辯證觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

在教學(xué)實(shí)踐中，我認(rèn)為辯證觀點(diǎn)應(yīng)注意從三方面進(jìn)行應(yīng)用:一是教師要闡明教材本身的辯證因素;二是要培養(yǎng)學(xué)生辯證思維方法;三是教師要懂得教學(xué)領(lǐng)域中的辯證關(guān)系。三者是互相聯(lián)系、互相滲透的。

一、發(fā)掘教材中的辯證因素

加強(qiáng)辯證觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，必須挖掘教材中的辯證因素。在教學(xué)中，教師應(yīng)要求學(xué)生在獲取知識(shí)的同時(shí)領(lǐng)會(huì)以下四個(gè)基本觀點(diǎn)。

1.矛盾的觀點(diǎn)

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中充滿著矛盾。例如在數(shù)的概念之中，整數(shù)與分?jǐn)?shù);正數(shù)與負(fù)數(shù);有理數(shù)與無(wú)理數(shù);實(shí)數(shù)與虛數(shù)。它們都是矛盾的雙方，各自都是以它的對(duì)立面的存在而存在著的，即沒(méi)有負(fù)數(shù)也就沒(méi)有正數(shù)，沒(méi)有虛數(shù)也就沒(méi)有實(shí)數(shù)，等等。又如在數(shù)學(xué)運(yùn)算中，也存在矛盾的雙方:有加法就有它的逆運(yùn)算減法;有乘法就有它的逆運(yùn)算除法;有乘方就有它的逆運(yùn)算開(kāi)方。諸如多項(xiàng)式的乘法與因式分解;等式與不等式;有限與無(wú)限;連續(xù)與間斷等都是矛盾著的雙方。

2.運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)

例如一元二次方程，對(duì)于變量來(lái)說(shuō)由于常量的變化，方程就有不同的解，就是說(shuō)這些常量是相對(duì)的，而運(yùn)動(dòng)變化是絕對(duì)的。諸如，圓的割線到切線、圓周角到弦切角、棱臺(tái)到棱錐、圓臺(tái)到圓錐、點(diǎn)的軌跡、函數(shù)關(guān)系、系數(shù)方程的討論、實(shí)系數(shù)二次三項(xiàng)式的討論、直線系方程、圓系方程、圓錐曲線系方程、參數(shù)方程等都可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)。

3.發(fā)展的觀點(diǎn)

數(shù)學(xué)是不斷發(fā)展的。如從整數(shù)到分?jǐn)?shù);從正數(shù)到負(fù)數(shù);從實(shí)數(shù)到虛數(shù)，在教學(xué)中教師就要講清它們的產(chǎn)生和發(fā)展。所以在教學(xué)中講整數(shù)要與小學(xué)中自然數(shù)對(duì)比;講在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，解方程要與實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，解方程對(duì)比;講任意三角函數(shù)時(shí)要與銳角三角函數(shù)對(duì)比，等等，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)在不斷地發(fā)展，角也在發(fā)展，因而處理問(wèn)題的方法也不一樣，這樣容易防止產(chǎn)生痕跡性的錯(cuò)誤。

4.轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)

在一定條件下，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)處理問(wèn)題的地方是很多的。例如:解方程中的消元、降次;分式方程整式化;根式方程有理化;在函數(shù)中，函數(shù)與反函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化;在三角中，三類(lèi)八式之間、正余弦定理之間可以互相轉(zhuǎn)化;在幾何中，將高維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為低維問(wèn)題來(lái)做;應(yīng)用題中，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型;把三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)或三角問(wèn)題來(lái)解，把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角或幾何問(wèn)題來(lái)解，等等。以上這些轉(zhuǎn)化基本上屬于量與量之間的形式上的轉(zhuǎn)化。還有由量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化，例如，在直線與二次曲線的位置關(guān)系上，用方程組變形后的二次方程的判別式“△”的值來(lái)判別它們的位置關(guān)系分別是相交、相切、相離，這就是由“△”數(shù)量的變化，導(dǎo)致直線與曲線位置上產(chǎn)生質(zhì)的變化。同樣，隨著圓錐曲線的離心率“e”的變化，導(dǎo)致圓錐曲線可以為雙曲線、拋物線、橢圓。

