在數(shù)形結(jié)合教學(xué)中訓(xùn)練學(xué)生思維

摘 要： 數(shù)形結(jié)合的教學(xué)有利于提高學(xué)生的創(chuàng)造性，在數(shù)與形之間迅速轉(zhuǎn)換，是中國(guó)數(shù)學(xué)成功的典型代表之一，能夠滲透美育，數(shù)形互補(bǔ)，開(kāi)拓思路，檢驗(yàn)理論。

關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合 訓(xùn)練思維 創(chuàng)新 直觀(guān)教學(xué)

恩格斯說(shuō)：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。”著名數(shù)學(xué)家拉格朗日也說(shuō)：“只要代數(shù)與幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的運(yùn)用就狹窄。當(dāng)它們相伴而行，它們就會(huì)互相吸取新鮮的活力，以快速的步伐走向完美。”所謂數(shù)形結(jié)合，就是在研究問(wèn)題的過(guò)程中注意把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)考察，斟酌問(wèn)題的具體情形，把圖形性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系聯(lián)系起來(lái)。數(shù)形結(jié)合在教學(xué)中應(yīng)用廣泛，極有價(jià)值。

1.利用直觀(guān)性，激發(fā)興趣，培養(yǎng)思維的簡(jiǎn)潔性

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)的靈魂。數(shù)形結(jié)合能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題形象化，尋找簡(jiǎn)便易行、出乎意料、別開(kāi)生面的解題方案，以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)自覺(jué)性，從而使學(xué)生從題海中解決出來(lái)，真正減輕教與學(xué)的沉重負(fù)擔(dān)。憑借圖形能反映并思考客觀(guān)事物的空間形狀與位置關(guān)系，為學(xué)生學(xué)習(xí)減輕許多負(fù)擔(dān)，即運(yùn)用形象思維去研究問(wèn)題。美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩說(shuō)：“如果一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思想就全體地把握了問(wèn)題，并能創(chuàng)造性地思考問(wèn)題的解法。”

例1.已知集合A={ｘ|lg（ｘ-2aｘ+a+1）＜lg2}，B={x|（x-a）（x-2）＞0}，若A∪B=R，求a的范圍。

分析：按不等式知識(shí)解就必須分a＜2，a=2，a＞2分別求B集，再用A∪B=R分別求出a的范圍，最后求這些范圍的并集，而用數(shù)形結(jié)合就不必討論。

解：集合A可簡(jiǎn)化為A={x|a-1＜x＜a+1}，令f（x）=（x-a）（x-2）＞0，

如圖1，不論y=f（x）的判斷式＞0還是=0，要使A∪B=R，等價(jià)為使f（a-1）＞0、f（a+1）＞0同時(shí)成立。由f（a-1）＞0f（a+1）＞0，得1＜a＜3。

2.滲透美育，喚醒學(xué)生的直覺(jué)聯(lián)想

數(shù)學(xué)本身是美的科學(xué)。數(shù)學(xué)上的對(duì)稱(chēng)美、輪換美、簡(jiǎn)潔美、和諧美、奇異美的特點(diǎn)在圖形上體現(xiàn)得更為直觀(guān)動(dòng)人。教師利用數(shù)形結(jié)合能不斷培養(yǎng)學(xué)生審美情趣，感受審美體驗(yàn)，提高審美意識(shí)和審美能力，以激起學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的激情，動(dòng)力和追求解題的藝術(shù)美，喚醒學(xué)生的直覺(jué)聯(lián)想，促進(jìn)全面素質(zhì)的提高。解題時(shí)可以觀(guān)察圖形的特征及其數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用幾何意義探求數(shù)量關(guān)系，還可以構(gòu)造幾何圖示顯示數(shù)量關(guān)系。下面舉個(gè)例子說(shuō)明。

例2.正數(shù)a、b、c、A、B、C滿(mǎn)足條件a+A=b+B=c+C=K。

求證：aB+bc+CA＜K2（第24屆全美奧林匹克競(jìng)賽題）。

分析：正方形DEFG，取點(diǎn)M、N、P、Q使MD=EN=B，QG=A，ME=NF=b，Gp=C，PF=c。顯然：S+S+S＜S，即aB+bc+CA＜K。

笛卡爾認(rèn)為：“美是一種恰到好處的協(xié)調(diào)、適中。”上述解法正體現(xiàn)了這一觀(guān)點(diǎn)。“創(chuàng)新是一個(gè)民族的靈魂”，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本任務(wù)。沒(méi)有想象和直覺(jué)，創(chuàng)造就失去了源泉。想象、直覺(jué)很多時(shí)候建筑在“幾何直觀(guān)”的基礎(chǔ)上，但是數(shù)與形是數(shù)學(xué)的雙翼，沒(méi)有數(shù)與形就會(huì)迷失方向，只有雙翼多羽，數(shù)學(xué)才會(huì)顯示其無(wú)窮的生命力。

