“分層練習”數學課堂教學例談

摘 要: “分層練習”對學生更好地理解數學概念、定理、法則，全面系統地掌握數學知識，提高解題的技能、技巧，培養良好的習慣、嚴謹的作風起到良好的作用，從而提高教學質量。本文以平方差公式為例，討論了在數學課堂教學中如何根據學生實際和課堂教學目標，設計強化訓練系列題組來提高教學質量。

關鍵詞: “分層練習” 數學課堂 教學例談

根據“新課標”的要求，教師應設計出開放性問題和探索性問題，應用數學知識解決實際生活問題的題組，通過課后作業的布置，要讓不同的學生根據自己的能力設計出體現自己水平的題組，提出問題，尋求解決問題的方法，策略，要盡可能地調動積極性、主動性。教師應承認并尊重學生的個體差異，面向全體學生，使得“人人學有價值的數學，人人獲得必需的數學，不同的人在數學上獲得不同的發展”。

常用題組的形式有以下幾種:以數學概念為中心的題組;以數學方法為中心的題組;以題型為中心的題組;以全面考查、綜合評估為中心的題組。

一、低起點

所謂“低起點”主要指第一組題要按課堂教學目標的最低層次來設計，一般直接應用公式，定理或模仿例題，都是識記層次的，目的是熟悉定理，鞏固概念，強化公式的記憶，保證所有學生都會做，從而能起步。如初中代數第二冊(下)—平方差公式，其教學目標為:1.理解，識記平方差公式。2.運用平方差公式進行計算。3.通過例題講解會運用平方差公式進行變式計算。我先設計好系列題組，講完公式的推導過程，引導學生觀察公式中所體現的數字的特征及所得結果之后，馬上出示第一套題組讓學生口答:

①(x+y)(x-y)，(a+b)(a-b)，(m+n)(m-n)，(c+d)(c-d);②(-x+y)(-x-y)(-a+b)(-a-b)，(-a+1)(-a-1)，(c-d)(-c-d);③(-s+9)(-s-9)，(2a-b)(2a+b)，(5n+m)(5n-m)，(a-3c)(-a-3c);④(12-m)(12+m)，(b+7)(-b+7)，(-c-8)(-c+8)。這樣使全班學生都在輕松的氣氛中完成了第一個目標——理解，識記平方差公式。

二、密臺階

當第一個目標的學習完成之后，馬上進入第二個目標運用平方差公式計算的達標過程，自然引出例題，(3n+2m)(3n-2m)，(-x+y)(x-y)。我先讓學生觀察出示例題中的哪一項與平方差公式中的a對應，哪一項與平方差公式中的b對應。至此，全班學生已毫不困難地能得出結果。我開始讓學生進行第二組題目的訓練，這一組題目無論在難度上還是在模式上，都要按目標要求有提高、有深化，要一組一個“臺階”使學生每完成一組題后，都能有所提高，做到“更上一層樓”以保證逐步實現高層次，高難度的目標。如平方差公式一節中出示的第二題組是每一大段教材之后習題的精選與組合:①(x+5)(x-5)，(-3m+1)(-3m-1)，(xy+1)(xy-1)，(4ab-3)(4ab+3);②(12+x)(12-x)，(14x+12y)(14x-12y)，(29m+34n)(29m-34n);③(-17+a)(-17-a)，④99×101，503×497，103×97，1752-752。

以上習題由易到難—由簡到繁，逐步過渡，自然而然地使學生掌握技能。

三、小坡度

當進行完第二題組的訓練后，學生基本上對平方差公式的特點、使用范圍、適用方式掌握了，會根據計算題目的特點運用公式進行簡便快速的計算。第二個學習目標的達標過程就可告一段落。下一步是如何進行最后一個目標的完成，我通過例題的講解使學生懂得如何利用平方差公式進行變式計算。我出示例題(x+12)(x-12)(x+14)，使較好的學生一看題目后一目了然，連用兩次平方差公式，較差的學生也能通過老師的講解會做練習題:(a+b)(a-b)(a-b)，(x+1)(x-1)(x-1)，(-2x+3y)(-3y-2x)(4x-9y)，(3m-4n)(3m+4n)在學生熟練地掌握這種題型后，我再出示下個例題(x+y-z)(x-y+z)引導學生分析題目特點，首先從題目的形式看無法直接運用平方差公式，因為平方差公式中每個括號里只有兩項，且是兩數的和與兩數的差的乘積，或可認為是兩括號中兩數相同，兩數互為相反數，而本題中每個括號內有三項，兩括號中的x相同，而+y與-y，-z與+z互為相反數。因此，我們要將(x+y-z)(x-y+z)中的兩項先組合起來，成為一個整體，使其轉化為平方差公式的形式，而如何尋找a與b呢?由字母自身的符號所確定:兩x同號，自成一組;而+y與-y，-z與+z互為相反數，就把同一括號中的y與z歸為一組，即[x+(y-z)][x-(y-z)]，此時公式中的a與b一目了然，就能求解上題。

在本題中，關鍵是如何進行分組、組合、轉化。這是一個難點，突破難點也在于對兩個括號中同一數、互為相反數的確定，同一數成一組，相反數成一組。給出練習題:每章末的“復習參考題”和“總復習參考題”中整理，精選，補充得到。

1.(a+b-c)(a-b+c)，(m+n-g)(m-n+g)，(x+y-z)(x-y+z)，(e+f-g)(e-f+g);

2.(a-b+c)(a-b-c)，(m-n-g)(m-n+g)，(x-y-z)(x+y-z)，(x-y-z)(-x+y-z);

3.(3x-2y+7z)(3x-2y-7z)，(-5m-3n+6g)(5m-3n-69)，(a-3b-4z)(a+3b-4z)，(a-b+c-d)(a+b-c+d)，(x+y-c-d)(x-y+c-d)，(2a-b+3c-5d)(2a+b-3c+5d)。

模式與上例完全一致，這樣可使學生有個熟練過程，熟能生巧，逐步內化為自己的技能，在做題的過程中，逐步領會平方差公式的變式計算，以達到發展思維、提高能力的目的，使難點分散，難度降低。在掌握知識形成技能的全過程中，教師必須全力進行能力的培養和智力的開發。這些必須通過訓練前、訓練中、訓練后的一系列思維訓練來實現，具體做法為:拿出一組題目之后，首先引導學生觀察題目特點，尋找該組題目的共性;與以前做過的題目有何聯系，有何區別。據此初步確定解題的方法，然后開始做題。做題時先熟讀默記設計方法程序;理清思路，調整結構，力爭敘述得簡潔，準確，規范;書寫得工整，美觀，完整;計算得迅速、準確。

上面的練習題組，有臺階，但臺階小;有難度，但能保證絕大多數學生在老師的幫助下上得去，上得比較輕松，比較順利，做到有難度無坡度或無大難度，使訓練實現下列遞推過程:只要會第一組，就一定會第二組，而會了第二組，又能很輕松或較順利地完成第三組。

注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文