圓錐曲線中的最值問題

摘 要: 最值問題是高考重點考查的知識點之一，它經常與三角函數、二次函數、一元二次方程(不等式)及圓錐曲線等知識緊密聯系。為使學生更好的解決這類問題，本文作者總結了以下方法:定義法;三件函數法(或參數方程法);不等式法;構造函數法;數形結合法。

關鍵詞: 圓錐曲線 最值問題 定義法

最值問題，幾乎涉及高中數學的各個分支，在生產實踐當中也有廣泛的應用，它是歷年高考重點考查的知識點之一，經常與三角函數、二次函數、一元二次方程(不等式)及圓錐曲線等知識緊密聯系，所以其解法靈活，綜合性強，能力要求高。學習如何利用一定的數學方法來解決這類問題就顯得尤為重要。下面我將針對圓錐曲線中的最值問題，介紹幾種具體的方法。

一、定義法

圓錐曲線許多性質都是由其定義派生出來的，如果能從它的定義出發，挖掘其性質，把定量的計算與定性的分析有機地結合起來，則可達到事半功倍的效果。下面舉例說明。

例1、已知橢圓+=1的左焦點為F，橢圓內有一個定點A(4，1)，P為橢圓上任意一點，試求:①當|PA|+|PE|取最小值時，求P點的坐標。

②|PF|+|PA|的最大值，求P點的坐標。

分析:①如果設P(x，y)，因為|PA|+|PE|式中的數值“”恰為，與離心率e有關系，考慮左準線，巧妙運用橢圓的第二定義把|PF|轉化為點P到左準線的距離。②因|PF|+|PA|與離心率e沒有關系，不能考慮左準線，就利用橢圓的第一定義。

解:①∵a=5，b=4，∴e=，左準線x=，過點P作左準線的垂線，垂足為N，過A作此準線的垂線，垂足為M，由橢圓的第二定義 |PN|==|PF|，于是|PA|+|PF|=|AP|+|PN|≥|AN|≥|AM|(|AM|為定值)，當且僅當P點是線段AM與橢圓的交點時等號成立。

②如圖，設橢圓的右焦點為F'，則|PF|+|PA|=2a-|PF′|+|PA|=2a+|PA|-|PF′|。

連結AF′并雙向延長交橢圓于BC兩點，如圖所示，

∵||PA|-|PF′||≤|AF′|，

∴-|AF|≤|PA|-|PF′||AF′|，

|PF|+|PA|=2a+|PA|-|PF′|≤2a+|AF′|=10+。

當且僅當P與B重合時，等號成立。

所以(|PF|+|PA|)max=10+。

說明:①由上述求解過程中可知:橢圓上任一點P到橢圓內一定點A及一焦點F的距離之和存在著最大值，這個最大值就等于長軸長加上這個定點到另一焦點F的距離，即為2a+|AF′|。

②與此相類似，我們可求得本例中|PF|+|PA|的最小值為10-，一般地，|PF|+|PA|的最小值為2a-|AF′|。

變式訓練:F是雙曲線-=1的左焦點，A(1，4)，P為雙曲線右支上一點，則|PF|+|PA|的最小值為(D)。

A.6 B.7 C.8 D.9

點評:一般的，遇到有關焦點(或準線)問題，首先應考慮用定義來解題。橢圓上的點大兩焦點的用第一定義，橢圓上的點到焦點及準線的距離考慮用第二定義。如果引入變量來求最值，會陷入復雜的運算，然而從定義入手，可大大簡化運算，少算多思。

二、三角函數法(或參數方程)

