如何應(yīng)對(duì)高考數(shù)列問(wèn)題

摘 要： 高考數(shù)列是一個(gè)難點(diǎn)，我省考生得分率較低。如何應(yīng)對(duì)這一情況，本文從三方面進(jìn)行了分析與論述。

關(guān)鍵詞： 高考數(shù)列問(wèn)題 解決方法 教學(xué)體會(huì)

數(shù)列是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。我發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)列及其相關(guān)概念的學(xué)習(xí)、理解是容易的，是有學(xué)習(xí)興趣的。但由于解決數(shù)列問(wèn)題的方法多樣靈活，許多學(xué)生在高考時(shí)總是束手無(wú)策，即使是中檔題，我省考生平均分也很低，這不得不引起教師的重視。我就高考數(shù)列問(wèn)題的解決方法談幾點(diǎn)教學(xué)體會(huì)。

一、夯實(shí)基礎(chǔ)，加深理解

高考作為一種選拔性考試，試題設(shè)置有容易題、中檔題、難度題。即使是有區(qū)分度的難題，那些基礎(chǔ)扎實(shí)的考生也能得分，故在常規(guī)教學(xué)中，教師應(yīng)讓學(xué)生打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，注重對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列概念及其相關(guān)性質(zhì)的教學(xué)，讓學(xué)生能充分利用等差、等比數(shù)列公式求解相應(yīng)的基礎(chǔ)題、中檔題，力爭(zhēng)會(huì)解難度題。

如高考題：已知等差數(shù)列{a}中，前n項(xiàng)和為s，且s=100，s=10，求s的值。

很多考生由于對(duì)數(shù)列是等差數(shù)列，以及等差數(shù)列的性質(zhì)理解不深刻，導(dǎo)致失分。事實(shí)上，只要學(xué)生基礎(chǔ)扎實(shí)，對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)理解透徹，由數(shù)列{a}是等差數(shù)列，則a=a+（n-1）d，a=a+（m-1）d，那么不難得出=d（其中n≠m，d為公差），同時(shí)也可從通項(xiàng)公式a=a+（n-1）d=dn+（a-d）理解，將直線方程與之類比，公差d正好是斜率，于是得到問(wèn)題的簡(jiǎn)單解法：由=，即=，從而解得s=-110。由此可見(jiàn)，夯實(shí)基礎(chǔ)，加深理解是何等重要。

二、注重學(xué)法指導(dǎo)，培養(yǎng)分析、綜合、歸納能力

學(xué)生對(duì)事物的認(rèn)識(shí)遵循從感性到理性，由淺入深的規(guī)律。當(dāng)學(xué)生對(duì)等差、等比數(shù)列的學(xué)習(xí)有了一定的基礎(chǔ)之后教師應(yīng)對(duì)學(xué)法進(jìn)行指導(dǎo)，加強(qiáng)分析、綜合、歸納的點(diǎn)撥，構(gòu)建學(xué)生知識(shí)體系，提升學(xué)生認(rèn)知水平，培養(yǎng)學(xué)生高考解題能力。

如：在學(xué)了等差等比數(shù)列通項(xiàng)公式后，師生對(duì)數(shù)列這一章進(jìn)行反思、分析、綜合，最后可歸納出求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的一般思路和方法：

