山窮水盡疑無路,柳暗花明又一村

數學是思維的體操，解數學問題能打開解題者的智力大門，能使解題者充分地開發智力，這是因為在數學題目中，不但蘊含著一些未知量，而且隱藏著許多各式各樣的聯系，促進解題者去分析、去發現、去探索、去嘗試、去圓滿地解決，解決之后還能發人深省。波利亞指出:“解題的價值不是答案的本身，而是在于弄清是怎樣想到這個解法的?是什么促進你這樣想，這樣做的?”這就是說，解題過程是一個思維的過程，是一個把知識與問題聯系起來、思考、分析、探索的過程。怎樣才能讓學生學會解題?我根據以往的教學經驗，分析了學生解題困難的成因與解題的方法。

一、山窮水盡疑無路

有些學生知道但想不到在一般情況下，問題與知識的聯想并非是顯然，即便有時能在問題中看到某些知識的影子，但畢竟不是知識的原形，或是少了條件，或是改變了結構，從而沒有現成的知識方法可用。常聽學生說:課上也能聽懂，就是自己不會解題。也常聽一些教師抱怨:這道題都講了五六遍了，可學生還是不會，但提示就會了。這兩種現象非常普遍，其實是知道但想不到，造成這種現象的原因是什么呢?

學生腦海中的知識往往是無序的、零碎的網絡，甚至是一些孤立的知識點而已，當他們需要解決某些數學問題時，無法或根本不知道把儲存在記憶中的有關知識方法檢索出來。但教師一提到某知識或某一方法，學生是知道的，所以學生總是埋怨自己為什么知道而想不到。

有些學生上課也能想到，但一到練習或考試時又想不到了。因為在課堂上教師給了學生能想到的特殊的環境條件，如解題所需知識與本節內容有關，要么所用知識為最近講的，要么所用方法就是本節內容的重點，這種明顯的外部提示使學生有了固定的思維方向，再難的問題因明顯的暗示而輕易解決了，從而失去了選擇知識、選擇方法的過程。還有一些教師在上課的時候，已把學生的思考范圍框定，堵住了學生“出軌”的想法，其實是把學生選擇知識解決問題這一過程跳過去了，而這最重要的過程一旦跳過，學生怎么能學會解題呢?

二、柳暗花明又一村

1.讓學生學會“看題”，弄清題意，搞清已知是什么，未知是什么。波利亞說:“回答一個尚未弄清的問題是愚蠢……最糟糕的情況是學生并沒有理解問題就進行演算或作圖。”第一，當題目較長時，教師可讓學生圈點重要的詞或句，做到不遺漏題目關系量。第二，讓學生養成數形結合的良好的解題習慣。第三，畫出能體現問題特征的圖形，這個問題就等于解決了一半。所以在解題時，學生應盡可能先畫一個草圖幫助思考，這一草圖不一定非常準確，只要符合題設條件，能體現出問題的基本特征就行。

2.讓學生會“想題”。教師將要解決的問題展示給學生后，不要忙于分析、講解，而要留出足夠的時間，讓學生去弄清題意，并告訴學生:試試看，你由條件能想到什么?你由結論又能想到什么?只要是與條件或結論或本題有聯系的知識、方法盡可能多地想出來。教師應不在乎學生想出來沒有，想對了沒有，應在乎學生想了沒有。開始學生可能不太能夠獨立想，教師就應當精心設計問題，不顯山露水地幫助學生，讓學生感覺自己是在獨立地想，便于將解題方法集中歸類，不致使學生見到某些問題只知不會解，而不知為什么不會解。如平面幾何中證明一般兩三角形相似的方法，前后共學習三種方法，只要遇到證明三角形相似的問題，讓學生去想證明兩三角形的方法有哪些。然后教師可集思廣益，將三種證明方法提出來，大家一起分析針對本題應該選擇哪種方法。這樣學生不僅能將其集中在一起記憶，而且知道尋找證明方法，又能快速有效地在腦中提取選擇適合的方法。

例如，如圖1所示，將紙片△ABC沿DE折疊，點A落在A′處，已知∠1=140°，∠2=40°，求∠A的度數。

想法一:用外角的思想:如圖1，∠1=∠A+∠AFD，而∠AFD=∠2+∠A′，故∠1=2∠A+∠2，可得140°=2∠A+40°，即∠A=50°。

想法二:如圖2，連接AA′，因為翻折AD=A′D，可知△ADA′，△AEA′是等腰三角形，利用等腰三角形的性質，已知頂角求底角，∠DAA′=70°，∠EAA′=70°，即∠BAC=50°。

想法三:如圖1，∠ADA′=∠FEA′=40，∠A=∠A′，可知△ADF與△A′EF相似，可得∠EFA′=∠DFE，因為∠EFD+∠EFA′=180°，所以∠EFD=∠EFA′=90°，可得∠A=90-∠ADF=50°。

總之，首先讓學生想，不僅可使學生知道遇到問題如何想，而且容易讓學生將零散的知識集中起來，聯系起來，生成知識塊，形成合理的知識網絡，可以大大提高知識的檢索效率和擴大知識的檢索范圍，從而可達到牽一發而動全身的效果。

3.讓學生學會“反思”。題目一旦獲解，學生則心滿意足，拋卻腦后，就可能錯過提高的機會。在解題教學時，學生若能注重對解題過程的反思，往往可以看透問題的本質，發現一些意外的東西。例如，小李在三環公路上勻速前進，每隔a分鐘就有一輛公共汽車迎面開來，每隔b分就有一輛公共汽車從背后開過。若每輛公共汽車均以相同的速度勻速前進，汽車站發車時間是相同的，求這個時間間隔。

這是一道含有相遇、追擊的綜合行程問題，看上去比較復雜，學生對這類問題顯得茫然無措，我在講解這類問題，解設小李與汽車的速度分別是m、n(米/分)，每輛公共汽車之間的距離為s米，則相鄰兩車之間的間隔時間s/n(分)，根據題意得，

②中沒有m、n、s，只有一個未知數x，說明可以化簡上述解題過程，那么方程是怎樣列出來的呢?通過分析不難發現:當人走了a分，車行了(x-a)分時，它們所走的路程相等;同樣，當人走了b分，車也行了(b-x)分，它們所走的路程也相等，然后根據兩個物體所移動的路程相等，則它們用的時間之比就等于它們速度比的倒數，即可得方程②。

我國數學教育家傅仲孫先生有一句名言:幾何之務不在知其然，而在知其所以然，不在知其所以然，而在知其何由以所以然。在教學時，教師應引導學生反思:為什么這么想及獲取知識、結論、方法、途徑和思想過程，從而提高學生的認知能力，使學生的解題思維進入理性階段，反思解題方法，從而掌握一個類型的解題規律，同時讓學生反思解題過程的易錯點，更加深刻地理解知識，突破思維定勢，反思問題的拓展延伸，培養學生的問題意識與探究能力。