波動率與投資之間關系的進一步研究

摘要:在項目價值與投資成本二重隨機性以及二者存在相關性的條件下，建立了實物期權模型。將項目投資臨界值與項目價值二者有機地溶入投資時間和投資概率計算中，對波動率與投資之間的關系進行了深入研究。

關鍵詞:實物期權;項目投資;投資時間;投資概率;Hurdle比

中圖分類號:F832.48文獻標志碼:A文章編號:1673-291X(2010)15-0086-03

引言

項目投資具有周期性長、資金投入密集、投融資環境多變、政策影響大的特點，所以項目投資本身具有復雜性和不確定性的特征。當前中國投資理論中的一個比較重要的問題就是如何確定不確定條件下的投資問題，其核心關鍵是如何深刻分析波動率與投資之間的關系。

不確定性對投資的影響已經在有關投資的文獻里作了比較全面的分析。在實物期權領域，廣泛接受的結果是，在投資不可逆的條件下，不確定性延遲投資。例如，McDonaldsiegel(1986)[1]和Dixit、Pindyck(1994) [2]。Abel、berly(1999) [3]在不可逆條件下研究不確定性在資本積累上的效應時指出，不確定性除了對資本積累產生負的效應外還可產生正的效應。Sarkar(2000) [4] 通過將市場風險(CAPM，Merton，1973a [5])引入實物期權模型，證明了在一定條件下項目價值的不確定性的增加能增加投資發生的概率，也即是投資與不確定性存在正效應關系;Wong(2006) [6] 在Sarkar(2000)模型假設基礎上，從投資時間與項目價值關系不確定的角度進一步證明了不確定性在一定條件下促進投資;óscar Gutiérrez(2007) [7] 綜合Sarkar(2000)與Wong(2006)的討論，給出了項目價值不確定性促進投資的充要條件。以上的討論都是在假設項目投資成本為常數的基礎上完成的。蔡曉鈺、陳忠、蔡小東(2004) [10] 在房地產價格和投資成本二重隨機性以及二者存在相關性的條件下，研究了房地產開發的最優時機與可達性問題;這一結果被劉志剛、蔡曉鈺、朱榮林(2006) [11] 推廣到存在即期收益的情況。但前兩者的討論都忽略了項目價值波動與項目成本波動對投資的影響研究。

本文在項目價值與投資成本二重隨機性以及二者存在相關性的條件下建立實物期權模型，首先通過設定偽障礙，給出公司投資的期權價值和投資臨界值，其次結合項目投資概率和投資時間分別討論了項目價值波動和項目成本波動與投資的關系。

一、基本模型

1.相關假設。設公司在每一時刻都會有立即開發與延遲兩種選擇。但到底是選擇立即開發還是延遲投資，這取決于觸發投資的臨界水平，取決于兩種選擇的結果對最終收益的權衡。當公司的收益率在臨界值水平之上時，投資會發生;否則，開發商會作出繼續持有項目的決策。

為解決問題的需要，本文作如下的相關假設:(1)投資是不可逆的且決策可被延遲;(2)項目投資公司的收益函數是最大化其收益的期望折現;(3)項目價值與投資成本均服從幾何布郎運動;(4)項目投資瞬時且立刻產生現金流;(5)公司無稅收支出及各種其他成本。

2.基本變量及其標準化。設項目的價值P和投資成本C分別服從如下形式的幾何布朗運動:

dP=μP Pdt+σPPdwP (1)

dC=μCCdt+σCCdwC (2)

其中，μP和μC分別是P和C的期望增長率，σP和σC分別是P和C的期望增長率的標準差，dwP和dwC是風險中性測度Q下的標準維納過程增量，服從均值為0方差為dt的標準正態分布，dwCdwP=ρdt。我們標準化項目價值和投資成本的一個比值:H=P/C，這就是hurdle ratio。其意義相當于收益率，此時的投資成本變為1。只有當H>1時，公司才會執行期權。根據It引理知道，H也是一個幾何布朗運動，我們記之為:

dH=μHdt+σHdw(3)

其中，μ為漂移率，σ為波動率，dw為標準維納過程增量。利用Taylor公式將H=P/C二階展開:

dH=μHdt+σHdw=(μP-μC+σ2C-ρσPσC)dt+(σ2P+σ2C-2ρσPσC)1/2dw(4)

于是:H(t)=H0exp((μ-σ2/2)t+σw) (5)

3.目標函數。設項目的收益率在T1時刻達到其臨界值H，即公司在T1時刻進行投資，則t時刻公司的收益為Ht-1，其折現值為Hte-rtdt-1×e-rT1，假設公司在當前時刻的收益函數為F(H0)，則由前面的假設有:

F(H0)=E(Hte-rtdt-1×e-rT1)(6)

其中，H0表示公司當前時刻收益率，r是無風險貼現率。為了求解(5)式，我們不妨假設μ

二、模型求解

令F1(H0)=E(Hte-rtdt-1×e-rT1)，于是有:

