淺談向量組的線性相關性

摘 要: 本文指出，存在不全為零的數k，k，…，k使kα+kα+…kα=0成立，則α，α，…α，線性相關，利用矩陣的秩判別，若向量的個數與維數相同用行列式法判別。

關鍵詞: 線性相關 線性無關 向量的個數與維數 矩陣的秩 向量組

1.定義法

這是判別向量組線性相關性的基本方法，既適用于分量沒有具體給出的抽象向量組，又適用于具體給出的向量組。對于向量組α，α，…，α，設kα+kα+…+kα=0，若上式當且僅當k=k=…=k=0時才成立，則α，α，…，α線性無關;否則，存在不全為零的數k，k，…，k使上式成立，則α，α，…，α線性相關。

2.構造法

利用矩陣的秩判別，設有m個n維列向量組α，α，…，α，記A=[α，α，…，α]，則可利用矩陣A的秩判別向量組α，α，…，α的線性相關性，即:

(1)當秩(A)=m時向量組，α，α，…，α的線性無關;

(2)當秩(A)

3.行列式法

若向量的個數與維數相同，既有n個n維列向量α，α，…，α，令A=[α，α，…，α]，為階方陣，則:

(1)當|A|≠0時向量組，α，α，…，α的線性無關;

(2)當|A|=0時向量組，α，α，…，α的線性相關。

4.拉長縮短法

若n維向量組α，α，…，α線性相關把每個向量的維數減少后，得到的新向量組仍線性相關。

5.增加減少法

若向量組α，α，…，α線性相關，則增加向量的個數構成新的向量組α，α，…，α，α也線性相關。

6.初等列變換法

利用矩陣的秩判別，設有m個n維列向量組α，α，…，α，記A=[α，α，…，α]，對矩陣進行初等列變換，若秩(A)=m，則線性無關;秩(A)

討論向量組α=(1，0，0，3，1)，α=(0，1，0，1，-1)，α=(0，0，1，-3，1)的線性相關性。

解法一:定義法。

假定kα+kα+kα=0，即:

kkk3k+k-3kk-k+k=00000，

解得:k=k=k=0。

故:

向量組α，α，α線性無關。

解法二:構造法。

∴R(A)=3=n(向量的個數)。

故:向量組α，α，α線性無關。

解法三:拉長縮短法。

對向量組α，α，α刪去第4第5個分向量后成為的新向量組e，e，e。

由于行列式|e，e，e|=1 0 00 1 00 0 1=1≠0，

∴向量組e，e，e線性無關，則拉長后的向量組α，α，α也線性無關。

解法四:增加減少法。

在向量組α，α，α的基礎上加兩個同維的向量α，α，且α=(0，0，0，1，0)，α=(0，0，0，0，1)，則:

故:向量組α，α，α，α，α線性無關，則減少兩個向量α，α以后也線性無關，即向量組α，α，α線性無關。

解法五:初等列變換法。

故向量組α，α，α線性無關。

參考文獻:

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