波動(dòng)率與投資之間關(guān)系的進(jìn)一步研究

摘要:在項(xiàng)目?jī)r(jià)值與投資成本二重隨機(jī)性以及二者存在相關(guān)性的條件下，建立了實(shí)物期權(quán)模型。將項(xiàng)目投資臨界值與項(xiàng)目?jī)r(jià)值二者有機(jī)地溶入投資時(shí)間和投資概率計(jì)算中，對(duì)波動(dòng)率與投資之間的關(guān)系進(jìn)行了深入研究。

關(guān)鍵詞:實(shí)物期權(quán);項(xiàng)目投資;投資時(shí)間;投資概率;Hurdle比

中圖分類號(hào):F832.48文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A文章編號(hào):1673-291X(2010)15-0086-03

引言

項(xiàng)目投資具有周期性長(zhǎng)、資金投入密集、投融資環(huán)境多變、政策影響大的特點(diǎn)，所以項(xiàng)目投資本身具有復(fù)雜性和不確定性的特征。當(dāng)前中國(guó)投資理論中的一個(gè)比較重要的問題就是如何確定不確定條件下的投資問題，其核心關(guān)鍵是如何深刻分析波動(dòng)率與投資之間的關(guān)系。

不確定性對(duì)投資的影響已經(jīng)在有關(guān)投資的文獻(xiàn)里作了比較全面的分析。在實(shí)物期權(quán)領(lǐng)域，廣泛接受的結(jié)果是，在投資不可逆的條件下，不確定性延遲投資。例如，McDonaldsiegel(1986)[1]和Dixit、Pindyck(1994) [2]。Abel、berly(1999) [3]在不可逆條件下研究不確定性在資本積累上的效應(yīng)時(shí)指出，不確定性除了對(duì)資本積累產(chǎn)生負(fù)的效應(yīng)外還可產(chǎn)生正的效應(yīng)。Sarkar(2000) [4] 通過將市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)(CAPM，Merton，1973a [5])引入實(shí)物期權(quán)模型，證明了在一定條件下項(xiàng)目?jī)r(jià)值的不確定性的增加能增加投資發(fā)生的概率，也即是投資與不確定性存在正效應(yīng)關(guān)系;Wong(2006) [6] 在Sarkar(2000)模型假設(shè)基礎(chǔ)上，從投資時(shí)間與項(xiàng)目?jī)r(jià)值關(guān)系不確定的角度進(jìn)一步證明了不確定性在一定條件下促進(jìn)投資;óscar Gutiérrez(2007) [7] 綜合Sarkar(2000)與Wong(2006)的討論，給出了項(xiàng)目?jī)r(jià)值不確定性促進(jìn)投資的充要條件。以上的討論都是在假設(shè)項(xiàng)目投資成本為常數(shù)的基礎(chǔ)上完成的。蔡曉鈺、陳忠、蔡小東(2004) [10] 在房地產(chǎn)價(jià)格和投資成本二重隨機(jī)性以及二者存在相關(guān)性的條件下，研究了房地產(chǎn)開發(fā)的最優(yōu)時(shí)機(jī)與可達(dá)性問題;這一結(jié)果被劉志剛、蔡曉鈺、朱榮林(2006) [11] 推廣到存在即期收益的情況。但前兩者的討論都忽略了項(xiàng)目?jī)r(jià)值波動(dòng)與項(xiàng)目成本波動(dòng)對(duì)投資的影響研究。

本文在項(xiàng)目?jī)r(jià)值與投資成本二重隨機(jī)性以及二者存在相關(guān)性的條件下建立實(shí)物期權(quán)模型，首先通過設(shè)定偽障礙，給出公司投資的期權(quán)價(jià)值和投資臨界值，其次結(jié)合項(xiàng)目投資概率和投資時(shí)間分別討論了項(xiàng)目?jī)r(jià)值波動(dòng)和項(xiàng)目成本波動(dòng)與投資的關(guān)系。

