公式名稱的由來。

③(ab)=ab(n是正整數)

④a÷a=a(a≠0，m、n是正整數，且m>n)

⑤(a-b)=a-2ab+b

⑥(a+b)=a+2ab+b

⑦a-b=(a+b)(a-b)

通過運算法則順序巧記法則、公式，會達到事半功倍的效果。

六、預設隱性難點，做到難點分散。

由于各班的學生情況不同，對于每節課的教學內容，老師應根據學生的學習情況，預設隱性難點有哪些。根據預設的隱性難點，老師可安排學生課前預習，溫習隱性難點所涉及到的相關知識，做到課前消除隱性難點，使學生學習過程中難點分散，以達到克服畏難情緒、激發學習興趣的目的。

影響知識生成的隱性難點是多方面的，教師在教學設計時應把這個因素設計到教學中去，給學生消除隱性難點預留一定的時間和空間。這樣才不至于打破課堂上的預設安排，從而圓滿完成當堂教學任務。

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