F1(H0)=E(Hte-rtdt)-E(e-rT1)=E(HT1exp((μ-σ2/2)

(t-T1)+σwt-T1)×e-rtdt)-E(e-rT1)

因為在T1時刻收益率達到其臨界值H，因此HT1=H。于是有:F1(H0)=HE(exp((μ-σ2/2)(t-x)+σwt-x)×e-rtdtQ(T1∈dx))-E(e-rT1)=(-1)E(e-rT1) (7)

Lamberton， DLapeyre， B.(1995) [8] 利用拉普拉斯變換給出隨機折現因子E(e-rT1):

E(e-rT1)=()β (8)

其中，β=-+，于是將(8)式代入(7)式得:

F1(H0)=(-1)()β(9)

為了求得F(H0)，對上式兩邊關于H求導并令其等于0得:

H*=(r-μ) (10)

再由<0，顯然H*是最優化問題(6)的解。項目投資期權在當前時刻的價值:

F(H0)=(-1)()β，H0

(10)式和(11)式是Sarkar(2000)所得結論的推廣。

三、投資與波動的關系

1.投資時間與投資概率。當H0≥H*時對投資沒有現實指導意義，其投資發生的概率為1，投資時間為當前時刻t=0。我們假設H0

令T表示項目收益率由初值H0首次達到最優投資臨界值H*的時間。顯然，首次達到所經歷的時間指的是期望值，因為首次可達的時間也是隨機變量。首次可達時間的期望值由Wong(2006)得到(同樣可由ShackletonWojakowski，2002[9]得到):

E(T)= (12)

項目投資臨界值H*的概率可由Sarkar(2000)給出的投資概率直接推出，我們只需要在那里令項目產生的現金流與市場組合的相關性為0，并將x*和x0分別用H*和H0代替:

P(H≥H*) =φ()+()2μ/σ2-1

φ() (13)

其中，φ(#8226;)表示標準正態分布函數。

2.波動與投資之間的關系。結合項目投資首次可達時間與項目投資首次可達概率，可以證明如下幾個定理:

定理1:在風險中性的條件下，項目價值波動促進投資的充要條件是:下面的兩條任意一條被滿足。

1.μ->0，σPln()+(μ-)(+) <0。

2.μ-<0，( -)ln()+(2μ/σ2-1)

(+) >0。

定理2:在風險中性的條件下，項目價值波動阻礙投資的充要條件是:下面的三條任意一條被滿足。

1.μ- >0 ，σPln()+(μ- )(+) >0。

2.μ-<0，(-)ln()+(2μ/σ2-1)

(+) <0。

3.μ-=0。

定理3:在風險中性的條件下，項目成本波動促進投資的充要條件是下面的兩條任意一條成立:

1.μ->0，-σCln()+(μ-)(+) <0。

2.μ-<0，(-)ln()+(2μ/σ2-1) (+) >0。

定理4:在風險中性的條件下，項目成本波動阻礙投資的充要條件是下面的三條任意一條成立:

1.μ- >0 ，-σCln()+(μ-)(+) >0。

2.μ-<0，(- )ln()+(2μ/σ2-1)

(+) <0。

3.μ-=0。

參考文獻:

[1]McDonald， R.， Siegel， D. The value of waiting to invest. Quarterly Journal of Economics，1986:101-728.

[2]Dixit， A.K.， Pindyck， R.S. Investment under Uncertainty. Princeton University Press， Princeton， NJ. 1994.

[3]Abel， A.， Eberly， J. The effects of irreversibility and uncertainty on capital accumulation. Journal of Monetary Economics 1999， 44，339-377.

[4]Sarkar， S.， On the investment-uncertainty relationship in a real options model. Journal of Economic Dynamics and Control 2000，24， 219-225.

[5]Merton， R.C.， An intertemporal capital asset pricing model. Econometrica ，1973， 41， 867-887.

[6]Wong， K.， The effect of uncertainty on investment timing in a real options model. Journal of Economic Dynamics and Control，2006， 31，2152-2167.

[7]óscar Gutiérrez， Devaluating projects and the investment-uncertainty relationship. Journal of Economic Dynamics and Control，2007，31，3881-3888.

[8]Lamberton， DLapeyre， B.， Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance. ChapmanHall， London， 1995.

[9]Shackleton， M.B.， Wojakowski， R.， The expected return and exercise time of Merton-style real options. Journal of Business， Finance

and Accounting，2002，29， 541-555.

[10]蔡曉鈺，陳忠，蔡曉東.隨機條件下房地產開發的最優時機選擇及其可達性問題研究[J].管理工程學報，2007，(21):12-19.

[11]劉志剛，蔡曉鈺，朱榮林.存在即期收益時房地產開發的投資時機與可達性問題研究[J].數量經濟技術經濟研究，2006，(9):93-104.