近世代數課程的教學方法淺探

摘 要: 從近世代數的課程意義和課程特點出發，本文作者結合自己的教學實踐和經驗，闡述了教師如何在課前、課堂、課后三個環節中用有效的教學方法來提高近世代數的教學效率。

關鍵詞: 近世代數 教學方法 教學效率

近世代數課程是師范院校數學專業的一門重要專業基礎課，教學實踐表明，該課程定理、概念眾多，教材習題以證明題為主，具有高度抽象性，學生較難掌握。

1.近世代數的課程意義和課程特點

近世代數主要研究具有代數運算的集合:群、環、域三個代數系，是代數數論、代數幾何、代數拓撲等基礎數學課程所必需的一門基礎課程。近世代數不僅在數學中占有及其重要的地位，而且在其它學科中也有廣泛的應用，如理論物理、計算機學科等。其研究的方法和觀點，對其他學科產生了越來越大的影響。此外，近世代數中的等價、劃分、同構等思想方法不僅是最重要的數學方法之一，而且是觀察和研究自然和社會的普遍采用的方法。

代數系的大部分內容是數學家根據現實中不同的集合和模型抽象創造出的新的理論系統，它具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性。這門課程主要強調的不是計算而是理論的理解和證明完善，對思維能力的要求較高，它需要學習者具有靈活的發散思維和準確的聚合思維，需要敏銳的直覺思維和嚴謹的邏輯思維，同時也需要構造性的思路和精練的抽象思維。

2.近世代數的課程教學

近世代數的課程意義和抽象的課程特點給教師提出了嚴峻的挑戰。那么我們究竟如何組織教學，才能使學生輕松愉快地學習并掌握該課程的內容，激發學生對該課程的學習興趣，從而在學習與思考中達到培養學生抽象思維能力和邏輯推理能力的目的?通過教學實踐，我們覺得可以從以下幾個方面嘗試。

(1)課前準備

教師是教學過程中的組織者和實施者，教學的關鍵是教師，這是大家的共識，而近世代數是一門抽象并且高度嚴謹的學科，如果教師在課前不認真備課，勢必影響整體的教學效果。我們學校在課程教學中以選用張禾瑞先生編著的文獻[1]為主，在多年的實踐中，我們感到這是一本比較經典的教材，其內容精簡，只是其中有一些不足之處，例題與習題較少，與《高等代數》課程的聯系不夠緊密，部分數學術語有些陳舊，如正規子群在其中被稱為不變子群等，而國內有不少關于近世代數課程方面的教材，有些教材內容豐富，但由于課時和知識面等原因的限制，教材中不可能一一提到所有概念的背景和來源，而且由于學生基礎和接收知識能力的差異，沒有一本近世代數教材是適合所有大學院校的數學專業的學生的，因此我們要因材施教，對教材進行大膽的處理和取舍，并不是每個定理，每個概念，每一個證明都需要照著課本向學生講解。同時我們要吸取同類教材的精華，例如，我們可以將文獻[1]與文獻[2]結合起來使用，應用[1]中的精簡內容，配合使用[2]中的例題。這方面可以舉很多例子，比如在[1]中講環的概念時，只舉了一個例子，那就是全體整數作成的集合對于數的加法和乘法來說做成一個環，而后者列舉了七個環的例，都是而且這些環都是學生曾經接觸過的集合，上課時講授這些例子可以幫助學生更好地理解環的概念。

(2)課堂教學

在課堂教學中，如何充分激發和培養學生的學習興趣是關鍵。我們可以從幾個方面作嘗試。

首先，注重抓住知識的內在聯系，培養學生的發散思維。近世代數課程中許多概念、原理具有很多有機的聯系，引導學生將它們進行分析比較，既有利于培養舉一反三的遷移能力，又能找出聯系，抓住關鍵點，進行提綱挈領的講解。例如，在群論中，主要是通過子群、正規子群、商群、群同態來研究群的結構，而在環論中，主要是通過子環、理想、商環、環同態來研究環的結構，其知識體系是相似的。群和環都是有代數運算的集合，只是環比群多了一種代數運算，環關于加法構成交換群，關于乘法只能構成半群，兩種運算之間有分配律聯系起來，因此環關于加法具有交換群的所有性質，關于乘法只有半群的性質。教師在引導學生學習環的時候一定要提醒學生注意環有別于群的特殊性質，例如環對乘法不一定由單位元，每一個非零元未必有逆元，等等。