一、基本模型

1.相關(guān)假設(shè)。設(shè)公司在每一時(shí)刻都會(huì)有立即開發(fā)與延遲兩種選擇。但到底是選擇立即開發(fā)還是延遲投資，這取決于觸發(fā)投資的臨界水平，取決于兩種選擇的結(jié)果對(duì)最終收益的權(quán)衡。當(dāng)公司的收益率在臨界值水平之上時(shí)，投資會(huì)發(fā)生;否則，開發(fā)商會(huì)作出繼續(xù)持有項(xiàng)目的決策。

為解決問題的需要，本文作如下的相關(guān)假設(shè):(1)投資是不可逆的且決策可被延遲;(2)項(xiàng)目投資公司的收益函數(shù)是最大化其收益的期望折現(xiàn);(3)項(xiàng)目?jī)r(jià)值與投資成本均服從幾何布郎運(yùn)動(dòng);(4)項(xiàng)目投資瞬時(shí)且立刻產(chǎn)生現(xiàn)金流;(5)公司無(wú)稅收支出及各種其他成本。

2.基本變量及其標(biāo)準(zhǔn)化。設(shè)項(xiàng)目的價(jià)值P和投資成本C分別服從如下形式的幾何布朗運(yùn)動(dòng):

dP=μP Pdt+σPPdwP (1)

dC=μCCdt+σCCdwC (2)

其中，μP和μC分別是P和C的期望增長(zhǎng)率，σP和σC分別是P和C的期望增長(zhǎng)率的標(biāo)準(zhǔn)差，dwP和dwC是風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下的標(biāo)準(zhǔn)維納過程增量，服從均值為0方差為dt的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，dwCdwP=ρdt。我們標(biāo)準(zhǔn)化項(xiàng)目?jī)r(jià)值和投資成本的一個(gè)比值:H=P/C，這就是hurdle ratio。其意義相當(dāng)于收益率，此時(shí)的投資成本變?yōu)?。只有當(dāng)H>1時(shí)，公司才會(huì)執(zhí)行期權(quán)。根據(jù)It引理知道，H也是一個(gè)幾何布朗運(yùn)動(dòng)，我們記之為:

dH=μHdt+σHdw(3)

其中，μ為漂移率，σ為波動(dòng)率，dw為標(biāo)準(zhǔn)維納過程增量。利用Taylor公式將H=P/C二階展開:

dH=μHdt+σHdw=(μP-μC+σ2C-ρσPσC)dt+(σ2P+σ2C-2ρσPσC)1/2dw(4)

于是:H(t)=H0exp((μ-σ2/2)t+σw) (5)

3.目標(biāo)函數(shù)。設(shè)項(xiàng)目的收益率在T1時(shí)刻達(dá)到其臨界值H，即公司在T1時(shí)刻進(jìn)行投資，則t時(shí)刻公司的收益為Ht-1，其折現(xiàn)值為Hte-rtdt-1×e-rT1，假設(shè)公司在當(dāng)前時(shí)刻的收益函數(shù)為F(H0)，則由前面的假設(shè)有:

F(H0)=E(Hte-rtdt-1×e-rT1)(6)

其中，H0表示公司當(dāng)前時(shí)刻收益率，r是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)貼現(xiàn)率。為了求解(5)式，我們不妨假設(shè)μ

二、模型求解

令F1(H0)=E(Hte-rtdt-1×e-rT1)，于是有:

F1(H0)=E(Hte-rtdt)-E(e-rT1)=E(HT1exp((μ-σ2/2)

(t-T1)+σwt-T1)×e-rtdt)-E(e-rT1)

因?yàn)樵赥1時(shí)刻收益率達(dá)到其臨界值H，因此HT1=H。于是有:F1(H0)=HE(exp((μ-σ2/2)(t-x)+σwt-x)×e-rtdtQ(T1∈dx))-E(e-rT1)=(-1)E(e-rT1) (7)

Lamberton， DLapeyre， B.(1995) [8] 利用拉普拉斯變換給出隨機(jī)折現(xiàn)因子E(e-rT1):

E(e-rT1)=()β (8)

其中，β=-+，于是將(8)式代入(7)式得:

F1(H0)=(-1)()β(9)

為了求得F(H0)，對(duì)上式兩邊關(guān)于H求導(dǎo)并令其等于0得:

H*=(r-μ) (10)