類型1：a-a=d（d為常數(shù)）

類型2：=q（q為常數(shù)）

類型3：a=λa+c（其中λ為常數(shù)且不等于0和1）

類型4：a-a=f（n）（其中f（n）可求和）

類型5：a=λa+f（n）（其中可求和）

類型6：a=a（其中a不為0，α∈R）

類型7：給S與a的關(guān)系，求出通項(xiàng)公式。

對(duì)于類型1、類型2它們分別是等差、等比數(shù)列，可按相應(yīng)公式求出通項(xiàng)公式。

對(duì)于類型3：a=λa+c可設(shè)（a+x）=λ（a+x），

展開(kāi)得a=λa+（λ-1）x，

從而令（λ-1）x=c，即x=，得（a+）=λ（a+），

即數(shù)列{a+}是以（a+）為首項(xiàng)，λ為公比的數(shù)列，

從而可求出a的表達(dá)式。

對(duì)于類型4：已知a-a=f（n）（其中f（n）為可求和），那么有：

a=（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+a，

即有a=f（n-1）+f（n-2）+…+f（1）+a，

這樣求出f（n-1）+f（n-2）+…+f（1）+a，即可得a。

對(duì)于類型5：由a=λa+f（n）兩邊同時(shí)除以λ，得=+，

只要可求和，

那么得=（-）+（-）+…+（-）+=［++…+］+，可求和［++…+］+，

從而可得a。

對(duì)于類型6：已知a=a（其中a≠0，α∈R），則兩邊取對(duì)數(shù)得log=αlog（其中b＞0，且b≠1）。

那么數(shù)列{logb}是以log為首項(xiàng)，α為公比的等比數(shù)列，可求出a。

對(duì)于類型7：若給定S與a的關(guān)系，求通項(xiàng)公式a。

可通過(guò)a=s，（其中n=1時(shí)）s-s，（當(dāng)n≥2時(shí)）求解。

三、加強(qiáng)變式教學(xué)指導(dǎo)，培養(yǎng)答題思維

近幾年來(lái)，高考解答題部分與數(shù)列問(wèn)題相關(guān)的內(nèi)容有一定難度，對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、分析和解決問(wèn)題的能力要求有一定提高，它不僅要求學(xué)生有扎實(shí)的基礎(chǔ)，而且要求學(xué)生善于聯(lián)想與轉(zhuǎn)化，能把一個(gè)新問(wèn)題進(jìn)行變式，轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題。認(rèn)真分析近幾年高考的變化趨勢(shì)，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維，加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo)，使學(xué)生能尋求解決問(wèn)題的突破口和方法。

例6：（2007天津）在數(shù)列{a}中，a=1，且a=4a-3n+1（n∈n），

（1）證明：數(shù)列{a-n}是等比數(shù)列。

例7：（2008全國(guó)Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，a=a，a=S+3，

（1）設(shè)b=S-3，求數(shù)列{b}的通項(xiàng)公式。

例8：（2008四川卷）設(shè)數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，已知：ba-2=（b-1）S，

（1）證明：當(dāng)b=2時(shí)，數(shù)列{a-n·2}是等比數(shù)列。

這幾道高考試題，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)都有一定難度，如何找到解決問(wèn)題的突破口和方法是教師與學(xué)生需要共同面對(duì)的問(wèn)題。其實(shí)，在平時(shí)教學(xué)中我們?nèi)绻茏寣W(xué)生盡量多角度去思考，盡量尋求不同的解法，不斷創(chuàng)新，拓展思維，提高解題能力和創(chuàng)新能力，這類題就是小菜一碟。

經(jīng)過(guò)認(rèn)真的觀察和分析，不難發(fā)現(xiàn)以上問(wèn)題都有一定的相似性，都是一個(gè)遞推關(guān)系，求解與之相關(guān)的另一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式或求證與之相關(guān)的另一個(gè)數(shù)列是等比或等差數(shù)列。在結(jié)構(gòu)上有可類比之處。另外，已知和未知間有一定的暗示，我們不妨在“猜”與“湊”之間猜測(cè)解題的方向與突破口，把已知的遞推關(guān)系向所要求解的未知方向上轉(zhuǎn)化、變形，尋找他們的內(nèi)在聯(lián)系，不失為一種科學(xué)的態(tài)度和方法。基于此：

例6：已知：a=1，a=4a-3n+1，未知：求證數(shù)列{a-n}是等比數(shù)列。

聯(lián)想：將數(shù)列{a-a}看作一個(gè)新數(shù)列，則它的第（n+1）項(xiàng)應(yīng)為a-（n+1），

從而將a=4a-3n+1兩邊同時(shí)減去（n+1），

并化簡(jiǎn)得［a-（n+1）］=4［a-n］，從而問(wèn)題解決。

例7：已知：a=S+3，未知：求b=S-3的通項(xiàng)公式。

解題方向：變形、轉(zhuǎn)化出b=s-3

聯(lián)想：a=S+3，消去a用a與s的關(guān)系，

從而：s-S=S+3，即s=2S+3，

兩邊減去3得s-3=2S+3-3=2（S-3），

到此問(wèn)題得解。

例8：把b=2代入已知得：

已知：2a-2=S，未知：求證數(shù)列{a-n·2}是等比數(shù)列。

猜想解題方向：將已知轉(zhuǎn)化、變形，

使之產(chǎn)生得（a-（n+1）×2），（a-n×2），（a-（n-1）×2）這樣的項(xiàng)。

故首先考慮消去S，用S與a的關(guān)系，則由2a-2=S……①

2a-2=S……②

將①-②得a=2a+2再兩邊減去n×2得a-n×2=2a+2-2=2（a-（n-1）×2），

從而數(shù)列{a-n·2}是等比數(shù)列。