圓錐曲線中的最值問題

摘 要: 最值問題是高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)之一，它經(jīng)常與三角函數(shù)、二次函數(shù)、一元二次方程(不等式)及圓錐曲線等知識(shí)緊密聯(lián)系。為使學(xué)生更好的解決這類問題，本文作者總結(jié)了以下方法:定義法;三件函數(shù)法(或參數(shù)方程法);不等式法;構(gòu)造函數(shù)法;數(shù)形結(jié)合法。

關(guān)鍵詞: 圓錐曲線 最值問題 定義法

最值問題，幾乎涉及高中數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，在生產(chǎn)實(shí)踐當(dāng)中也有廣泛的應(yīng)用，它是歷年高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)之一，經(jīng)常與三角函數(shù)、二次函數(shù)、一元二次方程(不等式)及圓錐曲線等知識(shí)緊密聯(lián)系，所以其解法靈活，綜合性強(qiáng)，能力要求高。學(xué)習(xí)如何利用一定的數(shù)學(xué)方法來解決這類問題就顯得尤為重要。下面我將針對(duì)圓錐曲線中的最值問題，介紹幾種具體的方法。

一、定義法

圓錐曲線許多性質(zhì)都是由其定義派生出來的，如果能從它的定義出發(fā)，挖掘其性質(zhì)，把定量的計(jì)算與定性的分析有機(jī)地結(jié)合起來，則可達(dá)到事半功倍的效果。下面舉例說明。

例1、已知橢圓+=1的左焦點(diǎn)為F，橢圓內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)A(4，1)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，試求:①當(dāng)|PA|+|PE|取最小值時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)。

②|PF|+|PA|的最大值，求P點(diǎn)的坐標(biāo)。

分析:①如果設(shè)P(x，y)，因?yàn)閨PA|+|PE|式中的數(shù)值“”恰為，與離心率e有關(guān)系，考慮左準(zhǔn)線，巧妙運(yùn)用橢圓的第二定義把|PF|轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離。②因|PF|+|PA|與離心率e沒有關(guān)系，不能考慮左準(zhǔn)線，就利用橢圓的第一定義。

解:①∵a=5，b=4，∴e=，左準(zhǔn)線x=，過點(diǎn)P作左準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，過A作此準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，由橢圓的第二定義 |PN|==|PF|，于是|PA|+|PF|=|AP|+|PN|≥|AN|≥|AM|(|AM|為定值)，當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)是線段AM與橢圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立。

②如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F'，則|PF|+|PA|=2a-|PF′|+|PA|=2a+|PA|-|PF′|。

連結(jié)AF′并雙向延長(zhǎng)交橢圓于BC兩點(diǎn)，如圖所示，

∵||PA|-|PF′||≤|AF′|，

∴-|AF|≤|PA|-|PF′||AF′|，

|PF|+|PA|=2a+|PA|-|PF′|≤2a+|AF′|=10+。

當(dāng)且僅當(dāng)P與B重合時(shí)，等號(hào)成立。

所以(|PF|+|PA|)max=10+。

說明:①由上述求解過程中可知:橢圓上任一點(diǎn)P到橢圓內(nèi)一定點(diǎn)A及一焦點(diǎn)F的距離之和存在著最大值，這個(gè)最大值就等于長(zhǎng)軸長(zhǎng)加上這個(gè)定點(diǎn)到另一焦點(diǎn)F的距離，即為2a+|AF′|。

②與此相類似，我們可求得本例中|PF|+|PA|的最小值為10-，一般地，|PF|+|PA|的最小值為2a-|AF′|。

變式訓(xùn)練:F是雙曲線-=1的左焦點(diǎn)，A(1，4)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則|PF|+|PA|的最小值為(D)。

A.6 B.7 C.8 D.9

點(diǎn)評(píng):一般的，遇到有關(guān)焦點(diǎn)(或準(zhǔn)線)問題，首先應(yīng)考慮用定義來解題。橢圓上的點(diǎn)大兩焦點(diǎn)的用第一定義，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)及準(zhǔn)線的距離考慮用第二定義。如果引入變量來求最值，會(huì)陷入復(fù)雜的運(yùn)算，然而從定義入手，可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算，少算多思。

二、三角函數(shù)法(或參數(shù)方程)

我們學(xué)過的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)是在區(qū)間[-1，1]上取值的，如果我們可以把要求解的問題用三角函數(shù)式表示出來，再進(jìn)行化簡(jiǎn)，就可以利用三角函數(shù)的有界性，求出最值。

例2、在橢圓+=1上找一個(gè)點(diǎn)P，使它到直線L:3x-2y-16=0的距離最短，并求出最短距離。

分析:利用橢圓的參數(shù)方程，易得到動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而利用點(diǎn)到直線的距離公式找到P到L的距離。

