關(guān)于極限的四則運(yùn)算法則

摘 要： 極限理論在高等數(shù)學(xué)中占有重要的地位，它是建立許多數(shù)學(xué)概念（如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、定積分等）的必不可少的工具。因此，極限運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)課程中基本運(yùn)算之一。每一個(gè)極限運(yùn)算都有它適合的方法。一部分極限運(yùn)算要使用極限的四則運(yùn)算法則。使用極限的四則運(yùn)算法則時(shí)，應(yīng)注意它們的條件，當(dāng)每個(gè)函數(shù)的極限都存在時(shí)，才可使用和、差、積的極限法則；當(dāng)分子、分母的極限都存在，且分母的極限不為零時(shí)，才可使用商的極限法則。為了簡(jiǎn)化極限的運(yùn)算，我們往往需要對(duì)函數(shù)作代數(shù)或三角的恒等變形。

關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué) 極限運(yùn)算 極限的四則運(yùn)算法則

極限理論在高等數(shù)學(xué)中占有重要的地位，它是建立許多數(shù)學(xué)概念（如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、定積分等）的必不可少的工具。因此，極限的求法是高等數(shù)學(xué)課程中基本運(yùn)算之一。針對(duì)每一個(gè)極限運(yùn)算都有其適合的方法。而一部分極限運(yùn)算需要使用極限的四則運(yùn)算法則。

極限的四則運(yùn)算法則為：設(shè)f（x）=A，g（x）=B，A、B為有限常數(shù)，則：

（1）［f（x）±g（x）］=f（x）±g（x）=A±B；

（2）f（x）g（x）=f（x）g（x）=AB；

（3）==（B≠0）。

以上四則運(yùn)算法則對(duì)于自變量x的其它變化趨勢(shì)也同樣適用。

使用極限的四則運(yùn)算法則時(shí)，我們應(yīng)注意它們的條件，即當(dāng)每個(gè)函數(shù)的極限都存在時(shí)，才可使用和、差、積的極限法則；當(dāng)分子、分母的極限都存在，且分母的極限不為零時(shí)，才可使用商的極限法則。

為了使用極限的四則運(yùn)算法則，我們往往需要對(duì)函數(shù)作代數(shù)或三角的恒等變形。例如：（1）當(dāng)分子、分母的極限都是零時(shí)，有時(shí)可通過因式分解或有理化分子（或分母）消去分子、分母中極限為零的因式；（2）當(dāng)分子、分母的極限都是無窮大時(shí)，分子、分母有時(shí)可同除以x（或n）的最高次冪；（3）作適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q；（4）利用三角公式變形，等等。

下面通過例題來展示以上情形。

例1：求極限。

解：由于（-）=0，故不能直接使用商的極限運(yùn)算法則。因此需把分子、分母分別有理化，得：

2：求極限。

解：當(dāng)x→0時(shí)，arcsinx→0，故不能直接用商的極限運(yùn)算法則。因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，3tanx→0，令t=3tanx，利用ln（1+t）~t（t→0時(shí)），于是有l(wèi)n（1+3tanx）~3tanx~3x。類似的，arcsinx~x，所以：

例3：求極限。

解：當(dāng)n→∞時(shí)，分子、分母的極限都是無窮大（極限不存在），故不能直接用商的極限運(yùn)算法則。分子提取出因式3，分母提取出因式3，得：

注意，這里用到一個(gè)重要的結(jié)論：當(dāng)|q|＜1時(shí)，q=0。

例4：求極限（-）。

解：由于=∞，故不能用差的極限運(yùn)算法則。有理化后，得：

例5：求極限（-）。

解：由于=∞，故不能用差的極限運(yùn)算法則。這時(shí)可先通分。

例6：求極限（×××…×）。

解：當(dāng)n→∞時(shí)，乘積的項(xiàng)數(shù)在無限增多，故不能用積的極限運(yùn)算法則。因?yàn)?++…+=，所以：

例7：求極限（sin-sin）。

解：當(dāng)x→+∞時(shí)，sin及sin的極限都不存在，故不能用差的極限運(yùn)算法則。利用和差化積的公式：sinα-sinβ=2sincos，得：

（sin-sin）

=2sincos

由于cos不存在，故不能用積的極限運(yùn)算法則。但是，當(dāng)x→+∞時(shí)，

sin=sin=sin→sin0=0，它是無窮小，而cos是有界函數(shù)（因|cos|≤1），

依照無窮小的性質(zhì)（有界函數(shù)與無窮小的乘積仍然是無窮小），當(dāng)x→+∞時(shí)，sincos是無窮小，所以：

（sin-sin）=0

以上七個(gè)例題，很好地說明了使用極限的四則運(yùn)算法則時(shí)，應(yīng)注意它們的條件，即當(dāng)每個(gè)函數(shù)的極限都存在時(shí)，才可使用和、差、積的極限法則；當(dāng)分子、分母的極限都存在，且分母的極限不為零時(shí)，才可使用商的極限法則。為了簡(jiǎn)化極限的運(yùn)算，往往需要對(duì)函數(shù)作代數(shù)或三角的恒等變形。