二、教會(huì)學(xué)生一些辯證思維的方法

1.廣泛聯(lián)想法

數(shù)學(xué)知識(shí)之間是互相聯(lián)系的。在教學(xué)中，教師應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生善于從一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題想到另一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。聯(lián)想是一種辯證思維形式，它是探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的前提，所以應(yīng)教會(huì)學(xué)生各種聯(lián)想。如定向聯(lián)想:在解數(shù)學(xué)題時(shí)，能按照題意的要求，充分注意命題的結(jié)構(gòu)，注意條件和結(jié)論的特點(diǎn)，注意圖形的性質(zhì)，根據(jù)命題的不同求解方向，有的可以聯(lián)想有關(guān)的定義和法則;有的可以聯(lián)想已經(jīng)證明過(guò)的命題;有的可以聯(lián)想常用的解題方法和某些解題的技能技巧;對(duì)綜合題可以從幾方面結(jié)合起來(lái)聯(lián)想。對(duì)于一般的命題，通過(guò)這樣的聯(lián)想常常能順利地發(fā)現(xiàn)解題思路或方法，如雙向聯(lián)想、類(lèi)比聯(lián)想、對(duì)比聯(lián)想、關(guān)系聯(lián)想等。

2.退中求進(jìn)法

退一步進(jìn)兩步，“退中求進(jìn)”的思想方法，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的辯證的思維方法。此法是從“退”中尋找解題途徑，在“退”中探求未知的結(jié)論，退到我們足以看清楚問(wèn)題的地方然后再上去。例如從“結(jié)論”向條件后退、從“一般”特殊后退、從“抽象”向具體后退、從“綜合”向單一后退、從“任意個(gè)”向有限個(gè)后退、從“髙維”向低維后退等。就是說(shuō)在解題中，因?yàn)橛行?shù)學(xué)命題抽象程度較高，一時(shí)難以進(jìn)行恰當(dāng)?shù)穆?lián)想。在這種情形下，我們可以先考慮命題的某些特殊情形，在特殊情形下獲得解答時(shí)，往往對(duì)一般情形的解法有所啟發(fā)，甚至所得結(jié)論對(duì)一般情形也是適用的，這種從問(wèn)題的特殊情形去認(rèn)識(shí)問(wèn)題的普遍性，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)解題思路的方法是學(xué)生應(yīng)該掌握的。

其他的辯證思維方法如運(yùn)動(dòng)變換的方法、分析與綜合統(tǒng)一法、抽象與具體統(tǒng)一法、演繹與歸納統(tǒng)一法、有限與無(wú)限統(tǒng)一法、精確與近似統(tǒng)一法等。

三、處理好教學(xué)領(lǐng)域中的辯證關(guān)系

1.教材與教法的關(guān)系

教材不等于教師的教法，所以教師不能“照本宣科”。教師要根據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際來(lái)具體設(shè)計(jì)，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用。發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，就是要組織好教材內(nèi)容;要設(shè)計(jì)問(wèn)題的情境;要根據(jù)教材內(nèi)容安排好學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程;要按教材內(nèi)容精心設(shè)問(wèn)讓學(xué)生討論;要抓住關(guān)鍵時(shí)刻，促使學(xué)生的思維產(chǎn)生飛躍。發(fā)揮學(xué)生的主體作用，就是要做到能看懂的內(nèi)容，讓學(xué)生自己看;能自己思考解決的問(wèn)題，讓學(xué)生自己去思考解決;能講得出的問(wèn)題，讓學(xué)生自己去講;通過(guò)討論能解決的疑難，讓學(xué)生自己討論搞清楚;能獨(dú)立完成的練習(xí)，讓學(xué)生自己去做。只有這樣，才有利于學(xué)生較好地把課本知識(shí)轉(zhuǎn)化為自己的知識(shí)，才有利于把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力。

2.講和練的關(guān)系

數(shù)學(xué)除了講概念、定理、法則、公式、性質(zhì)以外，還配以大量的例題和習(xí)題，所以講解必須配合以練習(xí)。教師講解時(shí)要突出重點(diǎn)，抓住關(guān)鍵，前后聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)。練習(xí)也必須突出重點(diǎn)抓住關(guān)鍵，前后聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)。講和練要互相適應(yīng)，否則就達(dá)不到轉(zhuǎn)化的目的。練習(xí)也必須配合評(píng)講，且要及時(shí)進(jìn)行，否則轉(zhuǎn)化率也不高。

辯證觀點(diǎn)的應(yīng)用，要貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程之中，一定要結(jié)合教材本身有意識(shí)地、有目的地進(jìn)行，才能達(dá)到預(yù)期的效果。