關(guān)于高職數(shù)學“復(fù)合函數(shù)的求導法則”的教學體會

摘 要: 本文通過對高職數(shù)學“復(fù)合函數(shù)的求導法則”的研究，從運算的角度，教學內(nèi)容、要求、重難點，本章的特點三個方面進行了總結(jié)，得出了五個方面的教學體會。

關(guān)鍵詞: 高職數(shù)學 復(fù)合函數(shù) 求導法則 教學體會

現(xiàn)行高職數(shù)學“復(fù)合函數(shù)的求導法則”是高職數(shù)學中最重要的內(nèi)容之一。該內(nèi)容的引入既豐富了高職數(shù)學的內(nèi)容，又體現(xiàn)了復(fù)合函數(shù)的求導法則作為數(shù)學工具的重要性。利用復(fù)合函數(shù)的求導法則去解決一些實際問題，深化了數(shù)學知識間的關(guān)聯(lián)性和系統(tǒng)性，為更好地學好高職數(shù)學奠定了良好的基礎(chǔ)。復(fù)合函數(shù)的基礎(chǔ)知識較多，且與其他很多部分知識都有聯(lián)系，如復(fù)合函數(shù)與導數(shù)的聯(lián)系、復(fù)合函數(shù)與基本初等函數(shù)的聯(lián)系、復(fù)合函數(shù)與導數(shù)的四則運算的聯(lián)系等。因此，教師有必要加強對“復(fù)合函數(shù)的求導法則”這一章節(jié)的進一步研究和總結(jié)。

從運算的角度來講，會求復(fù)合函數(shù)的導數(shù)，必先會求基本初等函授的導數(shù)，當然關(guān)鍵還是要把復(fù)合函數(shù)進行分解，并牢記中間變量。

例1.求函數(shù)y=(1-3x+x)的導數(shù)。

解:設(shè)y=u，u=1-3x+x，

因為y′=(u)′=5u，u′=(1-3x+x)′=-3+2x，

所以y′=y′u′=5u(-3+2x)=5(2x-3)(1-3x+x)。

例2.求函數(shù)y=lntanx的導數(shù)。

解:設(shè)y=lnu，u=tanx，

因為y′=，u′=secx，

所以y′=y′u′=secx=secx===2csc2x。

從上面的例子可知，運用復(fù)合函數(shù)求導法則的關(guān)鍵在于把復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，然后應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導法則和適當?shù)那髮Ч竭M行計算，求導后要把中間變量換成原來自變量的式子。當對復(fù)合函數(shù)的分解比較熟練后，也可不必再寫出中間變量，只要將中間變量所代替的式子默記在心，直接根據(jù)法則，按步驟由外向里逐層求導即可。

例3.求函數(shù)y=cot(2x+1)的導數(shù)。

解:默記中間變量u=(2x+1)，直接求導，得:

y′=[cot(2x+1)]′=-csc(2x+1)(2x+1)′=-2csc(2x+1)。

例4.求函數(shù)y=(x-cosx)的導數(shù)。

解:y′=3(x-cosx)(x-cosx)′

=3(x-cosx)[1-2cosx(cosx)′]

=3(x-cosx)(1+2cosxsinx)

=3(x-cosx)(1+sin2x)。

應(yīng)當注意，有些復(fù)合函數(shù)能化簡的，應(yīng)當盡量先化簡再求導，有時還需要綜合運用四則運算的求導法則和復(fù)合函數(shù)的求導法則。

例5.求下列函數(shù)的導數(shù)。

(1)y=;

(2)y=。

解:(1)先將分母有理化，得:

y=

=x+。

所以

y′=1+=1+。

(2) 先化簡

y=·=2sec2x

所以y′=2sec2xtan2x(2x)′=4sec2xtan2x。

要想掌握好復(fù)合函數(shù)的求導法則，學生除了掌握以上復(fù)合函數(shù)的求導規(guī)律外，還得復(fù)習求導公式，因為公式也是基礎(chǔ)。

參考文獻:

[1]林益主編.高等數(shù)學.面向21世紀全國高校數(shù)學規(guī)劃教材.北京大學出版社.

[2]盛祥耀主著.高等數(shù)學.教育部高職高專推薦教材.高等教育出版社.