再由<0，顯然H*是最優(yōu)化問題(6)的解。項(xiàng)目投資期權(quán)在當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)值:

F(H0)=(-1)()β，H0

(10)式和(11)式是Sarkar(2000)所得結(jié)論的推廣。

三、投資與波動(dòng)的關(guān)系

1.投資時(shí)間與投資概率。當(dāng)H0≥H*時(shí)對(duì)投資沒有現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義，其投資發(fā)生的概率為1，投資時(shí)間為當(dāng)前時(shí)刻t=0。我們假設(shè)H0

令T表示項(xiàng)目收益率由初值H0首次達(dá)到最優(yōu)投資臨界值H*的時(shí)間。顯然，首次達(dá)到所經(jīng)歷的時(shí)間指的是期望值，因?yàn)槭状慰蛇_(dá)的時(shí)間也是隨機(jī)變量。首次可達(dá)時(shí)間的期望值由Wong(2006)得到(同樣可由ShackletonWojakowski，2002[9]得到):

E(T)= (12)

項(xiàng)目投資臨界值H*的概率可由Sarkar(2000)給出的投資概率直接推出，我們只需要在那里令項(xiàng)目產(chǎn)生的現(xiàn)金流與市場(chǎng)組合的相關(guān)性為0，并將x*和x0分別用H*和H0代替:

P(H≥H*) =φ()+()2μ/σ2-1

φ() (13)

其中，φ(#8226;)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

2.波動(dòng)與投資之間的關(guān)系。結(jié)合項(xiàng)目投資首次可達(dá)時(shí)間與項(xiàng)目投資首次可達(dá)概率，可以證明如下幾個(gè)定理:

定理1:在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，項(xiàng)目?jī)r(jià)值波動(dòng)促進(jìn)投資的充要條件是:下面的兩條任意一條被滿足。

1.μ->0，σPln()+(μ-)(+) <0。

2.μ-<0，( -)ln()+(2μ/σ2-1)

(+) >0。

定理2:在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，項(xiàng)目?jī)r(jià)值波動(dòng)阻礙投資的充要條件是:下面的三條任意一條被滿足。

1.μ- >0 ，σPln()+(μ- )(+) >0。

2.μ-<0，(-)ln()+(2μ/σ2-1)

(+) <0。

3.μ-=0。

定理3:在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，項(xiàng)目成本波動(dòng)促進(jìn)投資的充要條件是下面的兩條任意一條成立:

1.μ->0，-σCln()+(μ-)(+) <0。

2.μ-<0，(-)ln()+(2μ/σ2-1) (+) >0。

定理4:在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，項(xiàng)目成本波動(dòng)阻礙投資的充要條件是下面的三條任意一條成立:

1.μ- >0 ，-σCln()+(μ-)(+) >0。

2.μ-<0，(- )ln()+(2μ/σ2-1)

(+) <0。

3.μ-=0。

參考文獻(xiàn):

[1]McDonald， R.， Siegel， D. The value of waiting to invest. Quarterly Journal of Economics，1986:101-728.

[2]Dixit， A.K.， Pindyck， R.S. Investment under Uncertainty. Princeton University Press， Princeton， NJ. 1994.

[3]Abel， A.， Eberly， J. The effects of irreversibility and uncertainty on capital accumulation. Journal of Monetary Economics 1999， 44，339-377.

[4]Sarkar， S.， On the investment-uncertainty relationship in a real options model. Journal of Economic Dynamics and Control 2000，24， 219-225.

[5]Merton， R.C.， An intertemporal capital asset pricing model. Econometrica ，1973， 41， 867-887.

[6]Wong， K.， The effect of uncertainty on investment timing in a real options model. Journal of Economic Dynamics and Control，2006， 31，2152-2167.

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[8]Lamberton， DLapeyre， B.， Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance. ChapmanHall， London， 1995.

[9]Shackleton， M.B.， Wojakowski， R.， The expected return and exercise time of Merton-style real options. Journal of Business， Finance

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[11]劉志剛，蔡曉鈺，朱榮林.存在即期收益時(shí)房地產(chǎn)開發(fā)的投資時(shí)機(jī)與可達(dá)性問題研究[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2006，(9):93-104.