其次，在課程講授的過程中，注意培養學生的創造性思維，讓學生多問幾個為什么，對于一些命題，讓學生思考如果講題設條件減弱命題是否成立，或者考慮如果將結論與題設調換位置，所得命題是否成立。例如，在[1]中第61頁習題1證明一個循環群一定是交換群，利用交換群的定義是很容易驗證的，我們在講授過程中主要是要提問，讓學生考慮:“那交換群是不是一定是循環群呢?”“如果是，那該怎么證明呢?如果不是，能不能找出反例呢?”又如習題4假定G是循環群，G與H同態，證明H是循環群，那我們可以提問學生:“如果G與H同態，H是循環群，那么G是不是一定是循環群呢?”“如果G與H都是循環群，那么G與H之間是不是一定存在同態滿射呢?”諸如此類的反問逆推，引導學生主動去發問。當然在提出問題后，教師不能立即自己給出答案，要給學生思考的時間，讓學生主動去發現，這樣才能起到事半功倍的效果。在進行習題證明講解時，教師也要引導學生用盡可能用多種方法進行，以靈活運用所學知識。

再次，在實際教學中，將理論與應用相結合激發學生的興趣。近世代數中的許多概念都是由于直接或間接刻畫新的幾何量和物理量的需要而出現的。我們可以盡量調動學生已有的各種數學知識，舉出豐富多彩的具體實例，揭示概念的本質特征，在形象與抽象之間架起一座橋梁，使學生不是被動地接受這些概念，而是以自身已有的知識和經驗為基礎主動地構建這些概念，即促進學生知識的正向遷移。學生常誤以為學習近世代數課程沒有用，有時問老師時，老師也只是以培養學生的邏輯思維概括這門課程的意義，其實不然。例如，群論的研究從變換群開始，抽象群的概念也是從變換群的概念發展來的，而Cayley定理說明群概念的外延從同構意義上來說并不比變換群的來得大。因此在講授群的概念時，教師可以講授這樣的例:設V是域F上n維線性空間，則V的所有可逆的線性變換對乘法組成群，它同構于F上全體n階可逆方陣組成的乘法群，這是群論與高等代數的聯系，考慮平面上正n邊形(n≥3)的全體對稱的集合，它包含n個旋轉和n個反射(沿n條不同的對稱軸)，很容易看出這個集合對于變換的乘法，即變換的連續施加來說組成一個群，這是群論與幾何學的聯系，而物理學中在討論晶體類型的對稱性變換過程中，晶體學家就是把晶體的全體對稱性變換作為群來進行研究的，這又是群論與物理學的聯系，等等。

在講授課程內容時，教師可穿插一些名人趣事小傳等同樣可以激發學生的學習興趣。例如，講授著名的Cayley定理:每一個群都同構與一個變換群時，教師可以簡單介紹Cayley的生平小傳和他對數學的貢獻。在文獻[1]中對于交換群只有一個簡單的定義，沒有詳述，其實交換群也叫Abel群，是由挪威數學家N.H.Abel發現的，所以以Abel命名，Abel在19歲時就解決了一個讓著名數學家煩惱了數百年的難題，證明了雖然一元二次、三次甚至四次方程都有求根公式，但是對于一般的五次方程卻不存在這樣的求根公式，諸如此類的名人軼事在講授相對應的課程內容時讓學生了解，可以增強學生探索相關內容的欲望。

(3)教學后記

備課、上課和作業批改是教師教學中幾個重要的環節，而關鍵的環節是上課。我們都有這種體驗，常常備課時并未想到的或并未思考的問題，在上課的過程中常常就出現了，這也就說明了教學后記的必要性。經常的一些創造性思維也通過教學后記得以升華，從而更加深刻。

對于不同的學生，教學方法不是一成不變的，教師也應該不斷地探索新的方法，讓學生更好地掌握代數這門課程，切實提高教學效率。

參考文獻:

[1]張禾瑞.近世代數基礎[M].北京:高等教育出版社，1978.

[2]朱平天，李伯葓，鄒園.近世代數[M].北京:科學出版社，2001.

[3]韓士安，林磊.近世代數[M].北京:科學出版社，2004.

[4]楊子胥.近世代數[M].北京:高等教育出版社，2003.