我們學過的正弦函數和余弦函數是在區間[-1，1]上取值的，如果我們可以把要求解的問題用三角函數式表示出來，再進行化簡，就可以利用三角函數的有界性，求出最值。

例2、在橢圓+=1上找一個點P，使它到直線L:3x-2y-16=0的距離最短，并求出最短距離。

分析:利用橢圓的參數方程，易得到動點P的坐標，從而利用點到直線的距離公式找到P到L的距離。

解:設P到L的距離為d，

橢圓的參數方程為x=2sinθy=cosθ(θ為參數)，

則P(2Sinθ，cosθs)，

∴d==(其中cosφ=，sinφ=)。

∴當θ-φ=時，d有最小值。

此時，θ=+φ，sinθ=cosφ=，cosθ=-cosφ=-，

∴P(，-)。

變式訓練:已知實數x，y滿足2x+3y=6x，則x+2y的最大值為(D)。

A.12 B.11 C.10 D.9

三、不等式法

例3、設點O是直角坐標系的原點，點M為直線l∶x=-P(P>0)上的，y動點，N在線段MO的延長線上，且滿足|MN|=|MO|·|NO|。

(Ⅰ)求動點N的軌跡方程。

(Ⅱ)當P=1時，求|MN|的最小值。

解:(Ⅰ)設N(x，y)(x>0)

由題設M、O、N三點共線，

可聯想到對應線段成比例此時需作輔助線段，

得M、N兩點各到x軸的垂線段得到比值，求出軌跡方程，過程略。

所得軌跡方程:(P-1)x+Py-2Px-P=0(x>0)。

(Ⅱ)當P=1時，N點軌跡代入即為y=2x+1(x>0)。

設N(x，y)M(-1，t)，由M、O、N三點共線得:

=，即=-t，

∴M(-1，-)，

則|MN|==

=x++1≥2+2=4。

當且僅當x=即x=1時等式成立。

∴當x=1時，|MN|min=4。

四、構造函數法

例4、求拋物線y=2x上與點A(，0)距離最近的點M及相應的距離|MA|。

解:設M(x，y)是曲線上任意一點，即y=2x，

|MA|=(x-)+y=(x-)+2x=(x+)+，x≥0，

此關于x的函數在[0，+∞)上單調遞增，

其最小值在x=0時取得，此時|MA|=，

故所求M(0，0)，相應的距離|MA|=。

點評:當題中的條件和結論體現出一種明顯的函數關系時，可通過建立目標函數，求其目標函數的最值。上述解題過程是將求圓錐曲線最值轉化為討論二次函數最值，其中運用配方法進行恒等變形。此時應注意其定義域受題設條件限制時，要避免簡單地認為一定在拋物線頂點處取得最值。

變式訓練:已知P點在圓x+(y-2)=1上移動，Q點在橢圓+y=1上移動，試求|PQ|的最大值。

解:故先讓Q點在橢圓上固定，顯然當PQ通過圓心O時|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|OQ|的最大值。設Q(x，y)，

則|OQ|=x+(y-4) ①

因Q在橢圓上，則x=9(1-y) ②

將②代入①得|OQ|=9(1-y)+(y-4)=-8(y+)+27。

因為Q在橢圓上移動，所以-1≤y≤1，故當y=時，|OQ|=3。

此時|PQ|=3+1。

點評:(1)與圓有關的最值問題往往與圓心有關;

(2)函數法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數最常見的有二次函數等，值得注意的是函數自變量取值范圍的考察不能被忽視。

五、數形結合法

例5、P為拋物線x=4y上的一動點，定點A(8，7)，求P到x軸與到A點的距離之和的最小值。

解:過P引X軸的垂線PM并延長，與準線Y=-1于Q點，由拋物線的定義可知|PQ|=|PF|=|PM|+1，

∴|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-1。

P到x軸與到A點的距離之和最小，則連接AF，于拋物線的交點即為滿足要求的P點。

∴最小值為|AF|-1=9。

點評:在解題的過程中要畫出圖像，從圖像中發現，運用數形結合法解決問題。

綜上所述，解決圓錐曲線中的最值問題，要注意聯系圓錐曲線的定義和性質，重視運用數形結合，將問題轉化為一定的函數關系或不等式進行討論。

學無定法，貴在得法，解題關鍵還在于具體問題具體分析，具體處理。