3.數(shù)形互補(bǔ)，促進(jìn)知識(shí)融會(huì)貫通，培養(yǎng)思維的深刻性

華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)形本是兩相依，怎能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān)，形少數(shù)時(shí)難入微。”集合中的韋恩圖將枯燥繁瑣的知識(shí)清晰、準(zhǔn)確、生動(dòng)地展示在學(xué)生面前，幫助學(xué)生牢固地掌握集合之間的包含、交、并、補(bǔ)等關(guān)系、運(yùn)算。圖形語(yǔ)言是認(rèn)識(shí)、理解其他語(yǔ)言的基礎(chǔ)，是形象思維向抽象思維過(guò)渡的紐帶，幫助我們理順?lè)匠探獾囊恍┻壿嬯P(guān)系，在劃分計(jì)數(shù)方面也有廣泛應(yīng)用。如平移、旋轉(zhuǎn)各函數(shù)圖象，三角函數(shù)y=Asin（ωx+Φ）的圖像變化與函數(shù)解析式的對(duì)應(yīng)關(guān)系。復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何解釋?zhuān)瑢⑤^抽象的概念具體地在復(fù)平面上表達(dá)出來(lái)，起到“深入淺出”的作用，使學(xué)生不必死記硬背，又減少了繁瑣的計(jì)算。我們?cè)诮虒W(xué)中仔細(xì)挖掘教材中抽象概念的直觀(guān)成分，不斷滲透數(shù)形結(jié)合思想，簡(jiǎn)單明了，既能收到深刻理解基礎(chǔ)知識(shí)，促進(jìn)能力發(fā)展，且不易遺忘之功效；又能提高學(xué)生自覺(jué)運(yùn)用形數(shù)貫通，聯(lián)系的解題能力，收到事半功倍的教學(xué)效果，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

4.開(kāi)拓思路，培養(yǎng)思維靈活性，敏捷性

數(shù)形結(jié)合是研究解題的基本思想，無(wú)論是以形想數(shù)，還是以數(shù)助形都能溝通知識(shí)聯(lián)系，開(kāi)拓思路，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化，形象化，從而使問(wèn)題快捷正確地得到解決，訓(xùn)練學(xué)生思維敏捷性、靈活性。

例3.解不等式＜2x+a（a＞0）。

分析：函數(shù)y=2x+a的圖像是直線(xiàn)l，而y=的圖像是圓O的上半部分，由此易知當(dāng)0＜x≤a時(shí)，＜2x+a即原不等式解集為{x|0＜x≤a}。

5.檢驗(yàn)理論，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，批判性

解題反思，對(duì)過(guò)程和結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，一方面能提高解題的效果，另一方面也是在進(jìn)行思維的訓(xùn)練，形數(shù)結(jié)合不單具有直觀(guān)聯(lián)系，而且有嚴(yán)密的邏輯性。數(shù)形結(jié)合還能有助于找出解題的漏洞，從而加強(qiáng)學(xué)生思維的主動(dòng)性、嚴(yán)謹(jǐn)性、批判性。

例4.已知橢圓系x+=a（a＞0）與連結(jié)A（1，1），B（2，3）兩點(diǎn)的線(xiàn)段沒(méi)有公共點(diǎn)，求a的取值范圍。

錯(cuò)解：由線(xiàn)段AB及橢圓方程聯(lián)列消去y，得6x2-4x+1-2a2=0，因?yàn)锳B與橢圓無(wú)公共點(diǎn)所以△＜0解為0＜a＜，

通過(guò)作圖，盡管直線(xiàn)AB與橢圓相切或相交，但線(xiàn)段AB與橢圓還是無(wú)公共點(diǎn)，因此方程無(wú)解。

正確解：將分別過(guò)A，B點(diǎn)的兩個(gè)橢圓中的a值，求出a=（AB在橢圓外）和a=（AB在橢圓內(nèi)），所以0＜a＜或a＞時(shí)，AB與橢圓無(wú)公共點(diǎn)。

6.發(fā)掘知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)辯證思維的能力

如果將換元、設(shè)參的手法活用，數(shù)形結(jié)合能使學(xué)生豐富、精確、深刻地理解知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系，鍛煉分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力。

例5.求函數(shù)w=+的最小值。

解：函數(shù)定義域?yàn)椋?2，1］，令x=，y=（-2≤m≤1）。消去參數(shù)得（x/3）+（y/6）=1（0≤x≤，0≤y≤）。而表示橢圓（x/3）+（y/6）=1在第一象限一段弧（包含端點(diǎn)）。w=x+y表示平行直線(xiàn)系（w表示縱截距）。顯然，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)A（，0）時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)有公共點(diǎn)，且此時(shí)W有一最小值，W=。