構建模型,拓展應用

中考復習，解題訓練法是一種重要的方法，也是師生最常使用的手法之一。解題的方法多種多樣，其中模型的構建與延伸就是很好的一種。下面我以一個幾何模型的構建、論證、拓展及應用(中考鏈接)的課堂教學教學模式為例，說明此方法的教學過程。

一、模型構建

出示題組:a

1.(認真填一填)如圖1，點P是正方形ABCD的邊AB上一點PE⊥AC，PF⊥BD，若正方形的邊長為4，則PE+PF=?搖?搖 ?搖?搖。

2.(細心選一選):如圖2，在矩形ABCD中，AD=4，∠AOD=120°，點P是邊AD上一點，PE、PF是點P到對角線AC、BD的距離，則PE+PF的值為()。

A.4 B.2 C.2 D.不確定

3.(請你算一算)如圖3，正方形ABCD中，AB=4cm，以B為圓心，BC為半徑，畫弧交對角線BD于點E，P為CE上任意一點，PQ⊥BC于點Q，PR⊥BD于點R，問:PQ+PR的值是多少?并寫出計算過程。

以上的三個問題，它們各自獨立，但若要把這幾個小題放在一起比較，你能看出它們之間存在著某種聯系嗎?從中可否提煉出一個具有某種共同特征的問題?從題2和題3的特殊值求法中也看出:幾個小題中都存在一個什么樣的基本圖形和結論呢?結論:“等腰三角形底邊上一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高”。

二、模型論證

如圖4，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是腰AC上的高，P是底邊BC上的任意一點，PE、PF是點P到兩腰的距離，求證:PE+PF=BD。

簡證:如圖4，在BD上截取DG=PF，連結PG，可證四邊形GPFD是矩形及△PBE≌△BPG，∴BG=PE，∴PE+PF=BG+GD=BD，結論證得。

三、模型拓展

如圖5，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是腰AC上的高，若點P在BC或CB的延長線上，PE、PF是點P到兩腰(所在直線)的距離，探究:PE+PF=BD的關系還成立嗎?若不成立，那么這三條線段之間是否存在著某種數量關系?若存在，請寫出數量關系并加以證明。

依照上面的各種證明思路和相應的輔助線，不難得出PE、PF、BD三者之間的關系。

(1)當點P在線段BC上時，有PE+PF=BD，當點P在BC或BC的延長線上時，有PE-PF=BD或PF-PE=BD，即:|PE-PF|=BD。

四、中考“鏈接”

2002年黑龍江省中考試題第22題:已知等邊三角形ABC和點P，設點P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h、h、h，△ABC的高為h，若點P在一邊BC上時(如圖6-1)，此時h=0，可得結論:h+h+h=h，請直接應用上述信息解決下列問題:

點P在△ABC內(如圖6-2)及點P在△ABC外(如圖6-3)這兩種情況時，上述結論是否成立?請給予證明。

對于圖6-1中的情形，則就是本課涉及的經典題的結論，圖6-2、圖6-3中的情形，都可以過點P作邊BC的平行線交邊AB、AC或其延長線轉化為圖6-1的情形再結合矩形的性質便可以得到正確的結論。即:圖6-2中的結論是h+h+h=h，圖6-3中的結論是h+h-h=h。

五、思考與感悟

1.面對當前中小學生學業負擔重、學習壓力大，學生在題海中迷茫無措的情況，教師在教學預案的設計，尤其在課堂教學中應多設計一些問題鏈，讓學生通過這些問題鏈的解決與探究，引導學生把知識梳理和歸納，形成網絡;運用歸納、聯想、類比等方法把問題歸類形成問題鏈，使學生能舉一反三，觸類旁通，獲得最佳的學習效益。

2.學生學習能力與解題能力的培養和提高應遵照循序漸進的認知規律，不可一蹴而就。現在教輔資料滿天飛，教師和學生手中的資料都不少，教師心目中的好題(尤其是近幾年各省中考試題、熱點問題或探究性問題)更多，那么如何選擇這些所謂的好題、選擇什么時機教給學生，是很有學問的。心理學早就告訴我們，學生對新穎的東西感興趣，對自己需要的東西感興趣。常言說:有需求才有渴望，有渴望才有興趣，有興趣才有動力。因此，教師在教學中應善于從數學題庫中精選一些對學生知識的理解與鞏固、對思維能力提高和拓展有很大啟發，能體現數學思想、增強數學意識的經典模型或題塊，尤其是結合近幾年與課改理念相適應的探索題和創新題，選擇最佳時機，創設學習情境，找準切入點，使學生考在復習中從有限的經典模型的學習和探究中獲得“知識成網、問題成鏈、用時有限”最佳學習效果。