用待定系數法構造等比數列求通項

由遞推關系求數列的通項是比較棘手的問題，解決此類問題的一種很重要的方法是用待定系數法構造等比數列。下面就幾種類型加以舉例分析。

一、已知a1和an＋1＝pan＋q（p≠1，n∈N＊）型

例1.已知數列an中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an。

解：設an＋1＋d＝2（an＋d），展開后得an＋1＝2an＋d，比較系數可知d＝3，已知的遞推式可化為an＋1＋3＝2（an＋3），得數列an＋3是首項為a1＋3＝4、公比是2的等比數列。所以an＋3＝4×2n－1，an＝2n＋1－3。

二、已知a1和an＋1＝pan＋qn＋k（p≠1，n∈N＊）型

例2.已知數列an滿足a1＝－5，an＋1＝2an＋3n＋1，求an。

解：設an＋1＋s（n＋1）＋t＝2（an＋sn＋t），展開后得an＋1＝2an＋Sn＋t－s，比較系數可知s＝3，t－s＝1，得t＝4。

已知遞推式可化為an＋1＋3（n＋1）＋4＝2（an＋3n＋4），得數列an＋3n＋4是首項為a1＋3×1＋4＝2、公比為2的等比數列。

所以an＋3n＋4＝2n，an＝2n－3n－4。

三、已知a1和an＋1＝pan＋qn（p≠1，q≠p）型

例3.已知數列an滿足a1＝4，an＋1＝2an＋3n，求an。

解：設an＋1＋p·3n＋1＝2（an＋p·3n），展開后得an＋1＝2an－p·3n，比較系數可得p＝－1。已知的遞推數列可化為an＋1－3n＋1＝2（an－3n），得數列an－3n是首項為a1－3＝1、公比為2的等比數列。

所以an－3n＝2n－1，an＝3n＋2n－1。

注：若p＝q時，如an＋1＝2an＋2n，則兩邊同除2n后可得等差數列，然后可求通項。

四、已知a1、a2和an＋2＝pan＋1＝qan（n∈N＊）型

例4.已知數列an滿足a1＝1、a2＝4、an＋2＝5an＋1－6an，求an。

解：設an＋2＋san＋1＝t（an＋1＋san），展開后得an＋2＝（t－s）an＋1＋tsan，比較系數可得t－s＝5，ts＝－6，

解之得

已知遞推式可化為an＋2－3an＋1＝2（an＋1－3an）或an＋2－2an＝3（an＋1－2an）

得數列an－3an－1是首項為a2－3a1＝1、公比為2的等比數列

所以an－3an－1＝2n－2①

或數列an－2an－1是首項為a2－2a1＝2、公比為3的等比數列。

所以an－2an－1＝2×3n－2 ②

由①②消去an－1得an＝2×3n－1－2n－1。

點評：此法求通項公式是根據不同類型選取適當形式進行假設，通過待定系數構造熟悉的等比數列，進而求解，也是化歸思想的體現，特別是對于二級遞推數列，若構造兩等比數列再消元可避免繁瑣計算。

（作者單位：江西省永新縣第二中學）

更正啟事：由于作者本人的疏忽，本刊第十一期《中小學語文應試教育的弊端》一文的作者有誤，袁虹彩應為袁彩虹，特此更正。