解:設(shè)P到L的距離為d，

橢圓的參數(shù)方程為x=2sinθy=cosθ(θ為參數(shù))，

則P(2Sinθ，cosθs)，

∴d==(其中cosφ=，sinφ=)。

∴當(dāng)θ-φ=時(shí)，d有最小值。

此時(shí)，θ=+φ，sinθ=cosφ=，cosθ=-cosφ=-，

∴P(，-)。

變式訓(xùn)練:已知實(shí)數(shù)x，y滿足2x+3y=6x，則x+2y的最大值為(D)。

A.12 B.11 C.10 D.9

三、不等式法

例3、設(shè)點(diǎn)O是直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)M為直線l∶x=-P(P>0)上的，y動(dòng)點(diǎn)，N在線段MO的延長(zhǎng)線上，且滿足|MN|=|MO|·|NO|。

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程。

(Ⅱ)當(dāng)P=1時(shí)，求|MN|的最小值。

解:(Ⅰ)設(shè)N(x，y)(x>0)

由題設(shè)M、O、N三點(diǎn)共線，

可聯(lián)想到對(duì)應(yīng)線段成比例此時(shí)需作輔助線段，

得M、N兩點(diǎn)各到x軸的垂線段得到比值，求出軌跡方程，過程略。

所得軌跡方程:(P-1)x+Py-2Px-P=0(x>0)。

(Ⅱ)當(dāng)P=1時(shí)，N點(diǎn)軌跡代入即為y=2x+1(x>0)。

設(shè)N(x，y)M(-1，t)，由M、O、N三點(diǎn)共線得:

=，即=-t，

∴M(-1，-)，

則|MN|==

=x++1≥2+2=4。

當(dāng)且僅當(dāng)x=即x=1時(shí)等式成立。

∴當(dāng)x=1時(shí)，|MN|min=4。

四、構(gòu)造函數(shù)法

例4、求拋物線y=2x上與點(diǎn)A(，0)距離最近的點(diǎn)M及相應(yīng)的距離|MA|。

解:設(shè)M(x，y)是曲線上任意一點(diǎn)，即y=2x，

|MA|=(x-)+y=(x-)+2x=(x+)+，x≥0，

此關(guān)于x的函數(shù)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，

其最小值在x=0時(shí)取得，此時(shí)|MA|=，

故所求M(0，0)，相應(yīng)的距離|MA|=。

點(diǎn)評(píng):當(dāng)題中的條件和結(jié)論體現(xiàn)出一種明顯的函數(shù)關(guān)系時(shí)，可通過建立目標(biāo)函數(shù)，求其目標(biāo)函數(shù)的最值。上述解題過程是將求圓錐曲線最值轉(zhuǎn)化為討論二次函數(shù)最值，其中運(yùn)用配方法進(jìn)行恒等變形。此時(shí)應(yīng)注意其定義域受題設(shè)條件限制時(shí)，要避免簡(jiǎn)單地認(rèn)為一定在拋物線頂點(diǎn)處取得最值。

變式訓(xùn)練:已知P點(diǎn)在圓x+(y-2)=1上移動(dòng)，Q點(diǎn)在橢圓+y=1上移動(dòng)，試求|PQ|的最大值。

解:故先讓Q點(diǎn)在橢圓上固定，顯然當(dāng)PQ通過圓心O時(shí)|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|OQ|的最大值。設(shè)Q(x，y)，

則|OQ|=x+(y-4) ①

因Q在橢圓上，則x=9(1-y) ②

將②代入①得|OQ|=9(1-y)+(y-4)=-8(y+)+27。

因?yàn)镼在橢圓上移動(dòng)，所以-1≤y≤1，故當(dāng)y=時(shí)，|OQ|=3。

此時(shí)|PQ|=3+1。

點(diǎn)評(píng):(1)與圓有關(guān)的最值問題往往與圓心有關(guān);

(2)函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視。

五、數(shù)形結(jié)合法

例5、P為拋物線x=4y上的一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(8，7)，求P到x軸與到A點(diǎn)的距離之和的最小值。

解:過P引X軸的垂線PM并延長(zhǎng)，與準(zhǔn)線Y=-1于Q點(diǎn)，由拋物線的定義可知|PQ|=|PF|=|PM|+1，

∴|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-1。

P到x軸與到A點(diǎn)的距離之和最小，則連接AF，于拋物線的交點(diǎn)即為滿足要求的P點(diǎn)。

∴最小值為|AF|-1=9。

點(diǎn)評(píng):在解題的過程中要畫出圖像，從圖像中發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解決問題。

綜上所述，解決圓錐曲線中的最值問題，要注意聯(lián)系圓錐曲線的定義和性質(zhì)，重視運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為一定的函數(shù)關(guān)系或不等式進(jìn)行討論。

學(xué)無定法，貴在得法，解題關(guān)鍵還在于具體問題具體分析，具體處理。