唯物辯證法在概率統(tǒng)計中的運用

摘 要: 數(shù)學(xué)本身是一種思辨方法，在數(shù)學(xué)中充滿了辯證法，注重唯物辯證法在概率統(tǒng)計中的應(yīng)用，對于提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一種極其有效的方法。

關(guān)鍵詞: 唯物辯證法 概率統(tǒng)計 運用

一、解題中的唯物辯證法

數(shù)學(xué)的本質(zhì)即哲學(xué)思辯方法，其中充滿了唯物辯證法。如矛盾論、對立統(tǒng)一、用聯(lián)系和發(fā)展的觀點看問題。哲學(xué)講沒有絕對的靜止，再美的花看多了，也會厭倦。因而教師在教學(xué)中時刻要變化，變化表達(dá)方式、教態(tài)、教學(xué)方式。有時要故意出錯，讓學(xué)生在糾錯中學(xué)到知識。某些觀點，從正面闡述，聽得多了，會產(chǎn)生抗體，那就從反面強調(diào)。所謂“奇則正之，正則奇之”。

例1:(2010年重慶文科數(shù)學(xué)高考題)加工某零件需三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為、、，且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為 。

解析:法一:直接法。p=++-·-·-·+··=。

法二:從反面考慮，從對立事件角度考慮p=1-··=。

同樣的知識點背景，完全相反的解題思路，考查學(xué)生的不同思維能力。

例2[1]:(獨立與不相關(guān)的等價條件)假設(shè)隨機向量(X，Y)的聯(lián)合密度為f(x，y)=[φ(x，y)+φ(x，y)]，其中φ(x，y)，φ(x，y)均為二維正態(tài)分布密度:

φ(x，y)=exp-x-xy+y，

φ(x，y)=exp-x+xy+y。

(1)求邊緣概率密度f(x)和f(y);(2)求相關(guān)系數(shù)ρ;(3)問X和Y是否獨立?為什么?

解析:由φ(x，y)，φ(x，y)，有:E=0，D=1，ρ=，ρ=-。

(1)f(x)=?蘩f(x，y)dy=[φ(x)+φ(x)]=φ(x)，同理可得f(y)=φ(y)。

(2)E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1。因而:ρ=E(XY)=?蘩?蘩xyf(x，y)dxdy=0。

(3)R.V.X和Y不獨立，所以，f(x，y)=[φ(x，y)+φ(x，y)]≠f(x)f(y)。

小結(jié):若R.V.X和Y都服從正態(tài)分布，則:(1)聯(lián)合分布不一定是正態(tài)分布;(2)兩者不相關(guān)，不一定相互獨立;(3)若聯(lián)合分布是二維正態(tài)分布，則:“不相關(guān)”和“相互獨立”等價。

數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中指出:“數(shù)學(xué)解題就是命題的連續(xù)變換，而命題的連續(xù)變換就是數(shù)學(xué)思想方法反復(fù)運用的過程，解題的最終目標(biāo)是把題目歸結(jié)為已經(jīng)解過的題。”

例3[1]:(均勻分布)向區(qū)域G={(x，y)||x|+|y|≤2}上均勻地擲一隨機點(X，Y)，求(X，Y)，以及X和Y的概率密度f(x，y)，f(x)和f(y)。

解析:易得f(x)=(-2≤x≤0)(0≤x≤2)0(|x|>2)，f(y)=(-2≤y≤0)(0≤y≤2)0(|y|>2)。

實踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)。如將概率統(tǒng)計與社會生產(chǎn)、生活實際相結(jié)合，二項分布B(n，p)與藥物的有效性等問題結(jié)合，將正態(tài)分布與考試成績、可靠性理論等問題結(jié)合;將指數(shù)分布與元件壽命問題結(jié)合，在實際問題的解決過程中體會和了解概率論的思想方法[2]。

例4:(2010年安徽文科數(shù)學(xué)高考題)某市2010年4月1日—4月30日對空氣污染指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如下(主要污染物為可吸入顆粒物):61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45。

(1)完成頻率分布表;(2)作出頻率分布直方圖;(3)根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)，污染指數(shù)在0—50，空氣質(zhì)量為優(yōu);在51—100，為良;在101—150，為輕微污染;在151—200，為輕度污染。請依據(jù)所給數(shù)據(jù)和標(biāo)準(zhǔn)，對該市的空氣質(zhì)量給出一個簡短評價。

二、理論中的唯物辯證法

任何定理都有其條件和結(jié)論，定理的表達(dá)形式主要有三種:圖形、文字、符號。其體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的完美結(jié)合。

例如:事件的和A+B與集合的并A∪B(可類比物理中的并聯(lián)電路)，事件的積A·B與集合的交運算A∩B(可類比物理中的串聯(lián)電路)，同時，其又均可用文氏圖表示，而計算概率時可用面積理解。對立事件和互斥事件同樣可以類比理解。

將概念或定理中的條件或結(jié)論作適當(dāng)?shù)耐茝V，可以得到許多有趣的結(jié)論，同時也會弄清其中的內(nèi)在聯(lián)系，形成知識體系。概率論與實變函數(shù)論、測度論有許多相似之處，如:基本事件空間Ω—論域，基本事件ω—論域中的點，事件A的概率P(A)—A的測度，等等。

具有同一屬性的不同類型的事物，其實在本質(zhì)上還是具有共同點的。如，離散型R.V.的一套理論，可以應(yīng)用到連續(xù)型R.V.，如U[a，b]，N(μ，б2)，指數(shù)分布。相關(guān)的概念如概率密度、參數(shù)、期望、方差在整體思路上亦具有統(tǒng)一性。

抓住了共通點，我們可以進一步地類比學(xué)習(xí)，弄清一類問題。如從概率的定義出發(fā)，我們可以推出概率的許多相關(guān)性質(zhì)。由三個基本公式:乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式，可以掌握事件概率的計算方法。由兩個變量的情形，可以類似地得到多個變量的情形;由聯(lián)合概率分布，可得邊緣分布，等等。

在高考、大學(xué)、考研的概率與數(shù)理統(tǒng)計題型中，均體現(xiàn)了唯物論認(rèn)識事物的規(guī)律，如矛盾論、對立統(tǒng)一、理論聯(lián)系實際等。總之，教學(xué)有法，但教無定法，哲學(xué)中強調(diào)具體情況具體分析。在教學(xué)中，教師要結(jié)合實際的內(nèi)容，選擇合適的教學(xué)方法，在傳授知識的同時，引導(dǎo)學(xué)生積極發(fā)現(xiàn)、探索、研究，培養(yǎng)思維的深刻性、廣泛性、靈活性、敏捷性、獨特性、批判性、創(chuàng)造性。學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，掌握做研究的方法，掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的工具，在數(shù)學(xué)知識的海洋中遨游，定能暢通無阻。

參考文獻:

[1]周概容.概率論與數(shù)理統(tǒng)計大講堂[M].大連:大連理工大學(xué)出版社，2004.

[2]魏宗舒等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京:高等教育出版社，2002.

[3]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京:高等教育出版社，2004.

注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文